江蘇省徐州市第三十一中學 胡子揚

一、實驗目的

設計以問題——“用正方形紙片折出含有30°角的直角三角形”為背景的折紙實驗。經(jīng)歷“操作——觀察——思考——交流——推理——操作”的過程，探究正方形紙片在翻折前后對應邊、角的數(shù)量和位置關系，探究圖形性質，感悟“用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界”，借助實驗助推數(shù)學思維生長。

二、實驗準備

10cm×10cm 的正方形紙片3 個。

三、實驗內容與步驟

第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD 折疊，使點A 和點B，點D 和點C 重合，將正方形紙片展開后，得折痕MN，如圖2。

問題1：折痕MN 和正方形ABCD 的各邊有何特殊的數(shù)量、位置關系？

問題2：你能在圖1 中用尺規(guī)作出折痕MN 嗎？

圖1

圖2

圖3

圖4

設計意圖：從簡單的折紙動作入手，由折紙現(xiàn)象聯(lián)系軸對稱的數(shù)學性質，得折痕MN 垂直平分邊AB、CD ，折痕MN 平行AD、BC；鍛煉用尺規(guī)作線段垂直平分線的基本數(shù)學技能。

第二步：如圖3，在邊AD 上取一點E，將正方形ABCD 沿BE 折疊，使點A 落在MN 上的點A'處，將正方形紙片展開后，設BE 與折痕MN 相交于點F。

問題3：試用尺規(guī)在圖2 中作出點A'和點E。

國家要盡快制定一些相關的法律法規(guī)，為低碳經(jīng)濟的發(fā)展構建一個積極、完善、客觀的外部環(huán)境，替低碳營銷模式提供良好的氛圍?，F(xiàn)今，世界各國都在相繼制定、出臺與低碳經(jīng)濟相關的法律、法規(guī)。例如美國制定的《低碳經(jīng)濟法案》、英國出臺的《可再生能源義務》、丹麥的綠色能源的發(fā)展模式和意大利的“白色證書”“綠色證書”、能源計劃等等。我國也應該著手這方面立法的研究。在制定相關的法律法規(guī)時，添加應對氣候變化的相關條款，在規(guī)劃、批報項目和戰(zhàn)略環(huán)評的規(guī)則中增加氣候影響評價的規(guī)定，逐漸建立健全應對氣候變化的體系。

問題4：在圖3 中，連接AA'，你認為△ABA'是何三角形？你還能找到圖中與之類似的三角形嗎？

問題5：圖3 中哪些角的度數(shù)為30°？

設計意圖：培養(yǎng)學生“用數(shù)學”的意識：用數(shù)學的眼光觀察折紙操作，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)象背后的數(shù)學本質。

①聯(lián)系軸對稱的性質，折痕MN 上的點A'有A'B=AB 的特征，故用圓規(guī)以點B 為圓心，BA 為半徑截取即得。同時關注用尺規(guī)作角的角平分線的基本數(shù)學技能。

②關注一、二兩步操作產生的折痕，即對稱軸，由對稱軸上的點到線段兩端的距離相等，得AB=A'B=AA'，從而△ABA'是等邊三角形，類似的，可以發(fā)現(xiàn)△AEF 也是等邊三角形。

③對比折疊前后的線段和角，落實到邊角的數(shù)量關系上，不難發(fā)現(xiàn)∠CBA'，∠EBA'，∠ABE，∠BA'N，∠AA'N 等均為30°的角。

第三步：將圖3 中的正方形再次折疊，使BC 和BA'所在的直線重合；EA 和EB 所在的直線重合，展開后得折痕分別為BG、EH。

問題6：試用尺規(guī)在圖3 中作出折痕BG、EH。

問題7：問題2 和問題6 中折痕的畫法有何異同之處？能把你的經(jīng)驗和方法與同學分享嗎？

問題8：觀察圖4，折疊后點C 和點A'重合嗎？為什么？

設計意圖：同為折疊產生的折痕作圖，但對應點重合產生的折痕與對應邊重合產生的折痕落實在作圖上是有所區(qū)別的，引導學生進一步思考自己的作圖操作，并及時總結。同時關注點、線、角的重合前后的對比，落實到線段和角的大小關系和位置關系上，不難證明折疊后點C 和點A'是重合的。

第四步：在第三步折疊的基礎上，將紙片再次沿BE、BA'和A'折疊，使其都與△A'BE 重合，則△A'BE 即為所求。

問題9：試說明△A'BE 是含有30°角的直角三角形。

問題10：觀察折疊后的紙片，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

設計意圖：引導學生由前面的操作過程聯(lián)系數(shù)學思考、數(shù)學推理，用數(shù)學的符號語言規(guī)范表達自己的證明過程，將操作的過程、思維可視化；進一步觀察、交流、操作，我們可以發(fā)現(xiàn)△A'BE 在折疊后的紙片上的內心和斜邊上的中線等結論。開放的問題讓相異的學生能從不同的角度觀察數(shù)學現(xiàn)象，聯(lián)系數(shù)學知識，拓展數(shù)學思維，提升數(shù)學素養(yǎng)。

四、實驗指南

本實驗是為初中高年級學生設計的一節(jié)數(shù)學綜合活動課.通過折疊正方形紙片，不僅再次從軸對稱的角度對正方形的圖形性質進行認識，而且在操作過程中逐步經(jīng)歷運算推理，發(fā)展空間想象能力及邏輯推理能力。

在折紙操作的過程中回歸數(shù)學本真，對于生活中的簡單紙質現(xiàn)象，能用數(shù)學的眼光審視其中蘊含的數(shù)學原理；用數(shù)學的思維思考在折紙過程中產生的數(shù)量和位置關系等數(shù)學問題；能用數(shù)學的語言描述折紙的現(xiàn)象和數(shù)學思想方法。