☉重慶市永川北山中學(xué)校 黃基云

張國(guó)定的碩士學(xué)位論文《數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究》中鑒定了數(shù)學(xué)史的內(nèi)容包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理與方法、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)美學(xué)、數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)名著等七個(gè)部分，高中數(shù)學(xué)是圍繞高考這個(gè)目標(biāo)進(jìn)行學(xué)習(xí)的，故把數(shù)學(xué)游戲的內(nèi)容提升為高考數(shù)學(xué)研究，數(shù)學(xué)高考史是中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個(gè)重要組成部分.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)掌握數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析這六大核心素養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)也是圍繞六大核心素養(yǎng)全面展開(kāi)的，下面將立足于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以探究高中數(shù)學(xué)史的教學(xué)實(shí)踐.

一、在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中感知數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)似懂非懂以及數(shù)學(xué)概念挖掘得不夠透徹，有些概念的引入是為了解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如對(duì)數(shù)函數(shù)的引入是為了解決指數(shù)方程解的問(wèn)題，而有些概念的引入是知識(shí)體系的來(lái)源，例如橢圓概念形成的過(guò)程就是橢圓的定義，這些數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有一定的要求，又可以進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度，下面以橢圓概念作為教學(xué)實(shí)踐研究.

（一）教學(xué)引入

教師：同學(xué)們，讓我們一起復(fù)習(xí)一下初中學(xué)習(xí)的圓的定義.

學(xué)生：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓.

教師：很好，讓我們一起思考一下，如果把一定點(diǎn)變?yōu)閮啥c(diǎn)，到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么？

圖1

（二）實(shí)驗(yàn)探究

教師：同學(xué)們，想知道到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么嗎？讓我們一起來(lái)做個(gè)實(shí)驗(yàn)求證一下，（1）取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩；（2）把它的兩端都固定在圖板的兩定點(diǎn)處，此時(shí)繩子的長(zhǎng)度大于兩定點(diǎn)的距離；（3）套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，觀察筆尖的軌跡是什么？（教師拿出自制的簡(jiǎn)易教學(xué)道具，請(qǐng)同學(xué)上臺(tái)實(shí)驗(yàn)，隨著學(xué)生慢慢移動(dòng)筆尖，逐次畫(huà)出一個(gè)橢圓）

圖2

學(xué)生：移動(dòng)筆尖，得到的軌跡是一個(gè)橢圓.

教學(xué)：注意觀察此時(shí)的細(xì)繩的長(zhǎng)度與兩條線段|PF1|、|PF2|之間有什么關(guān)系？

學(xué)生：細(xì)繩的長(zhǎng)度=|PF1|+|PF2|.

教師：即到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡有可能是一個(gè)橢圓對(duì)不對(duì)？那一定是一個(gè)橢圓嗎？再觀察一下上述實(shí)驗(yàn)，思考細(xì)繩的長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)之間的距離|F1F2|之間的大小關(guān)系？

學(xué)生：細(xì)繩的長(zhǎng)度大于|F1F2|.

教師：也就是說(shuō)細(xì)繩的長(zhǎng)度大于兩點(diǎn)間的距離時(shí)，到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，那細(xì)繩的長(zhǎng)度如果等于兩定點(diǎn)之間的距離|F1F2|，得到的軌跡還是橢圓嗎？讓我們?cè)儆脤?shí)驗(yàn)驗(yàn)證一下（教師拿出一個(gè)細(xì)繩的長(zhǎng)度等于兩定點(diǎn)的距離的道具，請(qǐng)同學(xué)上臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，隨著筆尖的移動(dòng)，學(xué)生畫(huà)出一條線段）

學(xué)生：當(dāng)細(xì)繩的長(zhǎng)度等于兩定點(diǎn)之間的距離|F1F2|時(shí)，得到的軌跡是一條線段.

圖3

教師：所以到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是橢圓是有條件的，讓我們一起來(lái)總結(jié)一下有哪些條件？

學(xué)生：定長(zhǎng)的距離大于兩定點(diǎn)之間的距離|F1F2|時(shí)才能形成橢圓.

教師：但是不要忘記開(kāi)始的條件，故形成橢圓的條件有：①有兩個(gè)定點(diǎn)，記為F1、F2，兩定點(diǎn)間的距離用2c表示，即|F1F2|=2c，②有一個(gè)定長(zhǎng)，記為2a，即2a=|PF1|+|PF2|，③最重要的是定長(zhǎng)的長(zhǎng)度要大于兩定點(diǎn)間的距離，即2a＞2c.

