☉江蘇省金湖中學 陳萬斌

數(shù)學不是空洞的，也不完全是抽象的，數(shù)學來源于實踐又服務于實踐，而數(shù)學應用題正是培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識和方法來解決實際問題的能力，體現(xiàn)出數(shù)學的無處不在與無所不能.數(shù)學應用題是考查學生分析問題和解決問題的能力，也是高考的重要組成部分，在每年的高考中所占分值較大，一般江蘇省高考應用題處于試卷解答題的中間位置，是中等生和優(yōu)等生得高分的基礎，若處理不好，往往會影響后面的習題解答，進而直接影響到最終的數(shù)學成績.但就目前學生的現(xiàn)狀來說，一是畏懼應用題，閱讀能力不高，特別是遇到題目較長、字母較多、數(shù)量關系較復雜的題目時就缺乏堅持讀題的信心；二是解決應用題時缺乏耐心，讀題草率，審題不仔細，特別是不善于列出有用信息，并找出關鍵句；三是不會建模，特別是遇到陌生的數(shù)學情境時就會茫然不知所措.這就要求我們數(shù)學教師要加強應用題教學，并對應用題進行深入的研究，進而幫助學生找到應用題的解決辦法，希望本文能對教師開展應用題的復習課教學有所幫助.

一、案例分析

（一）近期考題再次分析

下面例題是江蘇省淮安市高三三模試卷中的數(shù)學應用題.

例題將一鐵塊高溫熔化后制成一張厚度忽略不計，面積為100dm2的矩形薄鐵皮（如圖1所示），并沿虛線l1，l2裁剪成A、B、C三個矩形（B、C全等），用來制成一個柱體，現(xiàn)有兩種方案：

圖1

方案①：以l1為母線，將A作為圓柱的側面展開圖，并從B、C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面；

方案②：以l1為側棱，將A作為正四棱柱的側面展開圖，并從B、C中各裁剪出一個正方形（各邊分別與l1或l2垂直）作為正四棱柱的兩個底面.

（1）設B，C都是正方形，且其內切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；

（2）設l1的長為xdm，則當x為多少時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？

解析：（1）設所得圓柱的底面半徑為rdm，則（2πr+2r）×4r=100，

（2）題意分析：

①本題是由平面圖形裁剪后構成的空間幾何體，但涉及到的“未知量”較多，且不完全是“相等”關系.

②找出“相等”關系和“不等”關系.

③把條件和結論聯(lián)系起來，可以從條件入手，向結論轉化；也可以從題意入手，挖掘其實際內涵.

④對數(shù)學的建模能力和“純”數(shù)學的處理能力要求較高.

方法一：常規(guī)思路，從“式子”出發(fā)，采用“消元”法.轉化為以“x”為“未知量”的分段函數(shù)，即以“x”為主元，通過不等關系消去“a”.

如圖2所示，設正四棱柱的底面邊長為adm，KP=mdm，且已知PN=xdm，QK=4adm，則有100=（4a+m）x.

圖2

方法二：一般思路，從“式子”出發(fā)，采用“主元”法.

轉化為以“a”為“未知量”的函數(shù)，即以“a”為主元，通過不等關系消去“x”.

方法三：觀察已知式子和所求結論的“結構”特點，進行“配湊”.

方法四：立足“題意”本質，從“意圖”出發(fā).

圖3

設PK=mdm，已知PN=xdm，且x（m+4a）=100，比較PK與PF的大小，即小的就為正四棱柱的邊長.

錯因：①學生對平面到空間的轉換不適應.②習題的表達過長，讓人望文生畏.③題目中變量的關系較多，而且多為“不等”關系，錯綜復雜.④因變量過多導致關系混亂，不能準確理解題意，不易建模.⑤不等關系不易計算，學生不善于把條件和結論結合起來聯(lián)想，數(shù)學化能力不強，解決數(shù)學問題的能力不夠.⑥應用題的題意能懂但理解的不夠透徹，缺乏耐心和提取關鍵信息的能力.⑦沒有解決應用題的科學習慣，剛粗略讀題后就立即書寫，沒有進行更深層次的思考，實際讀題只停留在表面.⑧格式不夠規(guī)范，沒有掌握應用題解題的基本步驟.⑨仍有畏懼心理，“不想做”“不敢做”“不能做”，更不會“分層做”.

（二）近三年高考考題專門研究

研究近三年江蘇省高考數(shù)學應用題，總結如下：

背景：行程、保護區(qū)、公路、倉庫、容器等.

知識：三角、圓、切線、解析幾何、立體幾何等.

考查：解三角形、解析法、求體積、求解析式等最值問題.

方法：找出關系，建構函數(shù)模型，利用和積不等式或求導求得最值.

注意：變量的取值范圍、習題中的敘述轉化為代數(shù)式或數(shù)量關系；綜合性較強，如轉化三角形，除了用到正弦、余弦定理外，還會用到兩角和與差的三角函數(shù)等；先列解析式再通過求導進而得出最值.

二、應用題再認識

1.特點：背景豐富（用概念新穎、取材廣泛的實際載體或配圖為空間圖形和復雜的平面圖形等）、文字冗長、變量較多、數(shù)量關系復雜（相等和不等關系等）.

