高廣鑫， 樊治平， 尤天慧， 郭婭舒

(1.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106； 2. 東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 沈陽 110167)

0 引言

組合拍賣是指投標(biāo)者可以對多個拍賣物品的任何一個組合進(jìn)行投標(biāo)，也可以同時對幾個組合進(jìn)行投標(biāo)的拍賣形式[1]。組合拍賣主要應(yīng)用于存在互補性或替代性關(guān)系的物品的交易[2,3]，例如無線電頻譜拍賣[4,5]、網(wǎng)上集中采購拍賣[6]、機場跑道空位拍賣[7]、航班地面等待時隙分配[8]和網(wǎng)頁廣告位拍賣[9]等。與其他拍賣機制相比，組合拍賣可以使得投標(biāo)者靈活地表達(dá)其對拍賣物品間互補性或替代性的偏好，降低投標(biāo)者風(fēng)險，增加賣方收益，從而提高拍賣效率[2]。許多實驗研究表明[10～15]，一級價格密封式拍賣過程中投標(biāo)者往往會表現(xiàn)出預(yù)期后悔心理行為，并且投標(biāo)者的預(yù)期后悔心理行為將會對其投標(biāo)策略產(chǎn)生影響。但是，以往研究成果大多是針對單物品拍賣研究考慮投標(biāo)者后悔心理行為的投標(biāo)均衡策略[10～11,15,16]，而針對多物品組合拍賣情形的研究較少關(guān)注。因此，在已有研究的基礎(chǔ)上，有必要針對考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣的投標(biāo)均衡策略進(jìn)行深入研究，這有助于投標(biāo)者針對組合拍賣進(jìn)行科學(xué)投標(biāo)決策。

目前，針對考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣的投標(biāo)均衡策略的研究尚不多見，但可以看到一些相關(guān)的研究成果[10～18]。例如：Engelbrecht-Wiggans[10]針對一級價格密封式單物品拍賣中投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)策略問題進(jìn)行了研究，他指出使得投標(biāo)者期望效用最大化的投標(biāo)策略不僅依賴于其期望的貨幣收入，也依賴于多種形式的后悔情感，同時對拍賣中的超投標(biāo)現(xiàn)象做出了解釋；Engelbrecht-Wiggans和Katok[11]針對一級價格密封式單物品拍賣的最優(yōu)投標(biāo)策略確定問題的研究，在獨立私人估價模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了考慮投標(biāo)者后悔行為的期望效用函數(shù)，并通過分析確定了最優(yōu)投標(biāo)策略，從而解釋了觀測到的超投標(biāo)現(xiàn)象；Fishman和Durham[12]針對拍賣中投標(biāo)者后悔情感對投標(biāo)策略的影響，通過利用與后悔情感相關(guān)的反饋信息作為變化的實驗條件，測試了投標(biāo)者后悔情感對投標(biāo)策略的影響，并對均衡投標(biāo)結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測分析；Filiz和Ozbay[13]針對單物品拍賣中失敗者后悔情感對于投標(biāo)策略的影響進(jìn)行了研究，研究結(jié)果表明：投標(biāo)者預(yù)期的失敗者后悔是產(chǎn)生超投標(biāo)現(xiàn)象的主要原因，而在競標(biāo)獲勝的情形下，投標(biāo)者一般不會預(yù)期后悔，并且不會出現(xiàn)明顯的低投標(biāo)現(xiàn)象；Du等[14]針對拍賣中投標(biāo)者預(yù)期后悔對投標(biāo)策略的影響，通過實驗方法研究了投標(biāo)過程中預(yù)期后悔與實際經(jīng)歷的后悔之間的誤差，并得到預(yù)期后悔大于實際經(jīng)歷的后悔的結(jié)論；Engelbrecht-Wiggans和Katok[15]針對一級價格密封式拍賣中與后悔情感相關(guān)的反饋信息對投標(biāo)行為的影響進(jìn)行了研究，他們指出在拍賣中可能存在兩種投標(biāo)者后悔情感，即獲勝者后悔和失敗者后悔，通常情況下，投標(biāo)者對于獲勝者后悔敏感時會降低平均投標(biāo)價，而當(dāng)投標(biāo)者對于失敗者后悔更敏感時便會提高平均投標(biāo)價，并通過實驗驗證了這個結(jié)論；在已有研究基礎(chǔ)上，他們還通過改變后悔反饋信息將投標(biāo)者后悔行為和損失規(guī)避行為區(qū)別開來，進(jìn)行了相應(yīng)的實驗研究和理論分析[17]，分別測試了兩種行為對于投標(biāo)策略的影響，并指出相對于損失規(guī)避來說投標(biāo)者后悔對于投標(biāo)行為的影響更大；Astor等[18]針對一級價格密封式拍賣中投標(biāo)者的獲勝者后悔和失敗者后悔情感，通過心理學(xué)實驗操縱投標(biāo)者情感進(jìn)程，驗證了文獻(xiàn)[15]中不同類型的后悔參數(shù)的準(zhǔn)確性。

