范青林

板塊模型是高中物理的經(jīng)典模型，它主要涉及高中物理的核心內(nèi)容，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律、動(dòng)能定理、能量守恒定律、運(yùn)動(dòng)圖像、動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律等。板塊模型的研究對(duì)象一般有多個(gè)，并結(jié)合多個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，能夠有效地考查學(xué)生的綜合素養(yǎng)，具有良好的區(qū)分度。板塊模型是高考中的熱點(diǎn)，并且常常以大型計(jì)算題出現(xiàn)，是同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)必須多加留意的重難點(diǎn)。下面筆者通過(guò)對(duì)典型例題的剖析，總結(jié)出這類模型的特點(diǎn)及解題策略，以期對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)有所助益。

一、水平面上的板塊模型問(wèn)題

【例1】如圖1所示，質(zhì)量M=1 kg的木板A靜止在水平地面上，在木板的左端放置一個(gè)質(zhì)量m=1 kg的鐵塊B（大小可忽略），鐵塊與木塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.3，木板的長(zhǎng)L=1 m，用F=5 N的水平恒力作用在鐵塊上，且認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g取10 m/s2。

（1）若地面光滑，用計(jì)算說(shuō)明鐵塊與木板間是否會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

（2）若木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.1，求鐵塊運(yùn)動(dòng)到木板右端所用的時(shí)間。

【答案】（1）不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)? （2）s

【解析】（1）A、B之間的最大靜摩擦力為μ1mg=0.3× 1×10=3（N）。假設(shè)A、B之間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則對(duì)A、B整體有：F=（M+m）a，對(duì)B有：fAB=ma，解得：fAB=2.5 N。因?yàn)閒AB <μ1mg，故假設(shè)成立，即A、B之間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

（2）A、B之間發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則對(duì)B有：F-μ1mg=maB，對(duì)A有：μ1mg-μ2（M+m）g=MaA

據(jù)題意可得：xB-xA=L，xA=aAt2，xB=aBt2。由此可解得：t=s。

【感悟提升】判斷板塊之間能否發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，可采用“假設(shè)法”。假設(shè)不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，由整體法求出加速度，然后再由隔離法求出此時(shí)的摩擦力大小，與所能夠提供的最大靜摩擦力進(jìn)行比較：若小于最大靜摩擦力，則假設(shè)成立，不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng);反之，則發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

【例2】如圖2所示，質(zhì)量M=8 kg的小車放在光滑的水平面上，在小車左端加一水平推力F=8 N，當(dāng)小車向右運(yùn)動(dòng)的速度達(dá)到1.5 m/s時(shí)，在小車前端輕輕地放上一個(gè)大小不計(jì)、質(zhì)量為m=2 kg的小物塊，小物塊與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，小車足夠長(zhǎng)。（取g=10 m/s2）

（1）放上小物塊后，小物塊及小車的加速度各為多大？

（2）經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間兩者能達(dá)到相同的速度？

（3）從小物塊放上小車開(kāi)始，經(jīng)過(guò)時(shí)間t=1.5 s，求小物塊所通過(guò)的位移大小。

【答案】（1）2 m/s2 0.5 m/s2? （2）1 s? （3）2.1 m

【解析】（1）小物塊的加速度：am=μg=2 m/s2，小車的加速度：aM==0.5 m/s2。

（2）由amt=v0+aMt，可得t=1 s。

（3）在開(kāi)始后1 s內(nèi)小物塊的位移為：x1=amt2=1 m，最

大速度為：v=amt=2 m/s。假設(shè)在接下來(lái)的0.5 s內(nèi)小物塊與小車相對(duì)靜止，一起做加速運(yùn)動(dòng)，則加速度為：a==

0.8 m/s2，此時(shí)二者之間的摩擦力Ff=ma<μmg，因此假設(shè)成立。則此0.5 s內(nèi)的位移為：x2=vt′+at′2=1.1 m，通過(guò)的總位

