于文靜，余 潔，徐凌宇

(上海大學 計算機工程與科學學院，上海 200444)

0 引 言

海洋系統(tǒng)是一個動態(tài)的復雜系統(tǒng)，在演化過程中，海洋系統(tǒng)動力學特征往往呈現(xiàn)出復雜性和非線性。海洋表面溫度(sea surface temperature，SST)是一個重要的海洋環(huán)境參數(shù)，幾乎所有的海洋過程，特別是海洋動力過程都直接或間接地與溫度有關。SST時間序列具有明顯的季節(jié)性，長記憶性行為是復雜系統(tǒng)內在機制的綜合表現(xiàn)，是探索時空耦合系統(tǒng)的深層動力機制的有效工具。因此對SST時間序列的復雜性及相關性進行研究，對揭示海洋的特性和機理具有非常重要的意義[1-3]。

樣本熵[4]是一種衡量時間序列復雜度的方法，廣泛應用在生理信號、腦電信號、振動信號等復雜度分析中[5-6]。但是樣本熵在衡量時間序列復雜度時，熵值的大小有時和系統(tǒng)復雜度的增加沒有關系[7]，因此文中提出了一種樣本熵的改進算法——二維熵。相比于樣本熵，二維熵在計算向量的相似性時，不僅僅考慮向量之間的模式相似性，還考慮了向量之間的時間距離對相似性的影響。同時，二維熵在最后計算熵值的模型中，考慮了序列中向量的自相似程度對時間序列復雜性的影響。因此二維熵在計算時間序列的復雜性時更加合理。

相關性的分析最早是由英國水文學家H.E.Hurst[8]于1954年提出的，通過重標極差(R/S)分析法構建Hurst指數(shù)來度量時間序列的長程相關性。1992年，C.K.Peng等在《Nature》上提出的基于隨機游走理論的標準標度分析法[9]，計算出波動指數(shù)可以刻畫時間序列的長程相關性和短程相關性。但這兩種方法都是基于平穩(wěn)時間序列建立的，而現(xiàn)實世界中大多數(shù)的時間序列都是非平穩(wěn)的。對于非平穩(wěn)的時間序列，C.K.Peng等于1994年在研究DNA序列時提出了去趨勢波動分析法(detrended fluctuation analysis，DFA)[10]，能夠有效減小序列局部趨勢導致的非平穩(wěn)性。DFA分析方法已成功應用在金融市場、情感心電信號、氣溫變化、降雨演變中等[11-15]。

1 方 法

1.1 二維熵方法

二維熵的定義和樣本熵類似，二維熵參數(shù)用N,m,r,k表示。其中，N為序列長度，m為嵌入維數(shù)，r為相似容限，k為時間衰減系數(shù)，具體算法如下：

設原始時間序列U(i)為由N個點構成的序列，根據(jù)預先設定的嵌入維數(shù)m將原始時間序列重構成一組m維向量，每個向量代表從第i個點開始連續(xù)的m個u的值：

i=1,2,…,N-m+1

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

將維數(shù)m增加1，重復上述步驟，得到Bm+1(r,k)。

二維熵在計算時間序列的復雜度時不僅考慮新信息的產(chǎn)生率還考慮向量自相似程度，故二維熵的計算模型如下：

Bm+1(r,k)]

(6)

Bm+1(r,k)]

(7)

根據(jù)Pincus建議，實驗中將m設為2，r為0.2SD，SD為時間序列的標準差；同時將衰減系數(shù)k設為0.01。

1.2 DFA方法

給定一個時間序列X={x(i),i=1,2,…,N}，N是時間序列的長度，DFA算法[16]主要包含以下幾個步驟：

(1)運用以下公式，構造序列的輪廓序列。

(8)

(2)重構序列Y={Y(k),k=1,2,…,N}，將它劃分成長度為s的互相不重疊的窗口，窗口個數(shù)為Ns=int(N/s)。

(3)分別在每個窗口v中，用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)，則可獲得局部趨勢記為yv(k)。而擬合多項式的階數(shù)可根據(jù)實際情況確定，主要用于去除線性的，二次的或者更高次的趨勢。將去除趨勢后的序列記作：

Ys(k)=Y(k)-yv(k)

(9)

(4)計算去除趨勢后每個窗口內的局部波動。

(10)

其中，v=1,2,…,Ns，表示正向順序的窗口。

(5)由于步驟2中N不一定能被s整除，故在序列尾部存在一小部分數(shù)據(jù)沒有被分析。為了克服這個問題，將序列進行逆序操作，重復步驟3、4，這樣就得到2Ns個窗口。

(11)

對于給定的窗口長度值s(或稱為標度)，可以得到對應的波動函數(shù)值F(s)，設F(s)與s具有冪律關系，即

F(s)～sα

(12)

其中，指數(shù)α稱為標度指數(shù)。

根據(jù)式12可知logF(s)～αlog[s]，則在(s,F(s))的雙對數(shù)圖中，可以用最小二乘法擬合得到標度指數(shù)α,可知α的數(shù)值大小可以反映序列的相關性，如表1所示。

