任 寧,李金仙

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

自古以來(lái)，謠言都是一種重要的消息傳播方式[1].不同的書(shū)本與文獻(xiàn)對(duì)謠言有著不同的定義，但它們對(duì)謠言的描述都包括“沒(méi)有事實(shí)依據(jù)”這一條[2].社會(huì)上的每個(gè)人都有自己的辨別能力和主觀想法，所以他們對(duì)待謠言的態(tài)度也不一樣[3].謠言所引起的人們的恐慌以及各方面的損失是我們不希望看到的[4].因此，謠言傳播的過(guò)程特征，如何減少謠言傳播的危害以及如何引領(lǐng)人們進(jìn)行謠言相關(guān)的預(yù)防措施成為了十分重要的研究課題[5].在傳統(tǒng)的謠言傳播模型中，只考慮了一個(gè)人在聽(tīng)到謠言后，或者繼續(xù)傳播，或者不理睬，卻沒(méi)有考慮這個(gè)人有可能不贊同這個(gè)謠言[6].而在實(shí)際謠言傳播過(guò)程中，有些人不但不傳播謠言，還會(huì)勸說(shuō)其他人不要傳播，這反映出社會(huì)網(wǎng)絡(luò)本身對(duì)謠言傳播的一種自發(fā)抵抗，這也是本文主要研究的問(wèn)題[7].同時(shí)，為了使動(dòng)力學(xué)方程封閉，利用了概率生成函數(shù)的方法[8].通過(guò)謠言傳播模型的研究，為現(xiàn)實(shí)生活中有害謠言的抑制提供了一系列理論依據(jù).

1 SICR謠言傳播模型

1.1 定義

根據(jù)人群對(duì)謠言的態(tài)度，將人群分為4大類(lèi)：未知者，傳播者，反對(duì)者和沉默者，分別用S,I,C,R來(lái)表示它們的密度，且滿足S+I+C+R=1[9].設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的人群總數(shù)設(shè)為N，即網(wǎng)絡(luò)中總節(jié)點(diǎn)數(shù)為N，網(wǎng)絡(luò)中的總邊數(shù)為A.其他參數(shù)定義詳見(jiàn)表1.

表1 主要參數(shù)

續(xù)表1

符號(hào)定義PIS節(jié)點(diǎn)發(fā)出的邊連接到I節(jié)點(diǎn)的概率PSS節(jié)點(diǎn)發(fā)出的邊連接到S節(jié)點(diǎn)的概率PCS節(jié)點(diǎn)發(fā)出的邊連接到C節(jié)點(diǎn)的概率AX集合X中節(jié)點(diǎn)發(fā)出的邊的數(shù)量MX集合X中節(jié)點(diǎn)發(fā)出的邊占網(wǎng)絡(luò)中所有邊的比例AXY集合X中節(jié)點(diǎn)發(fā)出連接到集合Y中節(jié)點(diǎn)的邊的數(shù)量MXY集合X中節(jié)點(diǎn)發(fā)出連接到集合Y中節(jié)點(diǎn)的邊占網(wǎng)絡(luò)中所有邊的比例δXYXY二元組中X節(jié)點(diǎn)余度的平均值δXY(Z)δXY條邊中連向Z類(lèi)節(jié)點(diǎn)的平均值

1.2 模型的構(gòu)建

1.2.1SICR謠言傳播模型的傳播機(jī)制

SICR謠言傳播模型的傳播機(jī)制描述為.

1)當(dāng)一個(gè)未知者(S)遇到一個(gè)傳播者(I)時(shí)，可能以概率α變?yōu)橐粋€(gè)新的傳播者；可能以概率β變?yōu)橐粋€(gè)新的沉默者；可能以概率δ變?yōu)橐粋€(gè)新的反對(duì)者；

2)當(dāng)一個(gè)傳播者(I)接觸到其他傳播者(I)或沉默者(R)時(shí)，會(huì)以概率γ變?yōu)橐粋€(gè)新的沉默者；

3)當(dāng)一個(gè)傳播者(I)遇到不認(rèn)同該謠言的反對(duì)者(C)時(shí)，反對(duì)者會(huì)盡力說(shuō)服傳播者放棄傳播謠言，則該傳播者會(huì)以概率η變?yōu)樾碌某聊?

