趙 軍,褚丹丹,許新科,郭天太,孔 明

(中國(guó)計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院,浙江 杭州 310018)

直線度測(cè)量是形狀誤差測(cè)量中非常重要的一項(xiàng)測(cè)試內(nèi)容,同時(shí)也是垂直度、同軸度、平面度等誤差測(cè)量項(xiàng)的基礎(chǔ),對(duì)儀器的精度有著直接的影響[1],因此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)直線度的測(cè)量方法和測(cè)試結(jié)果做了大量的理論研究和實(shí)驗(yàn)論證[2-3].目前為止,測(cè)量直線度的方法有很多,根據(jù)測(cè)量中是否以激光為載體劃分,可分為非激光的測(cè)量方法和激光類測(cè)量方法兩大類[4].其中,非激光的測(cè)量方法有重力法、水平儀法和測(cè)微儀法等,這類測(cè)量方法操作簡(jiǎn)單、成本較低,但其測(cè)量結(jié)果的精度較低且測(cè)量范圍有限.相比之下,以激光為載體的直線度測(cè)量方法因激光的相干性好、方向性好、抗干擾性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),在實(shí)際操作中具有更高的測(cè)量精度,因此，更廣泛地運(yùn)用于生產(chǎn)實(shí)踐中.比較常用的激光類直線度測(cè)量方法有激光相位測(cè)量法、激光偏振測(cè)量法等.激光相位測(cè)量法的工作原理是根據(jù)干涉光路相位發(fā)生的變化,計(jì)算被測(cè)對(duì)象的直線度誤差,這種方法能夠達(dá)到較高的精度,但其測(cè)量范圍有限;激光偏振測(cè)量法的工作原理是通過(guò)激光偏振方向的改變來(lái)獲取被測(cè)對(duì)象的直線度誤差,這種方法不受光斑衍射、窄縫傾斜等影響,但受光學(xué)元器件工藝的制約較大[5].

本文通過(guò)激光光強(qiáng)測(cè)量法,采用激光干涉儀、CCD相機(jī)和光學(xué)鏡組搭建了導(dǎo)軌直線度測(cè)量系統(tǒng),通過(guò)圖像處理方法獲取導(dǎo)軌上每個(gè)被測(cè)位置采集的光斑圓心坐標(biāo),求出每個(gè)被測(cè)位置的光斑圓心與初始位置光斑圓心的偏移量,利用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,最終求得導(dǎo)軌直線度誤差.

1 測(cè)量系統(tǒng)的介紹

1.1 測(cè)量系統(tǒng)的工作原理

從激光干涉儀發(fā)射出一束激光,激光束經(jīng)分光棱鏡分光之后,一束光線反射出去;另一束光線根據(jù)光路傳播原理,到達(dá)平面反射鏡,并原路返回經(jīng)分光棱鏡被CCD相機(jī)接收,獲得一初始光斑.當(dāng)平面反射鏡隨移動(dòng)靶標(biāo)在導(dǎo)軌上移動(dòng)一段距離之后,形成新的位置的光斑.理論上,將此二光斑擬合在一張圖片中時(shí),兩個(gè)光斑能達(dá)到重合,而在實(shí)際操作過(guò)程中,由于導(dǎo)軌直線度誤差的存在,光斑圓心并不完全重合,導(dǎo)軌上有凸起或凹陷,即該位置存在偏折角.

d=D·tanθ.

(1)

其中:θ為測(cè)量位置點(diǎn)的偏折角,D為激光的光程,d為兩光斑圓心坐標(biāo)的偏移量.本文著力于根據(jù)平面反射鏡的移動(dòng)距離和各測(cè)量點(diǎn)測(cè)得的光斑圓心與初始位置光斑圓心之間的偏移情況,來(lái)求取導(dǎo)軌的直線度誤差信息.

由式(2)可求得出兩光斑圓心之間的偏移量d:

(2)

式(2)中:(xi,yi)為導(dǎo)軌上任意位置時(shí)的光斑圓心坐標(biāo);(x0,y0)為初始位置時(shí)的光斑圓心坐標(biāo).

評(píng)定導(dǎo)軌的直線度誤差時(shí),在導(dǎo)軌上各測(cè)量點(diǎn)測(cè)得的光斑圓心是在與初始位置光斑圓心位置所在的中心線lLS平行,且以dmax為半徑的圓柱面內(nèi)[6].其正投影情況如圖1.