表1 標度指數(shù)α的含義

2 數(shù) 據(jù)

實驗數(shù)據(jù)來自國家海洋信息中心，衛(wèi)星遙感中國近海的SST實測數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)觀測點位于中國東部海域130.125°E經(jīng)度上31個不同緯度。時間分辨率為1天，時間跨度為1994年1月1日至2016年12月31日，數(shù)據(jù)點長度為8 401。主要選取了位于低緯度第1個觀測點和中緯度第16個觀測點以及高緯度第31個觀測點的SST進行相關性及復雜性研究。

3 實 驗

三個觀測點的SST從1994年1月1日至2016年12月31日的時間序列如圖1所示?？梢钥闯?，低緯度第1個觀測點序列溫差變化小于第16個觀測點以及第31個觀測點的溫差變化，且第1個觀測點的SST時間序列變化更復雜。第16個觀測點以及第31個觀測點的周期性更加明顯。

接下來用二維熵度量這三個觀測點每一年SST時間序列的復雜度，如圖2所示?？梢钥闯?，低緯度第1個觀測點每一年的SST時間序列的復雜度大于中緯度第16個觀測點以及高緯度第31個觀測點每一年的SST時間序列的復雜度。并且在2007年及以后三個觀測點的SST時間序列的復雜度趨勢都是降低的。

圖1 三個觀測點的SST時間序列

圖2 三個觀測點每一年SST的復雜度

實際上從圖1中可以看出第1個觀測點SST時間序列的波動比較明顯，相應的季節(jié)性等趨勢不明顯；而第16個觀測點和第31個觀測點的季節(jié)性都比較明顯，相應的受其他因素影響的波動趨勢就比較弱，序列看起來有規(guī)則，所以序列的復雜度相應就小。而低緯度區(qū)除了季節(jié)性會影響海表面溫，其他因素，如太陽輻射和海洋大氣熱交換等影響更加明顯。但是高緯度地區(qū)季節(jié)性因素相對來說對SST的影響性更大。

然后用DFA方法來研究三個觀測點的長相關性。三個觀測點每年的SST時間序列的DFA標度指數(shù)α如圖3所示，每個觀測點23年的SST時間序列的長相關性如圖4所示。

圖3 三個觀測點每年SST時間序列的DFA標度指數(shù)

從圖3可以看出，高緯度第31個觀測點獲得的SST時間序列每一年的DFA標度指數(shù)α比其他兩個觀測點的標度指數(shù)都要高，且α值在1上下浮動，表明第31個觀測點的SST時間序列具有較強的非平穩(wěn)性和長記憶性。而第1個觀測點的SST的DFA標度指數(shù)在0.5上下浮動，表明這個緯度每年的SST時間序列呈現(xiàn)出不同的特點，有時具有長記憶性，有時具有反記憶性。這個結果和復雜度結果相似，對于高緯度地區(qū)的SST的季節(jié)性比較明顯，所以序列會呈現(xiàn)出長記憶性特征。而低緯度地區(qū)影響SST序列的因素比較多，當季節(jié)性因素影響較強時，序列會呈現(xiàn)出長記憶性；當其他因素影響更強時，序列會表現(xiàn)出隨機性或者反記憶性。第16個觀測點所在的中緯度地區(qū)的SST序列的季節(jié)性更加明顯，同時其他因素對SST的影響也比第31個觀測點強，所以第16個觀測點SST的相關性在第1個觀測點和第31個觀測點之間波動。

圖4 三個觀測點23年的SST的DFA標度指數(shù)

圖4是這三個觀測點23年來(1994-2016年)的SST時間序列的波動函數(shù)值F(s)與窗口長度s之間的函數(shù)關系，直線是兩者最小二乘法的擬合直線?？梢钥闯?，對于長時間序列，這三個觀測點的DFA標度指數(shù)α都大于0.5，且高緯度地區(qū)第31個觀測點的α大于中緯度地區(qū)第16個觀測點的α以及低緯度地區(qū)第1個觀測點的α。這三個觀測點的SST長時間序列呈現(xiàn)出長記憶性且具有非平穩(wěn)性。這是因為時間足夠長時，序列的季節(jié)性特征就相對更加明顯，序列的長期記憶性就強。

4 結束語

主要研究了海表面溫(SST)時間序列的復雜性與相關性。根據(jù)一種改進的樣本熵方法——二維熵方法來研究SST的復雜性；使用DFA方法研究SST的相關性。實驗結果表明，周期性明顯的高緯度地區(qū)的SST時間序列的復雜度低于低緯度地區(qū)SST時間序列的復雜性。因為影響低緯度地區(qū)的SST的因素較多，序列波動的周期性不明顯，序列相對來說比較復雜。相對不復雜的高緯度地區(qū)SST時間序列長記憶性更加明顯，且顯示出較強的非平穩(wěn)性。而相對復雜的低緯度地區(qū)SST時間序列呈現(xiàn)出反記憶性及長記憶性不同的特點。然而當序列的長度足夠長時，不同緯度下的SST時間序列都呈現(xiàn)出明顯的長記憶性及非平穩(wěn)性。