☉湖南省株洲市淥口區(qū)第五中學 陽志長

學業(yè)質量水平是學科核心素養(yǎng)水平的綜合表現(xiàn).新課程標準明確提出，“數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析”.不但如此，數(shù)學新課程標準界定了每個數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、價值、表現(xiàn)，并將每個核心素養(yǎng)劃分為三個水平，每個水平的表述都涉及“情境與問題”、“知識與技能”、“思維與表達”、“交流與反思”四個方面.這為教師把握學業(yè)質量標準的整體性和階段性、統(tǒng)籌設計有利于學生達成學業(yè)質量目標的教學過程提供了依據(jù)和支持.但教師總體感覺核心素養(yǎng)“高大上”，難以在數(shù)學教育教學中“落地”.因此，探索數(shù)學學科核心素養(yǎng)進入課堂的方式方法具有重大的現(xiàn)實和實踐意義.“導數(shù)及其應用”是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，教材中“本冊導引”明確提出，“微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑”，抓住這一載體開展相關研究，具有方法論方面的意義和價值.結合課題研究，現(xiàn)以“導數(shù)及其應用”一章為例，探討如何按照所承載的核心素養(yǎng)教育任務立意，優(yōu)化設計，整體把握單元教學的問題，以促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)落地、進課堂，為一線教師提供教學方案.

一、立足概念教學，增強數(shù)學抽象意識

概念是思維的細胞，數(shù)學概念是數(shù)學思維的起點.“導數(shù)和定積分都是微積分的核心概念”，既是高中數(shù)學概念教學的難點，也是提升數(shù)學抽象核心素養(yǎng)的重要載體.教學時，立足導數(shù)這一核心概念，不但要考慮如何化解學習困難、達成學業(yè)質量目標，而且要考慮如何以此為載體、增強數(shù)學抽象意識，強化問題背景、建立解決“函導”問題的思維方式.

教材從“氣球膨脹率”、“高臺跳水”兩個學生熟悉的生活情境出發(fā)，抽象出平均變化率、瞬時變化率、導數(shù)的概念.“對一種生活現(xiàn)象的數(shù)學解釋”是教材介紹數(shù)學知識的切入角度.如何從數(shù)學的角度描述吹氣球過程中的現(xiàn)象“隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢”？這是學生感到困難的地方，也是數(shù)學抽象的基礎，教學時，可以從以下幾個方面加強引導、優(yōu)化設計.這句話涉及兩個變量：氣球體積V與氣球半徑r，還涉及這兩個變量間的關系：；“氣球的半徑增加得越來越慢”意味著“隨著氣球體積的增大，當氣體體積的增加量相同時，相應半徑的增加量越來越小”，從數(shù)學角度進行描述就是“隨著氣球體積的增大，比值=越來越小”，這個比值就是氣球的平均變化率；結合具體數(shù)據(jù)，讓學生感受氣球膨脹率大小的變化、體會平均膨脹率可以刻畫氣球半徑變化的快慢.而在切換到“高臺跳水”問題時，要讓學生嘗試“對一種生活現(xiàn)象的數(shù)學解釋”，其后歸納兩例的共同特征，抽象得到一般函數(shù)的平均變化率，并按照其幾何意義，形象直觀地“逼近”函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導數(shù)，建構f′（x0）、等符號的含義.

本課例按照達成數(shù)學抽象的水平二的目標立意，從“氣球膨脹率”、“高臺跳水”的“情境與問題”入手，引導學生在參與“對一種生活現(xiàn)象的數(shù)學解釋”的過程中，建構數(shù)學抽象的“知識與技能”，得到導數(shù)的定義，形成導數(shù)的“思維與表達”，并在概念辨析、“交流與反思”中，生成”等符號的數(shù)學理解，構建數(shù)學抽象的思維導圖：“實際問題——數(shù)學解釋——抽象定義——辨析理解”，為學生能夠在關聯(lián)的情境中抽象出一般數(shù)學概念和規(guī)則提供樣式、積聚能量.數(shù)學抽象是具有數(shù)學基本特征的思維品質，教師在關注知識技能掌握的同時，要按照核心概念產(chǎn)生的背景與緣由，創(chuàng)新數(shù)學抽象的“情境與問題”，不斷增強學生數(shù)學抽象的意識，增長他們解決相關問題的見識.

二、突出結構分析，發(fā)展數(shù)學運算能力

“數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)”.由于知識的局限性，學生難以明晰導數(shù)和定積分運算的對象，使得相關計算容易出錯、甚至受阻.教學時，不但要考慮如何解決學生的計算問題、達成學業(yè)質量標準，而且要納入數(shù)學運算的范疇，思考如何以此為契機，發(fā)展學生數(shù)學運算能力，凸顯導數(shù)的思維價值.