綜上，已有研究對考慮投標(biāo)者后悔心理行為的單物品拍賣的投標(biāo)策略研究做出了重要貢獻(xiàn)，需要指出的是，在現(xiàn)實中，組合拍賣作為單物品拍賣的一種擴充得到了廣泛應(yīng)用[2]，但已有研究沒有針對考慮投標(biāo)者后悔心理行為組合拍賣的投標(biāo)策略進(jìn)行深入研究。因此，在已有研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣的投標(biāo)均衡策略問題是有必要的。鑒于此，本文則是針對考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣的投標(biāo)均衡策略問題，在全局投標(biāo)者存在預(yù)期后悔心理行為的假設(shè)下，在文獻(xiàn)[10]和[15]采用線性后悔函數(shù)來刻畫投標(biāo)者后悔心理行為的基礎(chǔ)上，構(gòu)建組合拍賣模型，并分析全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略需要滿足的充分和必要條件。進(jìn)一步地，依據(jù)構(gòu)建的模型，通過數(shù)值實驗，分析局部投標(biāo)者人數(shù)、組合效應(yīng)系數(shù)和全局投標(biāo)者后悔參數(shù)對全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略的影響。最后，通過一個關(guān)于無線電頻譜組合拍賣的算例說明本文給出的模型及投標(biāo)均衡策略分析方法的潛在應(yīng)用。

1 問題描述與符號說明

考慮拍賣者要采用組合拍賣的方式同時出售兩個異質(zhì)互補性物品(A和B)，假定在拍賣中存在兩類投標(biāo)者同時參與競標(biāo)，其中第一類投標(biāo)者(以下稱作局部投標(biāo)者)只對兩個拍賣物品中的某一個感興趣，他們中會有一部分投標(biāo)者僅對物品A進(jìn)行投標(biāo)，而另一部分投標(biāo)者僅對物品B進(jìn)行投標(biāo)，且局部投標(biāo)者之間是相互對稱的，也就是說，他們對每個物品的估價在某一區(qū)間內(nèi)均服從同一概率分布；而第二類投標(biāo)者(以下稱作全局投標(biāo)者)對提供的兩個物品都感興趣，他們會針對物品A和B的組合進(jìn)行投標(biāo)，且若其同時贏得兩個物品，那么其所獲得的效用大于分別贏得兩個物品中任意一個的效用之和，也就是說全局投標(biāo)者同時贏得兩個物品時將獲得組合效應(yīng)α，α>0。在拍賣過程中，每個投標(biāo)者僅有一次投標(biāo)機會，且拍賣結(jié)束后，每個投標(biāo)者不僅會得知自身獲勝狀態(tài)而且還會知道拍賣的最終獲勝價。

