郝四柱

(南京金陵中學(xué)仙林分校中學(xué)部 210000)

1 問題提出

據(jù)外媒報(bào)道，美國華盛頓大學(xué)研究團(tuán)隊(duì)近日發(fā)現(xiàn)了一種新的不規(guī)則凸五邊形，相互組合后可完全鋪滿平面，不會(huì)出現(xiàn)重迭或空隙，是全球第15種能做到此效果的凸五邊形(如圖1).而距上次發(fā)現(xiàn)類似效果的凸五邊形已時(shí)隔30年，這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)相當(dāng)于在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中尋獲了新原子粒子.[1]它們的方法是“把12個(gè)全等的該五邊形組合成圖2的形如海馬狀圖形，然后把海馬狀組合圖進(jìn)行平移，形成圖3的密鋪圖案.”

圖1

圖2

圖3

所謂的平面密鋪也就是鑲嵌，即，用平面圖形完全覆蓋一個(gè)二維平面，而且圖形之間沒有重疊；其中，只用一種全等圖形的密鋪，我們稱之為單密鋪.眾所周知，1.由全等的三角形單密鋪可以鋪滿整個(gè)平面；2.由全等的四邊形單密鋪可以鋪滿整個(gè)平面(含凹四邊形)；3.正五邊形由于每個(gè)內(nèi)角為108°，所以不能密鋪整個(gè)平面.那么，其它的不規(guī)則五邊形單密鋪問題成為人們研究密鋪的一個(gè)焦點(diǎn).

由于人們對于凸五邊形密鋪研究有了一些成果，那么凹五邊形呢？目前還不多.所以本文探討凹五邊形的單密鋪問題：“只用一種全等凹五邊形，形成一種組合圖形，然后把組合圖形通過平移或旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)平面密鋪.”

2 凹五邊形通過組合，得到基本組合圖形，該基本圖形可以通過平移實(shí)現(xiàn)密鋪

筆者從已有的凸五邊形密鋪方法入手，進(jìn)行凹五邊形的密鋪的對比研究，結(jié)合正多邊形特點(diǎn)、黃金三角形特點(diǎn)以及幾何圖形的相關(guān)知識的研究，得出結(jié)論如下：

(1)具有兩邊平行的凹五邊形，組合后的基本組合圖進(jìn)行平移實(shí)現(xiàn)密鋪

基本圖基本組合圖密鋪圖第1種情況∠B+∠C=180°,∠A+∠ D+∠E =360°(其中內(nèi)角∠E大于180°)

(2) 通過正多邊形的結(jié)構(gòu)分解獲得的凹五邊形；這類正多邊形必須可以進(jìn)行平移實(shí)現(xiàn)密鋪，從而實(shí)現(xiàn)凹五邊形的密鋪

由于正方形和正六邊形是簡單而優(yōu)美的圖形；并且都可以通過平移獲得整個(gè)平面的密鋪，所以通過對于正方形、正六邊形的研究獲得能夠密鋪的凹五邊形.①將正方形分割成4個(gè)全等的凹五邊形.其密鋪的圖案如下第2種情況.②將正六邊形分割成6個(gè)全等的凹五邊形.其密鋪圖案如下第3種情況.

基本圖基本組合圖密鋪圖第2種情況∠A=90°,a=b,c=e,∠B+∠E=360°,∠C+∠D=90°(其中∠B大于180°)第3種情況∠A=60°,a=b,c=e,∠B+∠E=360°,∠C+∠D=120°(其中∠B大于180°)

(3) 內(nèi)角均為36°倍數(shù)的凹五邊形，組合后的基本組合圖可以進(jìn)行平移實(shí)現(xiàn)密鋪[2]