圖1 測(cè)量點(diǎn)分布圖Figure 1 Distribution map of measurement points

1.2 測(cè)量系統(tǒng)的組成

測(cè)量系統(tǒng)包括機(jī)架、激光干涉儀、CCD相機(jī)和光學(xué)鏡組,其架構(gòu)組成如圖2.激光干涉儀和CCD相機(jī)固定安裝在機(jī)架上,在激光干涉儀鏡頭正前方安裝分光棱鏡且分光面與水平面成45°,分光棱鏡正下方安裝CCD相機(jī),確保激光干涉儀發(fā)射出的一束激光經(jīng)過(guò)分光棱鏡之后一束光線反射出去,另一束光線在經(jīng)過(guò)光路傳播回來(lái)之后使光斑落在CCD相機(jī)的感光面上.平面反射鏡固定在導(dǎo)軌的移動(dòng)靶標(biāo)上,使光線能沿著平行于導(dǎo)軌的方向傳播并反射至CCD相機(jī)接收.通過(guò)圖像處理的方法提取光斑圓心坐標(biāo),獲得各測(cè)量位置光斑圓心和初始位置光斑圓心的相對(duì)偏移量;利用最小二乘法求得被測(cè)導(dǎo)軌的直線度誤差.該測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單合理,操作方便,測(cè)量精度高,大大提高了檢測(cè)效率.

1—激光干涉儀;2—分光棱鏡;3—CCD相機(jī);4—被測(cè)導(dǎo)軌;5—平面反射鏡;6—移動(dòng)靶標(biāo);7—靶標(biāo)A面;8—靶標(biāo)B面圖2 導(dǎo)軌直線度測(cè)量系統(tǒng)Figure 2 Measuring system for straightness of guiderail

2 圖像處理及最小二乘法

2.1 光斑的圖像處理

光斑圓心坐標(biāo)的提取精度直接影響著實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性,實(shí)驗(yàn)中將采集的圖片進(jìn)行圖像預(yù)處理之后,利用hough變換進(jìn)行圓檢測(cè)[7].傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算子可以分辨被測(cè)圖像邊緣處灰度值較大的位置,但其定位精度只能達(dá)到像素級(jí)[8],為了提高實(shí)驗(yàn)中圖像的光斑邊緣檢測(cè)精度,我們采用了三次樣條插值法對(duì)光斑圖像邊緣進(jìn)行插值處理,使光斑邊緣達(dá)到亞像素級(jí)[9],從而提高了后期提取到的圓心坐標(biāo)值的精確性.

三次樣條插值的定義為:若函數(shù)S(x)滿足:S(x)在每個(gè)子區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…n)上是不高于三次的多項(xiàng)式,其中(a=x0

1)S(x),S′(x),S″(x)在[a,b]上連續(xù).

2)滿足插值條件S(xi)=f(xi)(i=0,1,…,n),則稱S(x)為函數(shù)f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn的三次樣條插值函數(shù).

在對(duì)圖像的插值處理中,使用插值函數(shù)S(ω),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(3)

理論上,三次樣條插值的最佳插值函數(shù)為sinc(ω),而上式中的三次多項(xiàng)式S(ω)正是對(duì)函數(shù)sinc(ω)的逼近.

取浮點(diǎn)坐標(biāo)(i+μ,j+v)周圍十六個(gè)鄰點(diǎn),而我們想要獲得的目的像素c的值f(i+μ,j+v)可由如下的插值公式得到

f(i+μ,j+v)=ABC.

(4)

其中:

A=[S(1+u)S(u)S(1-u)S(2-u)],

(5)

(6)

(7)

對(duì)光斑邊緣亞像素化的圖像進(jìn)行二值化處理[10],選取最佳閾值對(duì)灰度邊緣圖像進(jìn)行閾值分割,在選取最佳閾值時(shí),采用的是最大類間方差法,以圖像中光斑明亮處和黑色背景的類間方差作為閾值選取的度量準(zhǔn)則[11].利用這一準(zhǔn)則遍歷圖像灰度直方圖的整個(gè)灰度級(jí)范圍,當(dāng)閾值在直方圖波谷或波谷附近時(shí),圖像中光斑明亮處與黑色背景之間的分離特性達(dá)到最佳,此時(shí)的閾值即為最佳閾值.之后利用hough變換擬合得到圓,在該圓上任取3個(gè)點(diǎn),通過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)確定圓心坐標(biāo).圖3(a)和3(b)分別為光斑原圖和擬合圓之后的圖.

