張愛軍 吳祿祥

摘? ? 要：“彈性力學(xué)”課程是工科專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，課程較為抽象，公式推導(dǎo)較多，學(xué)生普遍感覺難學(xué)。結(jié)合多年課程教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，探討了“彈性力學(xué)”課程中力矩、內(nèi)力和方向余弦等量的正負(fù)號(hào)規(guī)定，明確說明了極坐標(biāo)下各坐標(biāo)軸的正負(fù)號(hào)規(guī)定，這是對(duì)教材的有效補(bǔ)充;將相容方程分為應(yīng)變、應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式三類并進(jìn)行了歸納，更便于學(xué)生理解;編制了彈性力學(xué)平面問題的可視化求解軟件，實(shí)現(xiàn)對(duì)圓筒受均布力、壓力隧洞、小孔口問題等十個(gè)典型問題的可視化求解，教學(xué)效果良好。

關(guān)鍵詞：彈性力學(xué);可視化;正負(fù)符號(hào);相容方程

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1002-4107（2019）01-0013-03

一、前言

“彈性力學(xué)”課程是工科專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)塑性力學(xué)、土力學(xué)的基礎(chǔ)，也是工科學(xué)生擺脫材料力學(xué)桿式構(gòu)件分析結(jié)果的束縛，向板、面和空間體分析拓寬的重要課程。該課程主要是通過考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，在邊界上嚴(yán)格考慮受力條件和約束條件，建立微分方程和邊界條件來解決力學(xué)問題。課程對(duì)高等數(shù)學(xué)中的微積分、偏微分方程求解和級(jí)數(shù)，以及解析幾何、線性代數(shù)等知識(shí)的依賴性較高，且較為抽象，公式推導(dǎo)較多，學(xué)生學(xué)習(xí)普遍感覺較難。因此，開展“彈性力學(xué)”課程教學(xué)方法的研討十分重要。

祝方才總結(jié)了彈性力學(xué)教學(xué)中的疑點(diǎn)[1]，論述了符號(hào)規(guī)定、差分公式和極坐標(biāo)的推導(dǎo)三個(gè)方面的認(rèn)識(shí)，提出了比教材更為清晰的推導(dǎo)過程。潘東輝采用MATLAB軟件提供的PDE工具箱對(duì)彈性力學(xué)中小孔口問題、圓環(huán)受內(nèi)外壓力作用等多個(gè)命題進(jìn)行了計(jì)算分析[2]，指出該工具箱的橢圓型偏微分方程的解實(shí)質(zhì)是求解彈性力學(xué)平面問題的數(shù)值解法，可以方便求解彈性力學(xué)的平面問題，并且可以實(shí)現(xiàn)結(jié)果的可視化，是進(jìn)行彈性力學(xué)教學(xué)的有力輔助手段。張偉偉提出了在教學(xué)實(shí)施中遵循先工程[3]，后數(shù)理，再力學(xué)的講解順序的三段式教學(xué)方法，便于學(xué)生理解和掌握。這些論述對(duì)提升彈性力學(xué)課程的教學(xué)效果有較大的促進(jìn)作用。

本文針對(duì)徐芝倫編著的彈性力學(xué)經(jīng)典教程——《彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程》，結(jié)合多年工科專業(yè)“彈性力學(xué)”課程的教學(xué)實(shí)際，對(duì)課程教學(xué)中學(xué)生難掌握的幾個(gè)難點(diǎn)問題進(jìn)行論述和推導(dǎo)，力求加深教師和學(xué)生對(duì)這些問題的理解。

二、符號(hào)規(guī)定

彈性力學(xué)求解中均是在一定的坐標(biāo)體系下進(jìn)行，對(duì)各個(gè)變量的符號(hào)有較為嚴(yán)格的規(guī)定，求解應(yīng)該在這個(gè)符號(hào)體系下進(jìn)行，否則將得到不正確的結(jié)果。教材中對(duì)于應(yīng)力、應(yīng)變和位移，以及面力和體力符號(hào)均有明確的規(guī)定，但是對(duì)于力、力矩、剪力和極坐標(biāo)下的部分符號(hào)的規(guī)定不明確，不利于學(xué)生的理解和掌握，需要進(jìn)一步厘清。

（一）力矩M的符號(hào)規(guī)定

教材中講授平面問題時(shí)對(duì)于力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定沒有明確指出，而只是在講述薄板彎曲時(shí)才明確提到，但是在平面問題中，特別是列出圣維南原理的積分方程中需要明確力矩的正負(fù)號(hào)。