第4種情況基本圖基本組合圖密鋪圖a=b=c=d=e,∠A=∠D= 36°,∠ABC=∠BCD=108°其中內(nèi)角∠AED=252°

(4)四條邊相等的凹五邊形進(jìn)行組合，組合后的基本圖形可以進(jìn)行平移實(shí)現(xiàn)密鋪

(5)兩邊或三邊相等的凹五邊形組合，組合后的基本組合圖可以進(jìn)行平移實(shí)現(xiàn)密鋪

基本圖基本組合圖密鋪圖第8種情況b=d,c=e,∠B+∠D=180°;(其中內(nèi)角∠A大于180°,隱含條件是:∠A+∠C+∠E =360°)第9種情況b=c,d=e;∠B=∠D=90°;(其中內(nèi)角∠A大于180°,隱含條件是∠A+∠C+∠E =360°)第10種情況a=b,c=d;∠A=60°,∠C=120°;(其中內(nèi)角∠E大于180°,隱含條件∠B+∠D +∠E=360°)第11種情況a=d=e,b=c;∠B+∠D=180°,∠E=2∠B(其中內(nèi)角∠A大于180°,隱含條件是:∠A+∠C +2∠B=360°)第12種情況d=2a=2e,∠B=∠E=90°,∠A=∠C(其中內(nèi)角∠D大于180°,隱含條件是:∠D+2∠A=360°)

3 凹五邊形通過組合，得到基本組合圖形，該基本圖形可以通過旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)密鋪

(一)凹五邊形組合后的基本組合圖，能實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)密鋪；這樣的凹五邊形必須符合什么條件

首先有角度上的特征：因?yàn)榘嘉暹呅涡D(zhuǎn)一周為360°；所以凹五邊形至少有一個(gè)內(nèi)角應(yīng)該是360°的因數(shù).由于360°的因數(shù)有很多，其中常見的有30°、36°、60°、72°、90°、120°.

從邊長來說，用同一種凹五邊形通過旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)平面密鋪，還體現(xiàn)在邊長上：因?yàn)樵搱D形通過旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)平面密鋪，必須有邊重合，所以有相等的邊長.特別地，如果五邊均相等，那么這樣的凹五邊形更容易實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)密鋪.

(二)組合后的基本組合圖，能實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的單密鋪研究

(1)和黃金三角形聯(lián)系的凹五邊形

① 黃金凹五邊形的組合方式的介紹

圖4

如圖4，是五邊相等的凹五邊形ABCDE，內(nèi)角均為36°的整數(shù)倍，(a=b=c=d=e,∠A=∠D=36°，∠ABC=∠BCD=108°，其中內(nèi)角∠AED=252°)；用這類五邊形組合后，可以通過旋轉(zhuǎn)的方法實(shí)現(xiàn)密鋪(如圖5).該五邊形是如何進(jìn)行組合然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)密鋪的呢？在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)密鋪之前，我們介紹一下三個(gè)關(guān)鍵的組合方法(圖6、圖7、圖8)；圖6組合是把圖4通過旋轉(zhuǎn)和軸對稱實(shí)現(xiàn)的，圖7的右半部分(虛線部分)和左半部分成中心對稱，這樣圖7能夠形成一個(gè)整體.

圖5

圖6

圖7

圖8

另外，圖6中下方的點(diǎn)A、B、C、D、E、F可以和圖7中上方的對應(yīng)點(diǎn)(A′、B′、C′、D′、E′、F′)正好可以進(jìn)行咬合，實(shí)現(xiàn)圖6和圖7的邊界線統(tǒng)一，圓滿實(shí)現(xiàn)密鋪(其中點(diǎn)B和點(diǎn)B′處對應(yīng)的兩個(gè)角度和正好是360°(一個(gè)為72°，一個(gè)為288°)；同樣C和C′、D和D′、E和E′處均可進(jìn)行咬合).

同時(shí)可以看到邊界線B′C′D′E′F′構(gòu)成對稱的W型.為便于后面圖形組合的描述，我們把圖6和圖7沿W型邊界線密鋪的方法稱為咬合法.另外還有可能出現(xiàn)如圖8的組合方法，該方法就是把兩個(gè)相同組合，面對面扣起來.我們把這種方法叫做對扣法.對扣法中間出現(xiàn)一道W型的邊界線.對扣法和咬合法均是這種凹五邊形的組合方法，可以實(shí)現(xiàn)圖5的密鋪.