圖3 光斑原圖和擬合圓Figure 3 Original light spot and fitting circle

2.2 最小二乘法

最小二乘法是一種在多種學(xué)科中被廣泛應(yīng)用的數(shù)據(jù)處理方法,它以最小二乘直線作為評(píng)定基準(zhǔn)線[12],其中,最小二乘直線即是在殘余誤差平方和最小的條件下求得的一條直線[13].

基于Matlab軟件進(jìn)行圖像處理后得到的數(shù)據(jù)是像素單位,實(shí)驗(yàn)采用黑白棋盤格標(biāo)定法對(duì)CCD相機(jī)進(jìn)行了標(biāo)定.

標(biāo)定的目的是獲得圖像中每個(gè)像素對(duì)應(yīng)的實(shí)際尺寸,用到的標(biāo)定板中每一方格為2 mm×2 mm,圖4為標(biāo)定板的尺寸圖.令CCD分別在距離標(biāo)定板30 cm、40 cm、50 cm位置獲取棋盤格圖片,計(jì)算得到這些位置時(shí)圖像中每個(gè)像素的大小對(duì)應(yīng)的實(shí)際尺寸大小分別為0.003 418 mm、0.004 407 mm和0.005 399 mm.根據(jù)線性關(guān)系擬合得到直線y=0.000 099 05x+0.000 446 5,其中,x是距離,單位cm;y是實(shí)際尺寸,單位mm.實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí),CCD相機(jī)與導(dǎo)軌上最近的測(cè)試點(diǎn)距離為79 cm,最遠(yuǎn)點(diǎn)距離為119 cm,由擬合直線可分別獲得各個(gè)測(cè)量位置光斑圓心坐標(biāo)的物理坐標(biāo).

圖4 棋盤格標(biāo)定板尺寸Figure 4 Checkerboard calibration board size

根據(jù)各測(cè)得點(diǎn)的坐標(biāo),用最小二乘法計(jì)算直線度誤差[12],設(shè)最小二乘方程為y=ax+b,參考式(8)、(9):

(8)

(9)

得a=0.000 121 0;b=0.030 7,則最小二乘直線方程為

y=0.000 121 0x+0.030 7.

將最小二乘計(jì)算法以列表的形式進(jìn)行,其中,正數(shù)最大值與負(fù)數(shù)最小值絕對(duì)值之和即為所求直線度誤差,fLS=|0.036 7|+|-0.038 1|≈0.075 mm,見(jiàn)表1第7列數(shù)據(jù).

表1 最小二乘法計(jì)算直線度誤差Table 1 Calculation of straightness error by least square method

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集及處理

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中,被測(cè)導(dǎo)軌長(zhǎng)為60 cm,故實(shí)驗(yàn)操作時(shí),在導(dǎo)軌上每隔5 cm獲取一張實(shí)驗(yàn)光斑圖片,一組實(shí)驗(yàn)共獲取9張圖,在第一個(gè)測(cè)量位置獲取的光斑圖像作為參考點(diǎn),稱為初始光斑圖片,靶標(biāo)等距離移動(dòng)到位置1,2,3…i(i=8)獲取的圖片即為各測(cè)量點(diǎn)光斑圖片.將CCD采集的圖片通過(guò)Matlab進(jìn)行圖像處理,分別求得各光斑圓心坐標(biāo).

光斑圓心坐標(biāo)給出的信息是導(dǎo)軌的空間直線度情況,根據(jù)各測(cè)量點(diǎn)光斑與初始光斑圓心坐標(biāo)的偏移量,可以分離出被測(cè)導(dǎo)軌分別在X-Y平面和X-Z平面的單維直線度誤差.在實(shí)驗(yàn)操作中,使用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)導(dǎo)軌的直線度進(jìn)行了同步測(cè)量.

