,2 ,2

(1.西安交通大學動力工程多相流國家重點實驗室 陜西西安 710049；2.西安交通大學蘇州研究院 江蘇蘇州 215123)

高速透平機械為滿足較高的效率往往需要維持較高的工作轉速，氣體軸承由于其高轉速、低摩擦、無油潤滑等特點在高速透平機械中具有良好的應用前景[1]。氣體軸承的工作原理與傳統(tǒng)油潤滑軸承是基本相同的，不同的是采用氣體代替潤滑油作為潤滑介質，利用氣體的黏性提高軸承間隙中的壓力以達到承載的作用[2]。箔片氣體軸承作為氣體軸承的一種，由于其柔性表面與彈性支撐的特性，具有良好的剛度與阻尼特性，可以有效抑制轉子運轉過程中的振動與渦動，使轉子保持平穩(wěn)運行。

國內外目前均有將動壓氣體軸承應用在工程產品的實例。美國的Creare公司在研發(fā)應用于航天領域的微型透平時使用了動壓氣體軸承，該公司開發(fā)的微型透平轉子很小，其直徑僅幾毫米，但轉速達幾千轉每秒，使得除動壓氣體軸承之外其他形式的高速軸承均無法滿足要求[3]。西安交通大學從19世紀80年代中期開始，對透平機械采用的動壓氣體軸承進行了系統(tǒng)的基礎研究，對動壓氣體軸承的設計與應用開展了一系列研究工作，先后開發(fā)出十余種動壓氣體徑向與止推軸承[4]。

目前針對箔片軸承的理論研究主要集中在對軸承本身的數值計算以及實驗分析，而較少有對整個軸承轉子系統(tǒng)的研究。箔片軸承的最大特點集中在其柔性特征對于轉子系統(tǒng)的能量耗散與穩(wěn)定性方面，因此，僅對軸承進行數值分析是片面的。為了更深層次地揭示高速轉子軸承系統(tǒng)的動力學特性，本文作者通過有限元轉子動力學建模的方法對箔片軸承支承的高速透平轉子系統(tǒng)進行了有限元數值分析。

1 有限元轉子動力學模型

有限元轉子動力學分析方法是一種經典的轉子動力學頻域分析方法[5]。文中針對箔片軸承有限元數值分析，是以一臺高速透平膨脹機的轉子系統(tǒng)為對象進行有限元離散，通過各單元節(jié)點的位移對整個單元內任意位置點的位移進行描述，從而建立了運動方程并擴展到整個轉子系統(tǒng)，進而得到整個轉子系統(tǒng)的運動方程。模型中的轉子系統(tǒng)包括剛性主軸、止推盤和2個起支撐作用的徑向箔片軸承(忽略止推軸承影響)，其中主軸兩端分別裝配有透平工作輪和風機輪。轉子系統(tǒng)與有限元離散示意圖如圖1所示，主要結構參數如表1和表2所示。

圖1 轉子結構有限元離散示意圖Fig 1 Finite element discrete schematic diagram of rotor structure

表1 透平膨脹機的基本尺寸Table 1 Main parameters of the turbo expander

表2 工作輪與風機輪質量與轉動慣量Table 2 Mass and rotary inertia of work wheel and fan wheel

文中針對高速透平膨脹機建立的有限元轉子動力學模型由軸段單元、輪盤單元和軸承單元3種單元構成。主軸部分采用軸段單元描述，工作輪、風機輪、止推盤采用輪盤單元描述，2個徑向箔片軸承用軸承單元描述[6]。

文中的有限元轉子動力學模型對軸段單元的有限元分析采用梁理論并考慮其剪切應變[7]，軸段單元示意圖如圖2所示，每個節(jié)點有x、y2個方向的撓度和撓曲轉角，即每個節(jié)點有4個自由度，每個單元共有8個自由度，但這2個方向的撓度和撓曲轉角都是相互獨立的。根據一般梁理論，可得到軸段單元的剛度矩陣、質量慣性矩陣、轉動慣性矩陣和陀螺力矩陣[8]。將軸段單元的轉動慣性矩陣、質量慣性矩陣和輪盤單元的質量矩陣總慣性矩陣M，將輪盤單元的陀螺力矩陣、軸段單元的陀螺力矩陣和軸承單元阻尼矩陣代入總阻尼矩陣B，軸承單元剛度矩陣和軸段單元剛度矩陣代入總剛度矩陣K，得到系統(tǒng)的運動方程：

(1)

在不受外力的情況下，系統(tǒng)做自由振動的運動方程[9]為

(2)