類(lèi)似于文獻(xiàn)[10]的推導(dǎo)，用Sk(t)表示時(shí)刻t度為k的節(jié)點(diǎn)是未知者的密度，那么我們可以得到

(1)

(2)

(3)

其中θ表示度為1的節(jié)點(diǎn)是未知者的概率.

利用度分布pk的概率生成函數(shù)，可以得到

S=p0+p1θ+p2θ2+p3θ3=g(θ),

(4)

此式可以用于簡(jiǎn)化后面的公式.且容易得

(5)

由(1)式，可知

(6)

則

(7)

又由

(8)

得

(9)

且

(10)

為了確定MSI關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可以從3個(gè)方面考慮.

1) 在SI二元組中由于傳播者對(duì)謠言的傳播使未知者變成傳播者，容易得到MSI減少的比率為(α+β+δ)MSI；

2) 由于未知者的余度鄰居的狀態(tài)的不同導(dǎo)致的MSI的變化.假設(shè)任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)其鄰居狀態(tài)之間是相互獨(dú)立，而且從S出發(fā)并且指向其他節(jié)點(diǎn)的邊數(shù)服從多項(xiàng)分布.PS+PI+PC+PR=1，則可以得到未知者節(jié)點(diǎn)的余度分布的概率生成函數(shù)為

gSI(XS,XI,XC,XR)=g′[θ(PSXS+PIXI+PCXC+PRXR)]/g′(θ).

(11)

由(11)式以及概率生成函數(shù)的性質(zhì)，可以得到以下3個(gè)式子

(12)

(13)

(14)

3) 由于SI邊中，由于I的恢復(fù)，使SI邊變?yōu)镾R邊導(dǎo)致的MSI的減少，并利用對(duì)逼近的思想，得到MSI減少的比率，用*式表示.

(15)

由此，可以知道

(16)

把公式(8～10)、(16)帶入公式(7)可以得到

(17)

類(lèi)似推理可知

(18)

(19)

(20)

因此 可得到如下封閉系統(tǒng)：

2 理論分析

2.1 初始條件

假設(shè)初始時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)被隨機(jī)選擇為傳播者的概率為ε，那么可以得到如下的初始條件：

1)MI=ε,MSI≈MI=ε；

2)MS=1-MSI=1-ε,MSS=MS-MSI=1-2ε；

4)MIC=0；

5)θ=1-ε.

2.2 傳播閾值

將上面的初始條件應(yīng)用到公式(17)中，并且注意到ε<<1，我們可以得到：

(21)

(22)

(23)

3 仿真模擬

下面在泊松網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行數(shù)值仿真，不失一般性，設(shè)這里的網(wǎng)絡(luò)平均度為4，初始時(shí)刻ε=10-3.

從圖1中可以看出，傳播者的密度隨時(shí)間的增加而增加直到峰值，之后開(kāi)始下降.說(shuō)明謠言傳播過(guò)程中，傳播者的數(shù)量一開(kāi)始會(huì)逐漸增多，到達(dá)最大值之后開(kāi)始下降，直到傳播者數(shù)量趨于0.這時(shí)謠言傳播終止，網(wǎng)絡(luò)中不再有謠言出現(xiàn).

圖2顯示了SICR謠言模型在不同的參數(shù)下，傳播者的峰值受參數(shù)變化的影響.可以看出傳播者的變化總體趨勢(shì)相同，同時(shí)峰值隨著α或δ的增大而增大.

圖1 傳播者密度隨時(shí)間的變化趨勢(shì) 圖2 傳播者的密度隨α或δ的增加而變化的情況

4 結(jié)語(yǔ)

本文考慮了謠言傳播過(guò)程中可能出現(xiàn)反對(duì)者，所以在經(jīng)典SIR模型中加入了反對(duì)機(jī)制，利用了概率生成函數(shù)的方法分析了當(dāng)出現(xiàn)反對(duì)者時(shí)謠言傳播的過(guò)程，分析了謠言傳播的閾值，并進(jìn)行了仿真模擬.加入反對(duì)者的謠言傳播模型體現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)生活中一部分人對(duì)謠言的抵抗，同時(shí)概率生成函數(shù)是一個(gè)十分有效的數(shù)學(xué)工具，要善于利用概率生成函數(shù)進(jìn)行思考.這個(gè)課題還有很多可以做的工作，希望本篇的工作可以為進(jìn)一步研究提供參考.