獲取導(dǎo)軌在X-Y平面的單維直線度誤差,當(dāng)裝有平面反射鏡的移動(dòng)靶標(biāo)每次停頓在導(dǎo)軌上的一個(gè)測(cè)量位置時(shí),通過(guò)CCD獲取對(duì)應(yīng)光斑圖片,同時(shí)用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)按靶標(biāo)移動(dòng)方向在靶標(biāo)A面采點(diǎn)(鎖定三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)X軸方向).通過(guò)式(10)可求得

(10)

其中，θ′為三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在對(duì)應(yīng)測(cè)量位置測(cè)得的偏折角,Δh為兩個(gè)相鄰測(cè)量點(diǎn)之間的Z坐標(biāo)之差,L為兩點(diǎn)之間的Y坐標(biāo)之差.將tanθ′與光斑圓心坐標(biāo)偏移量中分離出來(lái)的單軸直線度信息對(duì)比,能夠找出兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

同理,在靶標(biāo)B面按其移動(dòng)方向采兩個(gè)點(diǎn)(鎖定三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)Z軸方向),數(shù)據(jù)處理后,可求得導(dǎo)軌在X-Z平面的單維直線度誤差.

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

表2 X-Y平面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集Table 2 Experimental data collection of X-Y plane

由擬合曲線可知,在X-Y平面,實(shí)驗(yàn)方法計(jì)算得的tanθ與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)數(shù)據(jù)求得的tanθ′曲線趨勢(shì)一致,如圖5(a).同理可得,在X-Z平面可知tanθ與tanθ′曲線成鏡像關(guān)系,如圖5(b).

圖5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)數(shù)據(jù)對(duì)比Figure 5 Comparison between experimental data and tri-coordinate measuring machine data

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,本光學(xué)測(cè)試系統(tǒng)能夠測(cè)試導(dǎo)軌的空間直線度誤差,并且將光斑圓心坐標(biāo)中的Y坐標(biāo)偏移量提取出來(lái)能夠單獨(dú)求得X-Y、X-Z平面的直線度誤差.數(shù)據(jù)處理結(jié)果與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得的情況一致.

利用最小二乘法求導(dǎo)軌在X-Y面的單軸直線度誤差,計(jì)算結(jié)果如表3,其中誤差ε=實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)-三坐標(biāo)數(shù)據(jù).

表3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與三坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)比表Table 3 Comparison table of experimental data and tri-coordinate measuring data

由表3可知,實(shí)驗(yàn)測(cè)得的誤差數(shù)據(jù)均比三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的數(shù)據(jù)大.理論上,測(cè)量系統(tǒng)中分光棱鏡的分光面與CCD相機(jī)相面之間的夾角為45°,但實(shí)際搭建系統(tǒng)時(shí)存在一定的偏轉(zhuǎn),且分光棱鏡與CCD相機(jī)之間的距離越大,夾角偏轉(zhuǎn)量對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響就越大.實(shí)驗(yàn)中通過(guò)電機(jī)控制靶標(biāo)移動(dòng),電機(jī)的分辨率大于激光干涉儀的分辨率,不能給出測(cè)試點(diǎn)更高精度的定位,此外,實(shí)驗(yàn)操作中被測(cè)導(dǎo)軌上靶標(biāo)移動(dòng)時(shí)的振動(dòng)以及提取光斑圓心坐標(biāo)的精確度也對(duì)測(cè)量結(jié)果有一定影響.將多組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析比較,實(shí)驗(yàn)中所用的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)精度在10 μm,根據(jù)ε可知,本實(shí)驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量精度在40 μm左右.

4 結(jié)語(yǔ)

提出了一種基于多數(shù)據(jù)融合的測(cè)量方法，實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)軌的單維和空間直線度誤差測(cè)量[14],將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比,實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明,本測(cè)試方法分離出的單維直線度誤差趨勢(shì)與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得的數(shù)據(jù)擬合得到的導(dǎo)軌直線度誤差趨勢(shì)有很好的對(duì)應(yīng)關(guān)系.通過(guò)最小二乘法可得到導(dǎo)軌的空間直線度誤差,實(shí)驗(yàn)表明,本測(cè)試系統(tǒng)具有運(yùn)行穩(wěn)定、精度高等優(yōu)點(diǎn),相比較三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)具有成本低、靈活性強(qiáng)、測(cè)量范圍廣等優(yōu)點(diǎn).