袁文峰

（山東理工大學物理與光電工程學院，山東淄博，255000）

0 引言

轉動慣量是剛體轉動時慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質量分布及轉軸的位置。剛體的轉動慣量有著重要的物理意義，在科學實驗、工程技術、航天、電力、機械、儀表等工業(yè)領域也是一個重要參量。

電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉動慣量不同，可分別用于測量微小電流（檢流計）或電量（沖擊電流計）。在發(fā)動機葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設計上，都要求精確地測定轉動慣量；因此努力提高轉動慣量的測量精度，是十分必要的。

1 轉動慣量的計算

如圖1中的A是一個具有不同半徑的塔輪，兩邊對稱地伸出兩根有等分刻度的均勻細柱，B和B'上各有一個可以移動的圓柱形重物m，它們一起組成一個可繞oo'軸轉動的剛體系，塔輪上繞一細線，通過滑輪c與砝碼m相連，當m下落時，通過細線對剛體施加外力矩。

圖1

可得：

實驗中 g >> a,Mu<< mgr 時近似有：

可以分幾種情況討論：

根據(jù)（3）式保持重物m的位置不變，(剛體系的轉動慣量J就不變），改變m測出相應的下落時間t，則：

上式表明m與 t2成反比，即m與為線性關系，作圖為一直線，轉動定律得以證明。

保持h,m及重物m的位置保持不變，改變r,則根據(jù)（3）式有：

保持r,h,m不變，對稱地改變兩個重物m的質心到oo'之間的距離x,根據(jù)剛體轉動慣量的平行軸定理，整個剛體繞oo'軸的轉動慣量為：

式中Jo為塔輪與兩臂B,B'繞oo'軸的轉動慣量，將式（6）代入（3）式，得：

對稱地移動兩個重物mo的位置。可得不同的x，測出x及其對應的t值，作22t-x圖線，如果為一條直線，則證明（7）成立，即證明平行軸定理的正確性。

2 改進方法

從以上分析可知，在實驗中無論用哪種方法證明，其中一個最重要的物理測量量是砝碼下落一定距離為h所用的時間t，現(xiàn)有的教科書以及現(xiàn)在的設備配套都是用秒表測量，用這種方法測得的最大困難是難以控制秒表的啟動與砝碼下落的同步，對沒有多少實驗經(jīng)驗的學生更為困難，導致實驗誤差較大，在試驗中，使用重力加速度測試儀的光電測量系統(tǒng)，可以得到理想的效果。實驗裝置如圖2所示。

它是由剛體轉動試驗儀和重力加速度儀組成，用重力加速度測試儀的光電測量系統(tǒng)進行測時。

光電測量系統(tǒng)測時間t。當剛體繞固定軸轉動，砝碼下落經(jīng)第一個光電門擋光時，計時器開始計時；當砝碼盤繼續(xù)下落經(jīng)第二個光電門擋光時，計時器停止計時，這樣計時器記錄了砝碼下落h高度所用的時間t，克服了手控秒表的啟動與砝碼下落不一致的困難。

2.1 電源控制系統(tǒng)

7805系列集成穩(wěn)壓器的典型應用電路如圖3所示，這是一個輸出正5V直流電壓的穩(wěn)壓電源電路。IC采用集成穩(wěn)壓器7805，C1、C2分別為輸入端和輸出端濾波電容，RL為負載電阻。當輸出較大時，7805應配上散熱板。

用78/79系列三端穩(wěn)壓IC來組成穩(wěn)壓電源所需的外圍元件極少，電路內部還有過流、過熱及調整管的保護電路，使用起來可靠、方便，而且價格便宜。

圖3

2.2 控制電路和顯示系統(tǒng)

系統(tǒng)通過控制單片機輸出高低電平，經(jīng)三極管放大驅動數(shù)碼管的位碼，從而調用位選；再通過單片機直接控制數(shù)碼管的斷碼，實現(xiàn)在數(shù)碼管上顯示數(shù)字。電路圖如圖4所示。

圖4

2.3 紅外對光系統(tǒng)

利用光電門紅外對光電路采集信息，當砝碼盤通過第一個光電門時，紅外對光管接受信息，產(chǎn)生一個脈沖，觸發(fā)P3.2口中斷，開始計時，當經(jīng)過第二個光電門時又產(chǎn)生一個脈沖，觸發(fā)中斷，計時停止。如圖5所示。

圖5

該電路可以避免可見光帶來的干擾，檢測障礙物的距離在0～15cm，效果不錯。缺點是引用占用IO口較多，操作較為復雜。當隨著光線變化時，IOA0口讀進來的電壓值也就發(fā)生變化。這個使用通過IOA4、IOA5、IOA6、IOA7依次選通，選擇最接近參考值的電壓作為判斷電壓，從而產(chǎn)生中斷電壓。

2.4 單片機的中斷系統(tǒng)