力矩的正負(fù)號(hào)應(yīng)該分為應(yīng)力引起的力矩和外力引起的力矩兩類，兩者之間是有區(qū)別的。

對(duì)于面力引起的力矩，也應(yīng)該先將力矩根據(jù)其作用方向概化為分布的面力（一般直接概化為直線分布最為簡(jiǎn)單），然后依據(jù)“面力符號(hào)與力臂符號(hào)相同時(shí)力矩為正;反之為負(fù)”的原則進(jìn)行正負(fù)號(hào)的判斷，見圖1（a）。

對(duì)于應(yīng)力引起的力矩的正負(fù)規(guī)定應(yīng)該是：“應(yīng)力符號(hào)與力臂符號(hào)相同時(shí)力矩為正;反之為負(fù)”。確定應(yīng)力引起的力矩正負(fù)時(shí)，先應(yīng)該將應(yīng)力概化為沿正負(fù)兩側(cè)力臂的分布應(yīng)力（一般直接概化為直線分布最為簡(jiǎn)單），利用以上原則確定力矩的正負(fù)號(hào)，見圖1（b）。

圖1看出，力矩M的方向一致，但是應(yīng)力引起的力矩的符號(hào)為負(fù)，而面力引起的力矩為正，兩者符號(hào)不同，這是在負(fù)面上的情況。在正面上兩者的符號(hào)相同，主要原因是應(yīng)力和面力符號(hào)規(guī)定不同造成的，在列出圣維南原理的積分方程是應(yīng)該注意區(qū)分應(yīng)力和面力引起的力矩的符號(hào)區(qū)別。

（二）面力和體力的合力及內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定

應(yīng)力是單位面積上分布的內(nèi)力，內(nèi)力是一種力，等于應(yīng)力乘以面積。在進(jìn)行平衡方程推導(dǎo)時(shí)，要建立某一個(gè)方向上的平衡，也就是通過該方向上合力為0這一條件建立平衡方程時(shí)，需要確定內(nèi)力的正負(fù)號(hào)。

內(nèi)力是一種力，是合力，其符號(hào)規(guī)定應(yīng)該是“與坐標(biāo)軸指向相同的為正，反之為負(fù)”。內(nèi)力的方向與應(yīng)力的方向一致，但是其符號(hào)規(guī)定與應(yīng)力“正面正方向和負(fù)面負(fù)方向?yàn)檎?，反之為?fù)”的規(guī)定不同，在正面上兩者相同，而負(fù)面上兩者相反。

其他面力合力和體力合力的正負(fù)號(hào)規(guī)定也是“與坐標(biāo)軸指向相同的為正，反之為負(fù)”。理解這些概念對(duì)平衡方程的推導(dǎo)有較大的幫助。

（三）方向余弦的符號(hào)規(guī)定

方向余弦是求解斜截面應(yīng)力所必需的參數(shù)，其意義在于邊界面的外法線方向的正方向與坐標(biāo)軸正方向之間夾角的余弦值。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對(duì)其正負(fù)號(hào)如何確定不理解，影響對(duì)計(jì)算推導(dǎo)掌握。實(shí)際上，方向余弦的正負(fù)是按照余弦函數(shù)計(jì)算得到的，要理解其正負(fù)規(guī)定，應(yīng)該從夾角的意義理解，特別應(yīng)該知道兩個(gè)“正方向”之間的夾角的余弦這句定義。另外根據(jù)余弦函數(shù)的值的特性可知，不同象限的方向余弦正負(fù)不同，第一象限中不論x和y方向的方向余弦l和m均為正值;第二象限x方向的方向余弦為負(fù)值，y方向?yàn)檎?第三象限x方向的方向余弦為負(fù)值，y方向?yàn)樨?fù)值;第四象限x方向的方向余弦為正值，y方向?yàn)樨?fù)值。實(shí)際判斷時(shí)應(yīng)該按照外法線方向所在的象限來判斷方向余弦的正負(fù)號(hào)。

（四）極坐標(biāo)情況下的符號(hào)規(guī)定

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)是彈性力學(xué)求解的兩種坐標(biāo)體系，但是在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)兩種坐標(biāo)體系之間的聯(lián)系理解不深，應(yīng)該在講授中加以說明。實(shí)質(zhì)上，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間是緊密相關(guān)的，極坐標(biāo)的方向離不開直角坐標(biāo);兩者之間的量是可以相互轉(zhuǎn)化的，也有密切的關(guān)系。極坐標(biāo)中徑向ρ的正向就是從原點(diǎn)向外射線的方向，而環(huán)向φ的正向決定于相應(yīng)的直角坐標(biāo)的x和y軸的方向，即以x軸轉(zhuǎn)向y軸的方向?yàn)檎荒馨凑漳鏁r(shí)針或者順時(shí)針為正來確定，同時(shí)φ的大小是徑向射線正向與x軸之間的夾角。