移x=x1+ x2=2.1 m。

【感悟提升】在板塊模型問(wèn)題中，當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)共速時(shí)，需要判斷其能否保持共速，方法為“假設(shè)法”。假設(shè)系統(tǒng)出現(xiàn)共速后，分析和計(jì)算其受力情況，看與已知條件是否符合，若符合則假設(shè)成立，系統(tǒng)保持共速;反之，則不保持共速。另外，在板塊模型問(wèn)題中判斷摩擦力的方向是關(guān)鍵，一定要先找到相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向，利用摩擦力方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反的性質(zhì)，得到摩擦力的方向。

二、斜面上的板塊模型問(wèn)題

【例3】如圖3所示，斜面傾角為θ，一塊質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的勻質(zhì)板放在很長(zhǎng)的斜面上，板的左端有一質(zhì)量為M的物塊，物塊上連接一根很長(zhǎng)的細(xì)繩，細(xì)繩跨過(guò)位于斜面頂端的光滑定滑輪并與斜面平行，開(kāi)始時(shí)板的右端距離斜面頂端足夠遠(yuǎn)。

（1）若板與斜面之間光滑，某人以恒力F豎直向下拉繩，使物塊沿板面由靜止上滑的過(guò)程中，板靜止不動(dòng)，求物塊與板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ0。

（2）在（1）的情形下，求物塊在板上滑行所經(jīng)歷的時(shí)間t0。

（3）若板與物塊和斜面之間均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度v=豎直向下拉繩，物塊最終不滑離板的右端。試求板與物塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1，以及μ1和板與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2必須滿足的關(guān)系。

【答案】（1）2μ0=·tanθ

（2） t0=

（3）μ1-2μ2≥2tanθ

【解析】（1）對(duì)板m，由平衡條件可得：mgsinθ= μ0Mgcosθ，解得：μ0=·tanθ。

（2）設(shè)物塊的加速度為a0，由牛頓第二定律得：F-Mgsinθ-μ0Mgcosθ=Ma0，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：l=a0t02，

聯(lián)立方程即可解得：t0=。

（3）設(shè)板加速到v的時(shí)間為t，板的加速度為a，由牛頓第二定律可得：μ1Mgcosθ-mgsinθ-μ2（M+m）gcosθ=ma，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：v=at。解得：

t=。

為使物塊最終不滑離板的右端，必須滿足vt-vt≤l，

由此聯(lián)立上式最終可解得：μ1-2μ2≥2tanθ。所以要使物塊最終不滑離板的右端，μ1與μ2必須滿足μ1-2μ2≥2tanθ。

【感悟提升】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是將板塊系統(tǒng)的重力在沿斜面方向上進(jìn)行正交分解。對(duì)第2問(wèn)求解加速度也可以用整體法列出方程F-（M+m）gsinθ=Ma求解而得，第3問(wèn)是一個(gè)臨界問(wèn)題，求解的關(guān)鍵是弄清兩者之間位移的關(guān)系，找到臨界條件。

三、有關(guān)動(dòng)量的板塊模型問(wèn)題

【例4】如圖4所示，光滑水平面上有一質(zhì)量M=4.0 kg的平板車，車的上表面是一段長(zhǎng)L=1.5 m的粗糙水平軌道，水平軌道左側(cè)連一半徑R=0.25 m的四分之一光滑圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在點(diǎn)O′相切?，F(xiàn)將一質(zhì)量m=1.0 kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從平板車的右端以水平向左的初速度v0滑上平板車，小物塊與水平軌道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，小物塊恰能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A。（取g= 10 m/s2）

（1）求小物塊滑上平板車的初速度v0的大小。

（2）求小物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)，它與點(diǎn)O′之間的距離。

【答案】（1）5 m/s? （2）0.5 m

【解析】（1）平板車和小物塊組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，設(shè)小物塊到達(dá)圓弧軌道最高點(diǎn)A時(shí)，二者的共同速度為v1，以向左的方向?yàn)檎较颉?/p>