基于上述描述，考慮全局投標(biāo)者在投標(biāo)前存在預(yù)期后悔心理行為[13,15]，具體描述如下：

若投標(biāo)者預(yù)期投標(biāo)失敗，且獲勝價不高于其支付意愿，則意味著該投標(biāo)者錯過了一個能以合適的價格水平獲勝的機會，而實際上這個價格只要比獲勝價高最小單位數(shù)量即可，此時該投標(biāo)者會因為錯失一個良好的獲勝機會而產(chǎn)生后悔預(yù)期，進(jìn)而在實際拍賣中，會適當(dāng)?shù)靥岣咦约旱耐稑?biāo)價格水平來贏得拍賣物品。

顯然，影響全局投標(biāo)者事前期望效用的因素體現(xiàn)在兩個方面：一個是投標(biāo)者預(yù)期投標(biāo)獲勝的期望收益；另一個是投標(biāo)者預(yù)期投標(biāo)失敗的后悔感知效用。本文要解決的問題是在考慮影響投標(biāo)者事前期望效用的因素的情況下，針對全局投標(biāo)者，如何構(gòu)建考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣模型，并分析其投標(biāo)均衡策略。

為了便于下文分析，本文涉及的相關(guān)符號及變量的含義描述如下：

2 拍賣模型構(gòu)建及投標(biāo)均衡策略分析

為了解決上述提及的問題，下面分別給出投標(biāo)者后悔心理行為刻畫、拍賣模型構(gòu)建以及投標(biāo)均衡策略分析的描述。

2.1 投標(biāo)者后悔心理行為刻畫

在競拍投標(biāo)前，投標(biāo)者不僅會考慮當(dāng)其投標(biāo)成功時的預(yù)期收益，通常還會考慮當(dāng)其預(yù)期投標(biāo)失敗時的后悔效用，即當(dāng)投標(biāo)者預(yù)期拍賣最終獲勝價不高于自身估價時，其會產(chǎn)生后悔感知。也就是說，投標(biāo)者在投標(biāo)前會對可能產(chǎn)生的后悔有所預(yù)期，且總是期望其后悔程度盡可能的小，并試圖選擇使自身期望收益最大同時后悔感知程度最小的投標(biāo)策略。依據(jù)文獻(xiàn)[10]和[15]，投標(biāo)者的后悔函數(shù)可被表示為

R(Δv)=βΔv,Δv=v-z

(1)

其中Δv表示投標(biāo)者對拍賣物品的估價v與贏得該物品的獲勝價z之間的差值，且Δv≥0;β表示投標(biāo)者針對未贏得該物品的后悔感知程度，0≤β≤1，且β越大，表示投標(biāo)者預(yù)期的后悔感知程度越大。

進(jìn)一步地，依據(jù)式(1)，可計算得到投標(biāo)者的后悔期望值即后悔感知效用E(R)，即

(2)

其中b表示投標(biāo)者對拍賣物品的投標(biāo)價，且b∈[0,v]；1-L(b)表示投標(biāo)者投標(biāo)失敗的概率。

2.2 拍賣模型構(gòu)建

為了構(gòu)建考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣模型，根據(jù)文獻(xiàn)[4]和[15]分別針對組合拍賣問題和考慮投標(biāo)者后悔心理行為的拍賣問題的闡述，這里給出如下前提假設(shè)：

假設(shè)1拍賣者要通過同時拍賣的方式出售兩個異質(zhì)互補性物品(A和B)，拍賣規(guī)則是第一價格密封式拍賣；

假設(shè)2在拍賣中，對一種物品(A或B)感興趣的局部投標(biāo)者人數(shù)相同且均為定值n，即nA=nB=n，且只存在1個全局投標(biāo)者r，這些信息對于每個投標(biāo)者來說都是公共知識；

假設(shè)3在拍賣過程中，全局投標(biāo)者r存在預(yù)期后悔心理行為，且投標(biāo)者r的預(yù)期后悔心理行為對其事前期望效用的影響與后悔值的大小成反比，即在投標(biāo)者期望收益一定時，后悔值越大，則投標(biāo)者的事前期望效用越小，反之亦然。