教師：讓我們一起看課本上對(duì)橢圓所下的定義，是否就是我們實(shí)驗(yàn)探究得到的形成橢圓的條件？

……

上面這個(gè)教學(xué)實(shí)踐從復(fù)習(xí)引入出發(fā)，根據(jù)邏輯并大膽推理——到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，再利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)推理的內(nèi)容進(jìn)行一一探究，得到到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡可能是橢圓，也可能是線段，利用數(shù)據(jù)分析整理出形成橢圓的三個(gè)條件，最后利用數(shù)學(xué)抽象對(duì)實(shí)驗(yàn)所得到的點(diǎn)的軌跡總結(jié)并歸納出橢圓的定義，在這一教學(xué)實(shí)踐中，要求學(xué)生具備基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)技能，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力才可以在這一系列的推理——實(shí)驗(yàn)——抽象出概念的過(guò)程中得到提升.

二、在數(shù)學(xué)定理與數(shù)學(xué)方法的演繹中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段之一，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)的思路保證，學(xué)生要達(dá)到知其然更要知其所以然的目的，就必須掌握數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)方法的演繹，在數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)方法的演繹過(guò)程中各個(gè)核心素養(yǎng)之間的融會(huì)貫通，更是助其數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到進(jìn)一步提高的關(guān)鍵.例如在立體幾何中的向量方法教學(xué)過(guò)程中，在學(xué)習(xí)直線的方向向量和平面的法向量概念之后，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出利用向量方法解決線線角、線面角、面面角的數(shù)學(xué)方法，其具體演繹如下：

相關(guān)概念：①直線的方向向量：空間直線的方向用一個(gè)與該直線平行的非零向量來(lái)表示，該向量稱為這條直線的一個(gè)方向向量；②平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.

圖4

線線角——空間中異面直線所成的角，如圖4所示：

方法：找到這兩條直線的方向向量，則向量的夾角即為線線角或者線線角的補(bǔ)角.

線面角——空間中線和平面所成的角，如圖5、圖6：

圖5

圖6

通過(guò)作圖發(fā)現(xiàn)直線的方向向量與平面的法向量的夾角有上述兩種情況，

第一種情況為向量的夾角與線面角是互余的關(guān)系，所以有sinθ=|cos〈a，n〉|，

即線面角的正弦值=向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值.

綜上可證得：線面角的正弦值=向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，即sinθ=|cos〈a，n〉|.

面面角——空間中兩個(gè)平面所成的角，如圖7所示：

圖7

方法：分別找到兩個(gè)平面的法向量n1，n2，則兩個(gè)法向量的夾角為兩個(gè)平面所成的角或者所成角的補(bǔ)角.

在上述教學(xué)過(guò)程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生利用邏輯推理并推理出向量的夾角和線線角、線面角、面面角之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，再指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)抽象，從圖形中抽象出方法并進(jìn)行總結(jié)，建立空間直角坐標(biāo)系的模型來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后對(duì)空間坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)等數(shù)據(jù)進(jìn)行詳細(xì)地分析，最后利用數(shù)學(xué)運(yùn)算把式子和結(jié)果運(yùn)算出來(lái)，這一過(guò)程的教學(xué)，不僅提高了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，而且學(xué)生各方面的素養(yǎng)都得到了加強(qiáng).

三、在對(duì)數(shù)學(xué)家的研究中植入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展歷程十分曲折，從古至今有很多數(shù)學(xué)家為了中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展付出了畢生的精力，所以對(duì)數(shù)學(xué)家的研究是數(shù)學(xué)史教學(xué)中不可或缺的一個(gè)重要組成部分，在教學(xué)過(guò)程中，可以給學(xué)生介紹人民的數(shù)學(xué)家——華羅庚，他自學(xué)成才的故事可以用來(lái)激勵(lì)害怕數(shù)學(xué)運(yùn)算的孩子們，他的“蘇家駒之代數(shù)的五次方程式解法不能成立之理由”的論文可以用來(lái)激勵(lì)孩子們勇攀數(shù)學(xué)的高峰.還有很多數(shù)學(xué)家嘔心瀝血研究的數(shù)學(xué)史記，這都是數(shù)學(xué)史教學(xué)的重要內(nèi)容，這些數(shù)學(xué)家的奮斗史可以激勵(lì)學(xué)生不畏數(shù)學(xué)困難，敢于一頭扎進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，從而為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高發(fā)揮重要作用.

四、在數(shù)學(xué)名著閱讀中感受數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

高爾基說(shuō)過(guò)，書(shū)籍是人類進(jìn)步的階梯，數(shù)學(xué)發(fā)展的每一次飛躍，都離不開(kāi)書(shū)籍的幫助，特別是高中學(xué)生要面對(duì)高考的壓力，要想幫助學(xué)生在高考的數(shù)學(xué)學(xué)科中考出理想的成績(jī)，則在教學(xué)過(guò)程和日常生活中時(shí)刻滲透數(shù)學(xué)名著的重要性，介紹給學(xué)生一些數(shù)學(xué)名著，讓其在學(xué)累之時(shí)讀一讀，助其感受數(shù)學(xué)大師們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)風(fēng)采，感受數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力，讓學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)名著中愛(ài)上數(shù)學(xué)，在閱讀數(shù)學(xué)名著中感受數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).