由動(dòng)量守恒可得：mv0=（M+m）v1，由能量守恒可得：mv02-（M+m）v12=mgR+μmgL。

聯(lián)立方程即可解得：v0=5 m/s。

（2）設(shè)小物塊最終與車相對(duì)靜止時(shí)，二者的共同速度為v2，從小物塊滑上平板車到二者相對(duì)靜止的過(guò)程中，以向左的方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒可得：mv0=（M+m）v2。

設(shè)小物塊與車最終相對(duì)靜止時(shí)，它與O′點(diǎn)之間的距離為x，由能量守恒可得：mv02-（M+m）v22=μmg（L+x）。聯(lián)立方程即可解得：x=0.5 m。

【感悟提升】在求解有關(guān)動(dòng)量的板塊模型問(wèn)題時(shí)，常常需要抓住“兩個(gè)守恒”，一個(gè)是動(dòng)量守恒，另一個(gè)是能量守恒，通過(guò)聯(lián)立方程即可求解得到問(wèn)題的答案。

【例5】如圖5所示，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側(cè)一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時(shí)刻小孩將冰塊以相對(duì)冰面3 m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h=0.3 m（h小于斜面體的高度）。已知小孩與滑板的總質(zhì)量為m1=30 kg，冰塊的質(zhì)量為m2=10 kg，小孩與滑板始終無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。（取重力加速度的大小為g= 10 m/s2）

（1）求斜面體的質(zhì)量。

（2）通過(guò)計(jì)算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？

【答案】（1）20 kg? （2）不能（理由見(jiàn)解析）

【解析】（1）規(guī)定向左為速度的正方向。冰塊在斜面體上上升到最大高度時(shí)兩者達(dá)到共同速度，設(shè)此共同速度為v，斜面體的質(zhì)量為m3。由水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律可得：m2v0=（m2+m3）v，m2v02=（m2+m3）v2+m2gh。

已知冰塊推出時(shí)的速度為v0=3 m/s，聯(lián)立方程即可解得m3=20 kg。

（2）設(shè)小孩推出冰塊后的速度為v1，由動(dòng)量守恒定律有m1v1+m2v0=0，代入數(shù)據(jù)可解得v1=-1 m/s。

設(shè)冰塊與斜面體分離后的速度分別為v2和v3，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律有m2v0=m2v2+m3v3，m2v02=

m2v22+m3v32。

聯(lián)立方程即可解得：v2=-1 m/s。由于冰塊與斜面體分離后的速度與小孩推出冰塊后的速度相同且冰塊處在小孩后方，故冰塊不能追上小孩。

【感悟提升】當(dāng)滑塊滑到斜面或弧面軌道的最高點(diǎn)時(shí)，其豎直速度為零，滑塊與斜面體或弧面體具有共同的水平速度，可以根據(jù)水平方向上的動(dòng)量守恒列方程來(lái)求解。

四、解決板塊模型問(wèn)題的一般思路與策略

1.比較初速度大小，確定摩擦力方向。

2.比較加速度大小，確定板塊能否共速。

3.如出現(xiàn)共速，則進(jìn)行受力分析，確定板塊能否保持共速一起運(yùn)動(dòng)。

4.找準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中板塊分別運(yùn)動(dòng)的位移及相對(duì)位移。

5.如果有多段相對(duì)位移，需要求出整個(gè)過(guò)程的摩擦發(fā)熱量，則摩擦發(fā)熱量等于滑動(dòng)摩擦力乘以各段相對(duì)位移的大小之和，即Q=fS相對(duì)路程。

總之，解決板塊模型問(wèn)題，首先要從物理情景中確定研究對(duì)象，根據(jù)板塊間的相互作用特點(diǎn)和各自的受力情況，建立物理模型。其次，按物體各自的運(yùn)動(dòng)過(guò)程逐一分析，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程示意圖，找出兩物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物理量關(guān)系。最后，挖掘隱含條件和臨界條件，找出與之相對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律，結(jié)合題目中給出的某種等量關(guān)系來(lái)列出方程，最終得出答案。