這里需要指出的是，在一般組合拍賣甚至是具有某種特殊結(jié)構(gòu)的組合拍賣中，投標(biāo)策略均很難求得[19]，因此，假設(shè)1和2是本文模型考慮的一個簡單情況；實驗研究表明[10～16]，投標(biāo)者在進(jìn)行投標(biāo)決策時存在后悔心理行為，并且該心理行為對投標(biāo)者的期望效用是有影響的，依據(jù)實際投標(biāo)情況可知，假設(shè)3意味著投標(biāo)者的期望效用與自身的后悔心理行為有關(guān)。

本文的組合拍賣模型是針對全局投標(biāo)者構(gòu)建的事前期望效用計算模型。全局投標(biāo)者在做出投標(biāo)決策時，不僅要考慮預(yù)期投標(biāo)成功時的期望收益，同時還要考慮預(yù)期投標(biāo)失敗時的后悔感知效用。

當(dāng)全局投標(biāo)者r預(yù)期投標(biāo)成功時，其期望收益函數(shù)可被表示為

=L(bA)L(bB)(vc-bc)+

[1-L(bA)]L(bB)(vB-bB)+

L(bA)[1-L(bB)](vA-bA)

=L(bA)L(bB)(vA+vB+α-bA-bB)+

[1-L(bA)]L(bB)(vB-bB)+

L(bA)[1-L(bB)](vA-bA)

(3)

當(dāng)全局投標(biāo)者r預(yù)期投標(biāo)失敗時，其后悔感知效用函數(shù)由三部分組成：

dL(zA|zA≥bA)[1-L(bA)]

(4)

dL(zB|zA≥bB)[1-L(bB)]

(5)

dL(zA|zA≥bA)[1-L(bA)]+

dL(zB|zB≥bB)[1-L(bB)]

(6)

依據(jù)式(4)～(6)，可得到全局投標(biāo)者r的后悔感知效用函數(shù)E(R)為

dL(zA|zA≥bA)[1-L(bA)]+

dL(zB|zB≥bB)[1-L(bB)]

(7)

由上述投標(biāo)者預(yù)期投標(biāo)成功和失敗的兩種情況分析，關(guān)于全局投標(biāo)者r的組合拍賣模型，即投標(biāo)者r的事前期望效用可由下式表示：

EUc=π-E(R)

=L(bA)L(bB)(vA+vB+α-bA-bB)+

[1-L(bA)]L(bB)(vB-bB)+

L(bA)[1-L(bB)](vA-bA)-

dL(zA|zA≥bA)[1-L(bA)]-

dL(zB|zB≥bB)[1-L(bB)]

(8)

2.3 投標(biāo)均衡策略分析

由于組合拍賣中投標(biāo)策略分析和求解的復(fù)雜性[19]，特別是將投標(biāo)者心理行為引入組合拍賣模型，使得投標(biāo)均衡策略求解變得更加復(fù)雜。因此，為了分析的需要，這里有必要對一些變量做如下的假設(shè)和轉(zhuǎn)換。

(2)假設(shè)局部投標(biāo)者對每一個拍賣物品的估價相互獨立且服從[0,1]范圍內(nèi)的均勻分布[4,15]，即F(vij)=vij；

(3)局部投標(biāo)者的投標(biāo)價與其估價之間存在增函數(shù)關(guān)系[20～23]，為了便于分析，這里假設(shè)兩者之間呈線性正比關(guān)系，即bij=ρvij，0≤ρ≤1，0≤vij≤1，i=1,2,…,n，j=A，B,顯然，bij∈[0,ρ]。

依據(jù)假設(shè)條件(2)和(3)，分布函數(shù)L(x)可以轉(zhuǎn)換為

L(x)=P(zj≤x)=P(ρvij≤x)n

=P(vij≤x/ρ)n=(x/ρ)n

(9)

顯然，密度函數(shù)l(x)為

l(x)=L′(x)=(n/ρ)(x/ρ)n-1

(10)

將式(9)和(10)代入式(8)，并化簡可得

EUc=α(δbc/ρ)n[(1-δ)bc/ρ]n+

(vA-δbc)(δbc/ρ)n+

[vB-(1-δ)bc][(1-δ)bc/ρ]n-

(11)