上式可改寫為

(3)

寫為矩陣形式為

(4)

求解上式特征值即可求得轉子系統(tǒng)自然頻率隨轉速的變化關系[10]。

圖2 軸段單元示意圖Fig 2 Schematic diagram of the shaft element

2 有限元數值分析

在經典轉子動力學理論中，轉子渦動被認為是轉子系統(tǒng)在自然頻率下的自然振動，計算得到轉子系統(tǒng)的自然頻率即可獲得轉子的渦動頻率[11]。文中通過建立高速低溫透平膨脹機轉子系統(tǒng)有限元轉子動力學模型，計算得到系統(tǒng)在不同轉速下各模態(tài)的渦動頻率，從而得到各個模態(tài)下的渦動頻率曲線。

根據鼓泡箔片徑向軸承的數值模型計算得到25 mm雙層徑向箔片軸承在65 000 r/min下的剛度系數與阻尼系數如表3所示。

將數值計算所得到的徑向箔片軸承的剛度系數與阻尼系數代入有限元轉子動力學模型，得到了轉子系統(tǒng)對應的臨界轉速大小。示例的計算僅提取了1～6階臨界轉速轉速進行分析，由于更高階的臨界轉速已大大超出了高速透平膨脹機的工作范圍，文中未討論。轉子系統(tǒng)對應1～6階臨界轉速下的模態(tài)振型示意圖如圖3所示，可以看出低頻渦動頻率均為轉子剛體運動模態(tài)，而高頻渦動頻率對應轉子的彎曲模態(tài)。轉子系統(tǒng)中轉子具有較大的剛性而箔片軸承具有較大柔性而導致轉子的彎曲模態(tài)頻率遠大于其運動模態(tài)頻率。

表3 鼓泡箔片軸承的剛度與阻尼數值計算結果Table 3 Stiffness and damping of protuberant foil bearing

圖3 轉子系統(tǒng)臨界轉速與對應振型示意圖Fig 3 Critical speed of rotor system and corresponding diagram of vibration

對于高速透平膨脹機的轉子系統(tǒng)，其工作轉速需要遠離臨界轉速以保證轉子系統(tǒng)的穩(wěn)定運行，而在低頻渦動頻率與高頻渦動頻率間的較寬轉速范圍即是轉子系統(tǒng)的安全工作范圍。從有限元轉子動力學模型數值計算得到的系統(tǒng)臨界轉速可以看出：4 000～220 000 r/min之間均為系統(tǒng)的安全轉速。對于25 mm透平膨脹機，220 000 r/min已經遠高于其工作轉速，4 000 r/min亦遠低于其設計轉速，故轉子在運行過程中只需跨越低頻渦動頻率運行在低頻、高頻渦動頻率間的安全轉速范圍即可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運行，其中箔片軸承的剛度與阻尼特性是保證轉子系統(tǒng)可以具有較大安全轉速范圍的關鍵因素。對于采用箔片軸承作為支撐的高速透平膨脹機，在其啟動升速過程即可跨越低頻渦動頻率，且箔片軸承良好的阻尼特性可以很好地耗散轉子的渦動能量以保證轉子的平穩(wěn)運行。

為了比較軸承剛度特性對轉子系統(tǒng)的影響，文中通過改變箔片軸承的箔片厚度使軸承具有不同支撐剛度大小，進而對比分析軸承支撐剛度對轉子系統(tǒng)臨界轉速的影響。表4所示為不同箔片厚度下軸承的剛度系數與阻尼系數。

表5所示為不同箔片厚度的軸承的臨界轉速大小。可以看出：不同箔片厚度的軸承對于轉子系統(tǒng)的前4階臨界轉速具有較大的影響，但對其高階臨界轉速基本無影響；隨著軸承所用箔片厚度的增加，軸承的剛度具有明顯的提升，使轉子系統(tǒng)的低階自然頻率具有明顯的提升現象，當箔片厚度由0.1 mm增加至1 mm，軸承低階臨界轉速由約3 000 r/min增加至12 000 r/min。

表4 不同箔片厚度下軸承的剛度系數與阻尼系數Table 4 Stiffness and damping of protuberant foil bearing with different foil thickness