根據(jù)定義求函數(shù)的導數(shù)，實際上最終歸結為求極限.在不介紹極限的情況下，教材盡量淡化這種方法的嚴格性要求及涉及的相關技巧，在用定義求出五個常用函數(shù)的導數(shù)后，直接給出常用初等函數(shù)的八個導數(shù)公式，以及導數(shù)的運算法則和復合法則.教學時，不但要理解教材的編寫意圖，而且要突出結構分析：針對學生理解導數(shù)運算法則的困難，以積函數(shù)的導數(shù)為例，設F（x）=f（x）g（x），計算時，將它表示成，按照導數(shù)定義的“逼近”直觀，得到相應的導數(shù)運算法則；同樣，針對學生理解導數(shù)復合法則的問題，引導學生自己用類似的手法，將表示成，嘗試著用導數(shù)定義的“逼近”直觀，解讀導數(shù)復合法則的結構特征.導數(shù)公式給出了初等函數(shù)的求導公式，“復雜函數(shù)”是由基本初等函數(shù)進行“運算”或“復合”得到的，通過結構性分析，引導學生認識：運用“導數(shù)公式”和“運算法則”、“復合法則”，可以解決一般函數(shù)的求導問題，從結構上明晰運算對象.

本課例按照達成數(shù)學運算水平二的目標立意，突出結構分析，運用導數(shù)定義的“逼近”直觀，幫助學生“微觀”理解公式、法則的內(nèi)部結構；從一般函數(shù)的構成出發(fā)，在“中觀”層面上，引導學生把握公式、法則，明晰運算對象.數(shù)學運算是具有鮮明數(shù)學學科特征的關鍵能力，教師在關注知識技能掌握的同時，要按照數(shù)學運算“明晰對象”的特點，在后續(xù)探明定積分的運算對象中，仍然要突出結構分析的風格，按照“互逆運算”統(tǒng)攝知識，一以貫之，支持學生在“宏觀”上進一步明晰運算對象，明確運算方向，發(fā)展學生的數(shù)學運算能力和嚴謹求實的科學精神.

三、突破應用難點，深化數(shù)學建模主題

“數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)”.導數(shù)和定積分有著實際的產(chǎn)生背景和廣泛應用，教學時，不但要與抽象的相關概念建立聯(lián)系、達成學業(yè)質量標準，而且要納入數(shù)學應用的體系，思考如何突破難點、深化數(shù)學建模主題，凸顯導數(shù)和定積分的應用價值.

基于“氣球膨脹率”、“高臺跳水”情境抽象出來的導數(shù)，就是瞬時速度、切線斜率的模型.教材第6頁例1“原油溫度的瞬時變化率”，第7頁例2“跳水運動曲線在特定時刻附近的變化情況”，第8頁例3“估計血管中藥物濃度的瞬時變化率”，不但具有幫助學生形象直觀地去理解導數(shù)的概念、深化“以直代曲”解決問題思想方法之功能，而且有利于描繪導數(shù)廣泛的應用前景.教學時，要按照編者意圖，落實相關教學理念.與前面幾例不同，教材在“生活中的優(yōu)化問題舉例”這節(jié)，不僅提供了案例產(chǎn)生的背景，而且提出了相關的思考問題，以及建模、優(yōu)化過程.教學時，在“連線”導數(shù)模型的建構過程中，除了要賦予問題本身的實際意義外，還要努力揭示運用導數(shù)工具解決實際問題的建?！疤茁贰焙鸵I.

基于“曲邊梯形的面積”、“汽車行駛的路程”情境抽象出來的定積分，與曲邊梯形的面積、汽車行駛的路程的模型息息相關.教材在第53頁例2解析后，進一步揭示了定積分與曲邊梯形面積的關系.教學時，要充分利用數(shù)據(jù)的有用信息，深化學生對定積分幾何意義的認識.而在“定積分的簡單應用”這節(jié)，教材列舉了四個例題，是定積分在幾何、物理中的應用.教學時，要重視“連線”定積分和“生活中的優(yōu)化問題舉例”模型的建構過程，設計數(shù)學建模的“升級版”.一方面，賦予“被積函數(shù)”實際意義，進一步挖掘新的信息價值，建構曲邊梯形面積、變速直線運動路程、變力做功模型的意義；另一方面，變更問題背景，引導學生發(fā)現(xiàn)、提出問題，并在創(chuàng)新情境中分析、解決問題，強化學生基于現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象的意識.