針對式(11)求關(guān)于bc的一階導(dǎo)數(shù)，即

nδnvA+n(1-δ)nvB+nδnβA(vA+θα-δbc)+n(1-δ)nβB[vB+(1-θ)α-(1-δ)bc]}

(12)

nδnvA-n(1-δ)nvB-nδnβA(vA+θα)-n(1-δ)nβB[vB+(1-θ)α]}1/n,0

(13)

式(13)僅是投標(biāo)均衡策略bc*滿足的必要條件，下面給出其需要滿足的充分條件。

針對式(11)求關(guān)于bc的二階導(dǎo)數(shù)，即

(n-1)δn[(1+βA)vA+αβAθ]+(n-1)(1-δ)n[(1+βB)vB+αβB(1-θ)]}

(14)

3 數(shù)值實驗

本節(jié)針對存在若干個局部投標(biāo)者和一個全局投標(biāo)者的兩個異質(zhì)物品組合拍賣，在考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的情形下，通過數(shù)值實驗分析針對每個物品投標(biāo)的局部投標(biāo)者人數(shù)、拍賣物品的組合效應(yīng)及全局投標(biāo)者后悔參數(shù)對全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略的影響。

3.1 局部投標(biāo)者人數(shù)對全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響

由數(shù)值仿真結(jié)果可以觀察到：隨著對每個物品投標(biāo)的局部投標(biāo)者人數(shù)增加，全局投標(biāo)者的最優(yōu)組合投標(biāo)價bc*及針對物品A和B的最優(yōu)投標(biāo)價均增大，且當(dāng)n取值較小時(n≤10)，bc*的增幅較明顯，隨著n的繼續(xù)增加，bc*增幅放緩。這說明，在組合拍賣中，潛在的局部投標(biāo)者人數(shù)越多，拍賣的競爭越激烈，全局投標(biāo)者若想同時贏得物品A和B，就需要不斷提高投標(biāo)價來增大投標(biāo)獲勝的概率；同時，當(dāng)潛在的局部投標(biāo)者人數(shù)相對較多時，全局投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)價雖然還會增大，但其增幅將明顯減小，這是由于此時全局投標(biāo)者的投標(biāo)價水平已經(jīng)很高，雖然在此基礎(chǔ)上大幅提高投標(biāo)價將增大贏得拍賣物品的概率，但是有可能給全局投標(biāo)者帶來負(fù)的期望效用，因此，全局投標(biāo)者會減小bc*的增幅，這與拍賣實際情況相符。

表1 針對每個物品投標(biāo)的局部投標(biāo)者人數(shù)n對全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響

3.2 組合效應(yīng)系數(shù)對全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響

當(dāng)n=2，10和30時，分別代表局部投標(biāo)者人數(shù)少、適中、多三種情況，在4.1節(jié)參數(shù)α設(shè)置的前提下，將組合效應(yīng)系數(shù)視為變量，令依次取0.1，0.15，0.2，0.25，0.3，0.35，0.4和0.45，利用MATLAB7.8.0(R2009a)軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，可以得到全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略隨α的變化規(guī)律，如表2～4所示。

由數(shù)值仿真結(jié)果可以觀察到：隨著組合效應(yīng)系數(shù)值增加，全局投標(biāo)者的最優(yōu)組合投標(biāo)價bc*及針對物品A和B的最優(yōu)投標(biāo)價均增大，即拍賣物品的組合給全局投標(biāo)者帶來的組合效應(yīng)越大，全局投標(biāo)者的投標(biāo)價就越高，且隨著局部投標(biāo)者人數(shù)增多，全局投標(biāo)者在各個組合效應(yīng)水平的最優(yōu)投標(biāo)價都將增大。這說明，在組合拍賣中，若全局投標(biāo)者認(rèn)為獲得的組合效應(yīng)越大，那么同時贏得所有拍賣物品對其越有利，相應(yīng)地，最優(yōu)投標(biāo)價就越高；同時，當(dāng)參與拍賣的局部投標(biāo)者人數(shù)增多時，拍賣競爭加劇，全局投標(biāo)者需要支付更高的投標(biāo)價來贏得拍賣物品的組合。