②圖5的詳細(xì)步驟見如下的(i)-(vi) 步驟

(i)基本框架(ii)向外按照圖4的方法進(jìn)行平移、不斷延展(iii)將第(ii)步的延展部分旋轉(zhuǎn)36°.(vi)繼續(xù)將第(iii)步的部分進(jìn)行旋轉(zhuǎn),每次36°,從而形成整個(gè)密鋪的支架.(v)將十條延展圖之間的空檔用W型進(jìn)行咬合和對扣(vi)將圖形第(v)步每次旋轉(zhuǎn)36°,旋轉(zhuǎn)一周,實(shí)現(xiàn)整個(gè)平面的密鋪

這里還需要強(qiáng)調(diào)說明的是上述的第(v)步，內(nèi)部是如何密鋪的呢？首先看一下第(iii)步中，“兩條腿”邊界都是連續(xù)的W型輪廓線，我們沿著(iii)的兩條腿相對的W型輪廓線，用咬合法同時(shí)相向密鋪，內(nèi)部交匯處是采用對扣的方法，其相遇處是一條連續(xù)的W曲線，近似于角平分線.從而形成第(v)步的內(nèi)部密鋪.

(2)和30°、60°、90°相聯(lián)系的凹五邊形

圖9

第二個(gè)凹五邊形ABCDE，如圖9，條件是：a=b=c=d=e,五個(gè)內(nèi)角分別是：∠A=60°，∠ABC=210°，∠C=30°，∠D=150°，∠AED=90°,即,由等邊三角形和一個(gè)角為30°的菱形組成基本圖形.

該凹五邊形同樣可以通過旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)密鋪方案如下(密鋪方法見下表)：方案一，以該五邊形的90度角的頂點(diǎn)為中心，90°旋轉(zhuǎn)角進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到正十二邊形；方案二，以該五邊形的60度角的頂點(diǎn)為中心，60°旋轉(zhuǎn)角進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，設(shè)計(jì)出兩種圖案，兩層正十二邊形的旋轉(zhuǎn)密鋪和三層的正十二邊形的旋轉(zhuǎn)密鋪；方案三，以該五邊形的30度角頂點(diǎn)為中心，30°角為旋轉(zhuǎn)角來進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，設(shè)計(jì)出四層正十二邊形旋轉(zhuǎn)密鋪圖案和五層的正十二邊形的密鋪圖案(如下表).只要愿意，三種方案均可無限向外擴(kuò)展，從而實(shí)現(xiàn)整個(gè)平面的密鋪.

密鋪圖1密鋪圖2方案一:以90°角為旋轉(zhuǎn)角實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)密鋪方案二:以60°角為旋轉(zhuǎn)角實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)密鋪方案三:以30°角為旋轉(zhuǎn)角實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)密鋪.

我們不妨以方案三為例：以四層的正十二邊形為基礎(chǔ)，如何拼出五層正十二邊形呢？進(jìn)而達(dá)到更多層數(shù)的正十二邊形？操作程序如下：

①構(gòu)造正十二邊形以方案三為基礎(chǔ)②向外拓展所需要的一個(gè)組合圖形:右圖一的凹八邊形,是向外密鋪的一個(gè)基本構(gòu)圖方法.③向外拓展:右圖二是將四層的正十二邊形每個(gè)頂點(diǎn)處都增加的一個(gè)該凹八邊形. ④上述兩個(gè)凹八邊形之間的空檔需要填空,可用右圖進(jìn)行填空,從而得到相應(yīng)的五層的正十二邊形.⑤將上述①-④的方法不斷的向外進(jìn)行拓展,可以得到更多層數(shù)的正十二邊形,實(shí)現(xiàn)整個(gè)平面的密鋪.⑥藝術(shù)密鋪:通過上述三種旋轉(zhuǎn)方法,配上不同顏色,可以鋪出五彩斑斕的花朵圖案.

續(xù)表

綜上所述：本文所述的凹五邊形，組合后的基本組合通過平移或者旋轉(zhuǎn)這兩種變換實(shí)現(xiàn)密鋪；對于其他未知的凹五邊形研究可以起到啟示作用.相信隨著計(jì)算機(jī)和相關(guān)技術(shù)的進(jìn)步，未來一定會(huì)有更多的能夠?qū)崿F(xiàn)密鋪的的凹五邊形被發(fā)現(xiàn).