本課例按照達成數(shù)學建模水平二的目標立意，充分利用導數(shù)概念建構的“情境與問題”，引導學生進入“角色”，在探索教材例題問題本質、“轉化為數(shù)學問題”的過程中，建構數(shù)學建模的“知識與技能”.特別是在“生活中的優(yōu)化問題舉例”這節(jié)，重視引導學生關注問題的“思維與表達”，在與課本、與教師的深度對話中，努力揭示運用導數(shù)工具解決實際問題的建模套路和應用價值.而在“定積分的簡單應用”這節(jié)，在挖掘新的信息價值上下功夫，引導學生建構曲邊梯形面積、變速直線運動路程等方面的“情境與問題”、“知識與技能”，在“升級”數(shù)學建模的“思維與表達”中，創(chuàng)造性地建立數(shù)學模型，解決問題.數(shù)學建模是應用數(shù)學知識解決現(xiàn)實問題的思維品質和關鍵能力，教師在關注學生知識技能掌握的同時，要按照數(shù)學建模的“情境與問題”，創(chuàng)新設計，引導學生自我建構數(shù)學模型的實際意義，突破應用難點，深化數(shù)學建模主題學習.

四、把握知識脈絡，提升數(shù)據(jù)分析水平

“數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養(yǎng)”.微積分是數(shù)學發(fā)展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造.教學時，不但要與本章各節(jié)的學習聯(lián)系起來、達成學業(yè)質量標準，而且要站在立德樹人、培養(yǎng)創(chuàng)新人才的高度立意，考量如何把握知識脈絡，落實文化引領，提升學生數(shù)據(jù)分析水平、大數(shù)據(jù)思維的問題.

教材章頭語介紹了微積分創(chuàng)立的意義，與處理四類科學問題的關系，以及本章的學習內(nèi)容、目標和價值.教學時，要重視章節(jié)起始課教學，不但要通過案例揭示導數(shù)產(chǎn)生的歷史背景、現(xiàn)實淵源，而且要為學生基于現(xiàn)實情境發(fā)現(xiàn)、提出相關問題提供支持.在“探索與發(fā)現(xiàn)”、“信息技術應用”等拓展性欄目中，教材推介了“牛頓法——用導數(shù)方法求方程近似解”和“圖形技術與函數(shù)性質”等.教學時，要綜合評價相關內(nèi)容的教育功能、整體布局，引導學生合理利用這些拓展性資源，讓他們在學習中體會現(xiàn)代文明與文化傳承的關系.教材提供了實習作業(yè)“走進微積分”，它是提升微積分在數(shù)學思想史和科學思想史上的價值的重要“作業(yè)”.教學時，可以將學生分成若干組，按照“作業(yè)”的目的、過程、思考與要求，收集材料，匯集整理，提煉觀點，形成“研究報告”，進行班級交流，讓學生進一步了解微積分研究、探索的歷史，深化課程學習，增強數(shù)學創(chuàng)新意識與信心.特別是在章節(jié)小結時，不但要引導學生構建知識框圖、理解相關知識，而且要充分利用整章學習數(shù)據(jù)，引導學生運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，弄清知識的來龍去脈，形成微積分創(chuàng)立的基本過程、思想方法和核心要素以及做數(shù)學研究的一般方法.

本課例按照達成數(shù)據(jù)分析水平二的目標立意，引導學生把教材相關拓展和章節(jié)學習資料結合起來，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，弄清導數(shù)和定積分知識的來龍去脈，獲得整章學習的意義建構.特別是把章節(jié)起始課、“實習作業(yè)”和單元小結納入教學范疇，整體規(guī)劃，引導學生運用現(xiàn)代信息技術手段，收集、處理數(shù)據(jù)，釋放數(shù)據(jù)能量，從中獲取更多的啟發(fā)和效益，向數(shù)據(jù)分析的更高目標靠攏.數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時代公民的必備品格和關鍵能力，教師在關注知識技能掌握的同時，要按照數(shù)據(jù)分析的學業(yè)要求，優(yōu)化設計，整合到數(shù)學教學中去，促進學生整體把握知識脈絡，不斷提升數(shù)據(jù)分析的水平.

“數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相對獨立，又相互交融，是一個有機的整體”.按照章節(jié)所承載的核心素養(yǎng)教育任務立意，整體把握單元教學，不是對每一節(jié)課或每一個知識點進行設計，而是把這個單元內(nèi)容前后照應進行優(yōu)化設計，在關注知識技能的同時，按照相應核心素養(yǎng)的發(fā)展水平，落實到具體的、能夠揭示數(shù)學本質和體悟數(shù)學思想的過程中，進課堂、相互交融，螺旋上升地構建和發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).