表2 組合效應(yīng)系數(shù)α對全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響(n=2)

表3 組合效應(yīng)系數(shù)α對全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響(n=10)

表4 組合效應(yīng)系數(shù)α對全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響(n=30)

3.3 全局投標(biāo)者后悔參數(shù)對其投標(biāo)均衡策略的影響

當(dāng)n=2，10和30時，分別代表局部投標(biāo)者人數(shù)少、適中和多三種情況，在3.1節(jié)參數(shù)設(shè)置的前提下，將全局投標(biāo)者針對每個拍賣物品的后悔參數(shù)(βA,βB)視為變量，令(βA,βB)依次取(0.1,0.15)，(0.15,0.2)，(0.2,0.25)，(0.25,0.3)，(0.3,0.35)，(0.35,0.4)，(0.4,0.45)，(0.45,0.5)，(0.5,0.55)，(0.55,0.6)和(0.6,0.65)，利用MATLAB 7.8.0(R2009a)軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，可以得到全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略隨(βA,βB)的變化規(guī)律，如表5～7所示。由數(shù)值仿真結(jié)果可以觀察到：

1)在任一局部投標(biāo)者人數(shù)狀態(tài)下(n)，全局投標(biāo)者最優(yōu)組合投標(biāo)價bc*及針對物品A和B的最優(yōu)投標(biāo)價均與全局投標(biāo)者的后悔參數(shù)值(后悔感知程度)呈正相關(guān)關(guān)系。這是由于全局投標(biāo)者的后悔感知程度越高，其錯失一個以合適的價格贏得組合拍賣的機會的概率就越大，因此，全局投標(biāo)者需要不斷提高自身投標(biāo)價來削弱其預(yù)期后悔感知，同時增大拍賣獲勝概率。

2)針對同一后悔參數(shù)組合(βA,βB)，全局投標(biāo)者最優(yōu)投標(biāo)價bc*與局部投標(biāo)者人數(shù)n呈正相關(guān)關(guān)系。這是因為，在一定的預(yù)期后悔感知情況下，若全局投標(biāo)者得到的局部投標(biāo)者人數(shù)信號越強，即局部投標(biāo)者人數(shù)越多，則競拍的激烈程度就越強，伴隨著拍賣競爭加劇，全局投標(biāo)者需要支付更高的投標(biāo)價來贏得拍賣物品組合。

表5 全局投標(biāo)者后悔參數(shù)(βA,βB)對其投標(biāo)均衡策略的影響(n=2)

表6 全局投標(biāo)者后悔參數(shù)(βA,βB)對其投標(biāo)均衡策略的影響(n=10)

表7 全局投標(biāo)者后悔參數(shù)(βA,βB)對其投標(biāo)均衡策略的影響(n=30)

4 算例分析

為了進(jìn)一步說明上文給出的組合拍賣模型及全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略分析方法的潛在應(yīng)用，這里給出無線電頻譜組合拍賣的全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略確定的一個算例分析；基于算例的參數(shù)取值，進(jìn)一步給出本文所提方法與相關(guān)投標(biāo)策略確定方法的比較分析。