表5 軸承剛度對臨界轉速的影響Table 5 The influence of bearing stiffness on critical speed

由于轉子系統(tǒng)中轉子的剛度并無變化，其高階臨界轉速基本維持在一定的值，但由于隨著軸承剛度的增大，其低階臨界轉速逐漸升高，使轉子系統(tǒng)的安全轉速范圍具有隨軸承剛度升高而減小的趨勢。因此，采用較低剛度的箔片軸承可以使轉子系統(tǒng)具有更寬的安全轉速范圍。然而，低剛度箔片軸承雖然可以使轉子系統(tǒng)具有更寬的安全轉速范圍，但同時軸承剛度的減小會使其在相同載荷下需要達到更大的偏心率，這對透平工作輪是不利的。同時，更大的徑向軸承偏心率會使軸承在工作過程中發(fā)生更大的局部不均勻變形，易造成軸承的損壞失效，且柔性較大的軸承在啟動時更易發(fā)生磨損，特別是當軸承具有一定預載荷時軸承極易出現磨損失效。

3 轉子動力學時域分析

文中所建立的有限元轉子動力學模型，需先通過攝動法計算得到箔片軸承的動態(tài)剛度系數與動態(tài)阻尼系數，帶入模型再進行后續(xù)的計算分析。攝動法屬于頻域分析方法的一種，其根據轉子軸心周期運動的特點將模型中的時間項得以簡化分析。然而實際的轉子運動狀態(tài)并非為準確周期運動，其頻率也可能并未單一，這種情況下攝動法運用的假設條件并不成立，使模型的數值計算存在較大的誤差。因此文中提出一種時域分析模型。

假定一個質量為mr、轉動慣量為J而偏心為em的轉子，其形心為(xo,yo)質心為(xc,yc)，形心與質心連線與水平面的夾角為θr，得到轉子的運動方程并通過Newton-Raphson法進行求解。模型的結構簡圖如圖4所示。

圖4 時域模型結構簡圖Fig 4 Schematic diagram of the time domain model

通過轉子動力學時域分析模型進行數值計算得到的轉子軸心軌跡如圖5所示，可以看出：低頻渦動的存在使轉子的軸心軌跡呈現明顯的帶狀分布。后續(xù)對轉子軸心軌跡數據進行分析得到轉子在x、y方向的位移信號，對位移信號進行頻譜分析即可獲得轉子運動的頻率信息。

為了探究時域模型對于轉子運動狀態(tài)描述的準確性，文中對一臺采用箔片軸承的高速透平膨脹機進行了相關試驗研究，并將試驗結果與數值分析結果進行對比，驗證時域分析對于高速透平轉子動力學行為分析的有效性。試驗研究的測試系統(tǒng)與測試元件如圖6所示。

圖5 時域分析模型計算的軸心軌跡與頻譜分析結果Fig 5 The orbit of rotor center and the frequency analysis results of the time domain model (a)orbit of rotor center at 60 000 r/min;(b)frequency analysis results

圖6 試驗測試系統(tǒng)與測試元件圖Fig 6 Test system and the tested turbo expander

試驗測得25 mm轉子在60 000 r/min轉速下的軸心軌跡如圖7所示。與數值計算結果進行直觀地對比可以發(fā)現：試驗所得轉子軸心軌跡與頻譜分析結果與數值模型模擬所得結果吻合良好，兩者均同時存在主頻與低頻2個渦動頻率成分，其中的主頻由轉子不平衡質量引起，與轉速頻率一致。由此可見，轉子動力學時域分析模型可以更加直觀準確地對轉子的運動狀態(tài)進行分析。

圖7 試驗測得的轉子軸心軌跡與頻譜分析結果Fig 7 The orbit of rotor center and the frequency analysis results by experiment (a)orbit of rotor center at 60 000 r/min;(b)frequency analysis results

4 結論

(1)軸承的剛度特性對轉子系統(tǒng)自然頻率具有重要影響，轉子系統(tǒng)的低頻渦動頻率隨軸承剛度的增大而增大，其高階渦動頻率由轉子剛度決定。

(2)高速透平轉子系統(tǒng)的低階臨界轉速與所采用軸承的支撐特性具有重要的聯系，軸承剛度越大系統(tǒng)低階臨界轉速越大。

(3)高速透平轉子系統(tǒng)的高階臨界轉速遠高于透平的工作轉速，其高階臨界轉速與軸承的剛度特性無關，僅由轉子剛度決定，采用箔片軸承進行支撐可以使透平轉子系統(tǒng)具有更寬的安全轉速范圍，且其低頻渦動頻率相比透平的工作轉速要低得多，僅需在啟動過程中跨越其低階臨界轉速即可平穩(wěn)運行。

(4)采用轉子動力學時域模型可以更加直觀地描述轉子的運動狀態(tài)，可以得到轉子的軸心運動軌跡，其計算結果與實驗結果吻合良好且更加貼合工程實際。