2.難點：閱讀量大、字母多且抽象性高、背景不熟、概念不清、顯性關系復雜或隱性關系不明、數(shù)學求解不易等.

3.考查要求：閱讀能力、創(chuàng)新思維、實踐能力、數(shù)學類型識別、數(shù)學建模、數(shù)學思維等綜合考查，間接考查數(shù)學建模素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)、數(shù)學運算素養(yǎng)等.

4.近幾年江蘇省的考查類型：函數(shù)（含分段函數(shù)、含范圍等）、三角、不等關系、立體幾何背景、解析幾何背景、物理等學科背景、生活背景等.

三、淺談應用題的教學策略

1.教會能力

（1）讀題能力：對語言進行簡化，使題目簡明、清晰，可借助表格、圖形來處理數(shù)據(jù)，弄清概念、名詞，進一步熟悉和理解背景.一是略讀，了解大意，屬于哪一類問題，邊讀邊記，邊畫示意圖，防止信息遺漏；二是細讀，抓住關鍵詞和重要語句，篩選出有價值的信息，在略讀基礎上進行研讀；三是精讀，重在領會，關鍵把應用題的抽象內容轉化為具體內容.要舍得花時間，才能真正讀懂、讀透，絕不能走馬觀花就隨意動筆.

（2）數(shù)學建模能力：即根據(jù)題意建立合適的數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題，涉及數(shù)學抽象能力、挖掘內涵和轉化能力等，還涉及：比較、綜合、抽象、概況、演繹、推理、聯(lián)想等能力.

（3）解題能力：針對轉化而來的數(shù)學問題，選擇和運用相應的數(shù)學知識解決數(shù)學問題的能力，涉及邏輯思維能力、數(shù)學運算能力，找準相應解題方法.

（4）計算能力：實際問題的結果都是通過數(shù)學運算獲得的，需要學生有較高的計算能力.在計算過程中需要學生能靈活應變，化解計算中的難點，同時要兼顧應用題的“實際性”，如自變量的范圍、結果的選擇等，確保最終答案的正確.

2.教會自主

（1）自主閱讀：喚醒學生主動參與，留時間引導學生學會閱讀，從慢讀、細讀、精讀、會讀，逐步提速，迅速接受概念，快速全面理解題意.

（2）自主提煉：教會學生透過冗長的敘述抓住關鍵詞句，找出重要數(shù)據(jù)，可以訓練學生提煉材料，抓主體保本質.

（3）尋找關系：提煉有價值的信息，找出關系并能等價轉化，學會聯(lián)系，依靠數(shù)學知識建立數(shù)學模型.

（4）尋找細節(jié)：注意細節(jié)和特殊條件，應用題的過程和結果離不開實際背景.

3.精心選題 加強系統(tǒng)訓練

通過分析近5年江蘇高考及全國高考的應用題的特點，編制知識面系統(tǒng)、建模典型的《應用題專題復習》導學案，即按照知識體系對應用題進行分類，對各類模型進行匯總，以培養(yǎng)學生識別模型、建立模型、應用模型的意識和能力，提高教學效益，讓學生有法可依.

四、感悟

有位著名的數(shù)學家曾經(jīng)說過：知識不是硬性灌輸給學生的，一位優(yōu)秀的傳輸者應該積極引導學生進行探索，引領學生進行反思，而不是磨滅學生的創(chuàng)造性和主動性.數(shù)學應用題的教學也是如此，它是一個創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)、更新并且不斷提高的動態(tài)過程，我們老師作為高中數(shù)學課程的直接建設者與有序引導者，應用題教學的課堂要“慢”下來，教師要善于“引導”、善于“等待”、善于“利用”學生主體，以學生的核心素養(yǎng)為發(fā)展核心，逐步提高學生的解題能力.

應用題是高中學生學習的重點，更是學習的難點，難在它的冗長的文字、復雜的數(shù)量關系、隱含的關鍵信息、難以建立的數(shù)學模型、關系式的數(shù)學處理、格式的規(guī)范表達等，這就需要我們數(shù)學教師對高中知識涉及的典型應用題進行梳理、對大綱考查的數(shù)學模型的情境及種類進行整理，對高中三年的應用題的教學按照所學的知識模塊順序制定一個總體、科學的規(guī)劃，分期、分階段逐步、分層實施.同時充分利用課堂這條傳授知識和方法的主渠道，引導學生學會思考，學會讀題、審題、提取信息；學會建模，學會數(shù)學解題，激發(fā)學生的主觀能動性，培養(yǎng)興趣和良好的思維習慣；提高學生克服閱讀的障礙，敢于閱讀、勇于審題、長于轉化、善于建模、樂于計算；再是教師要對每一節(jié)應用題的教案進行合理設計，著重理解和思維.如果這樣堅持下去，經(jīng)過師生的共同努力，應用題就不再是學生的學習難點，反而會變成一個促進學生建模素養(yǎng)、運算素養(yǎng)等數(shù)學核心素養(yǎng)提高的一個落腳點.