4.1 無線電頻譜組合拍賣的投標(biāo)均衡策略

無線電頻譜作為一種稀缺不可再生的資源，在各國政治、軍事和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域均占有重要的戰(zhàn)略地位。如何合理高效地分配和管理頻譜資源是一項艱巨而緊迫的工作[5]。針對無線電頻譜這種特殊的公共資源，一些學(xué)者指出采用拍賣的模式來分配會更有效[28,29]。這里，考慮中國S地區(qū)的無線電管理部門欲采用一級價格組合拍賣的方式，將本地區(qū)內(nèi)兩個相鄰區(qū)域的3.5GHz頻段上兩段帶寬無線接入頻譜1×150MHz(頻譜A)和1×200MHz(頻譜B)分配給市場上的電信運營商。經(jīng)過初步資格審查后，共有9個合格的運營商允許參加拍賣，其中只對單一頻譜A或B感興趣的局部投標(biāo)者個數(shù)均為4，即n=4，而對兩個頻譜均感興趣的全局投標(biāo)者個數(shù)為1(記該全局投標(biāo)者為r)。這種情形可以理解為，無線電管理部門同時同地開設(shè)兩個拍賣各拍賣一個頻譜，有8個運營商(局部投標(biāo)者)分別參加自己感興趣的某個拍賣，運營商r(全局投標(biāo)者)則會同時參加兩個拍賣。假設(shè)局部投標(biāo)者對頻譜A或B的估價服從[0,1]上的均勻分布，且局部投標(biāo)者的投標(biāo)價范圍為[0,ρ]=[0,0.8](單位：百萬元)；全局投標(biāo)者r對于頻譜A和B的估價分別為60萬元和70萬元，即vA=0.6，vB=0.7，且其認(rèn)為兩個頻譜A和B的組合能帶來互補性效用α=0.2，頻譜A對組合效應(yīng)的貢獻(xiàn)度θ=0.5，全局投標(biāo)者r的后悔參數(shù)為βA=0.4，βB=0.45。根據(jù)本文給出的全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略分析過程，來確定其在該組合拍賣中的投標(biāo)均衡策略。

特別地，當(dāng)后悔參數(shù)βA=βB=0時，即不考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的情形，組合拍賣模型退化為

EUc=π=L(bA)L(bB)(vA+vB+α-bA-bB)+[1-L(bA)]L(bB)(vB-vB)+L(bA)[1-L(bB)](vA-bA)

=α(δbc/ρ)n[(1-δ)bc/ρ]n+(cA-δbc)(δbc/ρ)n+[vB-(1-δ)bc][(1-δ)bc/ρ]n

通過與考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的情形對比，可以發(fā)現(xiàn)，在不考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的情形下，全局投標(biāo)者的期望效用僅由其預(yù)期投標(biāo)獲勝的期望收益決定，由此求得的最優(yōu)投標(biāo)價相對較低。而在實際拍賣中，全局投標(biāo)者通常會存在針對投標(biāo)失敗的預(yù)期后悔感知，為了使得自身后悔程度盡可能小同時獲勝收益盡可能大，其往往會提高自身投標(biāo)價水平，這也進(jìn)一步解釋了實際拍賣中常出現(xiàn)的超投標(biāo)的現(xiàn)象。