圖6

輸出接在P3.2上。當砝碼經(jīng)過第一個光電門時，第一個光電門產(chǎn)生一個脈沖，而第二 個光電門仍處于無觸發(fā)狀態(tài)。兩個紅外對接管的輸出端相與，便可得到一個低電平，觸發(fā)中斷，開始計時。當砝碼經(jīng)過第二個光電門時，第二個光電門產(chǎn)生觸發(fā)脈沖，與第一個光電門的無觸發(fā)信號相與，產(chǎn)生低電平，觸發(fā)中斷，計時終止。

3 改進前后實驗結果記錄[3]

3.1 轉動定律的證明

3.1.1 由證明轉動定律

保持r,h及mo位置不變, h = 40.00 cm, r = 3.00cm,m在5,5'位置，改變m測t實驗測得結果如表1和表2。

表1 用測定儀測量結果

表2 用秒表測量結果

據(jù)表中數(shù)據(jù)用matlab軟件作圖7。

圖7

由圖像7知m與1/t^2成正比，m=k·1/t2成立，表明M=JB成立。y1是改進后的實驗裝置的m-1/t2圖像，y2是用秒表計時的實驗裝置的m-1/t2圖像，y3是理論值曲線。從圖中可以看出，改進后的裝置測得的關系圖距離理論值更近。當質量較大，達到16g以上后，轉動慣量為：J1=gkr2/2h=1.91·10-3(kg·m2)，J2= gkr2/2h=2.27·10-3比較數(shù)據(jù)以及圖像，顯然用秒表計時比用計時裝置計時所得轉動慣量偏差了15.7%。本儀器的理論值位J=1.87·10-3(kg·m2).

此實驗裝置的核心內容是：通過單片機的P3.2口是單片機產(chǎn)生中斷開始計時或終止計時，而要產(chǎn)生中斷則必須要有觸發(fā)中斷的脈沖。上文中已提過，用紅外對接管產(chǎn)生觸發(fā)中斷的脈沖，但是單片機只有一個P3.2口，系統(tǒng)卻有兩個紅外對接光電門。

在此處我們采用了與門電路，讓兩個紅外對接管產(chǎn)生的脈沖相與，如圖6所示。與理論值比較，用改進后的計時裝置測得的轉動慣量與理論值誤差為2.14%。而用秒表計時測得的轉動慣量誤差為21.39%。顯然用秒表計時誤差太大，測得數(shù)據(jù)不準確，而相比之下，改進后的計時裝置與理論值很符合，在小誤差范圍內，說服力很強。

3.1.2 由證明轉動定律

保持h,m及mo位置不變，在 m = 40.00g, h = 40.00cm ,mo在5,5'位置。改變r,測t。實驗結果如表3和表4。

表3 用測定儀測量結果

表4 用秒表測量結果

據(jù)表中數(shù)據(jù)用matlab作圖8。

圖8中y1是用秒表計時的r-1/t的圖像，y2是改裝后的計時裝置的r-1/t的圖像，y3是理論值圖像，從圖中，我們可以看出，改進后的裝置更接近理論值圖像。且改進后的裝置和秒表計時，兩者有很大的差異，計算的y1時的轉動慣量為：J=1.672·10-3(kg·m2)而y2時的轉動慣量為J=1.782·10-3(kg·m2)。當而與理論值相比較改裝后的計時裝置測得的轉動慣量偏差4.7%。而秒表計時測得的轉動慣量與理論值偏差了10.6%。顯然改裝后的計時裝置比原秒表計時精度高的多。

圖8

3.2 驗證平行軸定理[4]

在式（7）中，使m= 10.00g,r= 2.50cm時，實驗結果如表5和表6。

表5 用秒表測量結果

表6 用測定儀測量結果

由表格中數(shù)據(jù)計算，物體繞通過質心的軸的轉動慣量是Jc=1.9021(kg·m2)，則該質心軸平行的軸的轉動慣量為:

此結果與理論值偏差了1.72%，顯然在誤差范圍內?？偨Y上述各種情況得出結論：改進裝置測得轉動慣量比秒表計時得到的轉動慣量精確的多，誤差小的多，由手動計時改變?yōu)樽詣佑嫊r。

4 改進后的優(yōu)點[5]

從以上改進前后兩組數(shù)據(jù)對比看出，用加速度測試儀計時系統(tǒng)比用秒表測量有很多優(yōu)點：

(1)由于重力加速度測試儀上的計時器比秒表精度高，有效數(shù)字提高了兩位，減小了系統(tǒng)誤差。

(2)用砝碼下落去控制計時器計時，克服了手動秒表測量砝碼下落與計時器不同步的困難，所以數(shù)據(jù)浮動小，減小了偶然誤差。

(3)節(jié)省減少開支，提高了儀器的利用效率。重力加速度測試儀是物理實驗室常備的實驗儀器，直接用它的計時系統(tǒng)不需要專門為剛體轉動慣量測試儀配備秒表。