三、相容方程的歸納

相容方程是應(yīng)力法求解彈性力學(xué)問題的重要方程，引入應(yīng)力函數(shù)后問題的求解轉(zhuǎn)化為求解相容方程的問題。但是相容方程從幾何方程推導(dǎo)出后稱為變形協(xié)調(diào)方程，帶入物理方程等后還有用應(yīng)力表達(dá)的相容方程，各類相容方程之間的關(guān)系會(huì)造成學(xué)生理解的偏差，對(duì)其進(jìn)行歸納總結(jié)便于學(xué)生對(duì)其深入理解掌握。

對(duì)于直角坐標(biāo)情況，相容方程可以分為應(yīng)變表達(dá)式、應(yīng)力表達(dá)式和應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式三類，應(yīng)變表達(dá)式是從幾何方程中消除位移量后得到的方程，是相容方程的本質(zhì)方程，也稱為變形協(xié)調(diào)方程;應(yīng)力表達(dá)式是物理方程帶入相容方程的應(yīng)變表達(dá)式后得到的方程，表示各個(gè)應(yīng)力分量應(yīng)該遵循的關(guān)系方程;而應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式是引入應(yīng)力函數(shù)后的表達(dá)式，是將求解應(yīng)力分量問題“消元”后成為1個(gè)未知量φ后的相容方程。三者的關(guān)系與異同可歸納為表1。

這一個(gè)表達(dá)式?jīng)]有展開，在學(xué)生進(jìn)行某一個(gè)函數(shù)是否滿足相容方程的校核中有一定困難，應(yīng)該將其展開式列出。本文對(duì)該式進(jìn)行了展開如下式（2）和（3），這樣便于學(xué)生理解。

四、應(yīng)力分量的合成與應(yīng)力泡

王潤富編著的《彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)》中第四章例題6關(guān)于劈裂問題的求解是一個(gè)很好的例子，對(duì)于學(xué)生理解半無限平面受集中力作用下應(yīng)力的分布問題的啟發(fā)性較好，且是講解彈性力學(xué)解答應(yīng)用的好例證。但是講解時(shí)應(yīng)該注意強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)，其一為應(yīng)力的合成方法，其二是應(yīng)力泡的概念。

1.應(yīng)力分量的合成方法。應(yīng)力是一個(gè)張量，一點(diǎn)的應(yīng)力要通過過該點(diǎn)的平行六面體上的所有應(yīng)力分量來描述，這些量值中只有（σx，σv，σz，τxv，τvz，τxz）六個(gè)量是獨(dú)立的。同時(shí)一點(diǎn)的應(yīng)力也可以用三個(gè)主應(yīng)力和其方向決定。應(yīng)力的合成原則是“作用于同一個(gè)面上的應(yīng)力分量可以合成為一個(gè)應(yīng)力全量，不同面上的應(yīng)力分量不能合成”。只有建立這個(gè)概念才能理解應(yīng)力的特性，也才能做對(duì)例題6。

2.應(yīng)力泡的概念。集中力F作用下半無限平面內(nèi)過集中力作用點(diǎn)的直徑為d的圓，這個(gè)圓上的應(yīng)力值為：? ? ? ? 也就是說在這個(gè)圓上任意一點(diǎn)，其受力類似單軸受壓，壓應(yīng)力就等于σp值，圓周上任意點(diǎn)的應(yīng)力均相等，且應(yīng)力值的大小隨直徑d的增大而減小，這就是通常所說的應(yīng)力泡。講解時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)其應(yīng)力主面就是徑向和環(huán)向兩個(gè)面，其應(yīng)力的方向各點(diǎn)是不同的，應(yīng)力的大小隨著應(yīng)力泡直徑的增大而增大，也就是隨深度的增大而衰減。同時(shí)應(yīng)將與大面積堆載時(shí)，應(yīng)力不隨深度增大而減小的實(shí)際進(jìn)行對(duì)比，強(qiáng)調(diào)兩者的區(qū)別。