4.2 投標(biāo)均衡策略確定方法比較分析

基于4.1節(jié)參數(shù)的具體取值，即n=4，ρ=0.8，α=0.2，vA=0.6，vB=0.7，βA=0.4，βB=0.45，且假設(shè)局部投標(biāo)者的投標(biāo)者價值服從[0,1]范圍內(nèi)的均勻分布，針對由本文得到的投標(biāo)均衡策略(包括考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為與不考慮后悔心理行為兩種情形)與未考慮投標(biāo)者心理行為的組合拍賣投標(biāo)均衡策略[4]和考慮投標(biāo)者后悔心理行為的單物品拍賣投標(biāo)均衡策略進(jìn)行比較分析[15,16]，比較結(jié)果如表8所示。由表8可以看出，由Krishna和Rosenthal[4]確定的未考慮投標(biāo)者心理行為的組合拍賣投標(biāo)策略與本文得到的不考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為情形下的投標(biāo)策略大致相等，即1.1058≈1.1162，同時，其小于本文在考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為情形下得到的投標(biāo)策略，即1.1058<1.2449，這主要是由于Krishna和Rosenthal沒有考慮全局投標(biāo)者在拍賣過程中的預(yù)期后悔心理行為(可視為預(yù)期后悔感知程度為0的特殊情形)，而3.3節(jié)數(shù)值實驗分析結(jié)果表明，全局投標(biāo)者的預(yù)期后悔感知程度與其投標(biāo)策略呈正相關(guān)關(guān)系，因此，在一定條件下(βA=βB=0)，由Krishna和Rosenthal確定的投標(biāo)策略僅是本文得到結(jié)果的一個特例，其無法解釋組合拍賣中的超投標(biāo)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象；Engelbrecht-Wiggans和Katok[15]、高廣鑫和樊治平[16]確定的均是在考慮投標(biāo)者后悔心理行為情形下的單物品拍賣投標(biāo)策略，為了便于比較分析，我們計算了文獻(xiàn)[15]和[16]分別針對物品和的最優(yōu)投標(biāo)價，在此基礎(chǔ)上，將計算得到的兩個單物品投標(biāo)價合成組合投標(biāo)價，由表8可知，由文獻(xiàn)[15]和[16]確定的投標(biāo)策略大致相等，即1.1062≈1.107，但二者均明顯小于本文在考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為情形下得到的投標(biāo)均衡策略，即1.1062≈1.107<1.2449，甚至其小于本文在不考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為情形下得到的投標(biāo)均衡策略，即1.1062≈1.107<1.1162，這主要是由于文獻(xiàn)[15]和[16]是針對單物品拍賣確定的投標(biāo)策略，其沒有考慮組合拍賣中多物品之間的組合給全局投標(biāo)者帶來的組合效應(yīng)，而3.2節(jié)數(shù)值實驗分析結(jié)果表明，拍賣物品給全局投標(biāo)者帶來的組合效應(yīng)與其投標(biāo)策略呈正相關(guān)關(guān)系，因此，由文獻(xiàn)[15]和[16]確定的投標(biāo)策略不能適用于多物品組合拍賣的環(huán)境。綜上，由本文確定的考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的投標(biāo)均衡策略，不僅能夠反映全局投標(biāo)者在組合拍賣過程中表現(xiàn)的后悔規(guī)避心理行為，而且符合多物品組合拍賣的實際情況和特點。

表8 本文所提方法的結(jié)果與相關(guān)方法所得結(jié)果的比較

5 結(jié)論

本文研究了考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣的全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略確定問題，在采用Engelbrecht-Wiggans和Katok提出的后悔函數(shù)刻畫投標(biāo)者后悔心理行為的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了組合拍賣模型，通過分析得出了全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略需要滿足的充分和必要條件，同時依據(jù)構(gòu)建的模型對影響全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略的三個重要參數(shù)(局部投標(biāo)者人數(shù)、組合效應(yīng)系數(shù)和全局投標(biāo)者后悔參數(shù))進(jìn)行了數(shù)值仿真，進(jìn)一步地，通過一個關(guān)于無線電頻譜組合拍賣的算例說明了本文構(gòu)建的模型及投標(biāo)均衡策略分析方法的潛在應(yīng)用。與已有相關(guān)研究不同的是，本文著重考慮了組合拍賣中全局投標(biāo)者存在后悔心理行為的情形，并分析了這類投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略。通過本文的研究，得到以下主要結(jié)論：

1)在組合拍賣中，全局投標(biāo)者的后悔心理行為對于其投標(biāo)均衡策略具有重要的影響，與不考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的情形相比較，存在預(yù)期后悔感知的全局投標(biāo)者會提高其投標(biāo)價，這一結(jié)論有利于解釋實際組合拍賣中的超投標(biāo)現(xiàn)象；

2)在考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣中，其最優(yōu)投標(biāo)價通常隨局部投標(biāo)者人數(shù)、組合效應(yīng)系數(shù)和全局投標(biāo)者后悔參數(shù)的增加而增加。

本文構(gòu)建的組合拍賣模型和全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略分析方法，為解決現(xiàn)實中考慮全局投標(biāo)者心理行為的組合拍賣投標(biāo)策略確定問題，提供了一種新的途徑。與其他相關(guān)的投標(biāo)均衡策略確定方法相比，運用本文方法確定的投標(biāo)均衡策略，較好地反映了全局投標(biāo)者的預(yù)期后悔心理行為，符合多物品組合拍賣投標(biāo)的現(xiàn)實情況。