五、彈性力學(xué)平面問題可視化軟件

在“彈性力學(xué)”課程的教學(xué)中，經(jīng)常有復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和抽象的計(jì)算，不利于學(xué)生的理解。倘若在教學(xué)中，能夠通過一些教學(xué)小程序使計(jì)算出來的抽象的數(shù)值變成一些可視化的圖形，教學(xué)將變得更加生動(dòng)，同時(shí)也利于學(xué)生接受。因此利用Visual Basic編程語言的繪圖能力，編制了一些簡(jiǎn)單平面問題的可視化求解軟件。主要目的是使一些簡(jiǎn)單問題的解題結(jié)果可視化，輔助教師的教學(xué)，使學(xué)生能對(duì)抽象的計(jì)算結(jié)果有更加清晰直觀的理解，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考。

軟件中選擇了懸臂梁受集中荷載、梁受均布荷載、圓筒受均布力、壓力隧洞、小孔口問題、平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題、邊界條件、擋水墻、楔形體、半平面體邊界上受集中力總十個(gè)典型的問題進(jìn)行求解。其基本界面展示如下圖2。

每一個(gè)典型問題軟件均實(shí)現(xiàn)了正確求解，并可以改變輸入?yún)?shù)得到不同的解答。軟件將抽象的計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢暬膱D形呈現(xiàn)給學(xué)生，便于學(xué)生理解和掌握。可視化求解軟件還在教材的基礎(chǔ)上補(bǔ)充了教材未涉及的內(nèi)容。例如：教材上壓力隧洞問題中僅展示了n<1時(shí)應(yīng)力分布的圖像，而求解軟件通過改變參數(shù)能將n>1和n=1時(shí)的計(jì)算結(jié)果和圖形展示出來，將課本上的抽象計(jì)算結(jié)果可視化地展示出來，并在教材解答的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展延伸，從而引發(fā)學(xué)生的深入思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

軟件界面分為三部分。第一部分載入這道題目的相關(guān)信息，包含題干、問題的示意圖和使用半逆解法求解出的應(yīng)力分量表達(dá)式。第二部分為數(shù)據(jù)輸入部分，在這個(gè)部分，使用者可以根據(jù)需要輸入問題的基本參數(shù)，為下一步計(jì)算應(yīng)力分量做準(zhǔn)備。第三部分為結(jié)果輸出部分，用于顯示計(jì)算和繪圖的結(jié)果。

在實(shí)際教學(xué)中該軟件對(duì)學(xué)生理解彈性力學(xué)解的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，理解應(yīng)力函數(shù)的分布空間規(guī)律幫助較大，教學(xué)效果良好。

六、結(jié)論

1.“彈性力學(xué)”課程中諸多符號(hào)的正負(fù)號(hào)規(guī)定較為嚴(yán)格，也極易弄錯(cuò)，教材中對(duì)其的規(guī)定稍顯模糊。本文對(duì)力矩、面力和體力的合力、內(nèi)力和方向余弦的符號(hào)規(guī)定做了較為仔細(xì)的規(guī)定，并對(duì)極坐標(biāo)下各個(gè)坐標(biāo)軸的正負(fù)號(hào)規(guī)定進(jìn)行了明確的說明，可用于教學(xué)實(shí)踐。

2.相容方程是“彈性力學(xué)”課程較為重要的概念，它有三種表達(dá)形式。本文總結(jié)歸納為應(yīng)變表達(dá)式、應(yīng)力表達(dá)式和應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式三類，對(duì)其由來和意義進(jìn)行了歸納說明，更便于理解和把握。

3.為了提高教學(xué)效果，編制了彈性力學(xué)平面問題的可視化求解軟件，軟件可以實(shí)現(xiàn)對(duì)十個(gè)較為典型問題的彈性力學(xué)問題的求解，如：懸臂梁受集中荷載、梁受均布荷載、圓筒受均布力、壓力隧洞、小孔口問題、平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題、邊界條件、擋水墻、楔形體、半平面體邊界上受集中力。軟件實(shí)現(xiàn)了對(duì)計(jì)算結(jié)果的圖形化顯示，便于學(xué)生理解抽象的函數(shù)，教學(xué)效果良好。

參考文獻(xiàn)：

[1]祝方才，肖宏彬，歐陽建湘.彈性力學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)疑點(diǎn)問題[J]. 株洲工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，（2）.

[2]潘東輝，馬崇武.MATLAB/PDE在彈性力學(xué)可視化教學(xué)中的應(yīng)用[J].力學(xué)與實(shí)踐，2014，（4）.

[3]張偉偉，田錦邦.彈性力學(xué)的三段式教學(xué)方法[J].力學(xué)與實(shí)踐，2017，（2）.