董安林

(甘肅省金昌市第一中學(xué) 737100)

文【1】從坐標(biāo)法、基向量法、數(shù)形結(jié)合法三個(gè)視角，使用四種方法對(duì)2017年全國(guó)卷Ⅲ第12題進(jìn)行了解析.筆者對(duì)此題的解析也略有心得，特撰此文，與各位同仁共賞.

于是，有如下結(jié)論成立：

(1)當(dāng)P∈直線AB時(shí)，λ+μ=1；

證明(1)當(dāng)P∈直線AB時(shí)，A,B,P三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線性質(zhì)可知λ+μ=1，結(jié)論(1)得證.

①當(dāng)P∈Ⅱ區(qū)且在AB與l之間時(shí)，如圖2所示.

②當(dāng)P∈Ⅱ區(qū)且與AB在l的異側(cè)時(shí)，如圖3所示.

下面應(yīng)用以上定理逐一解決文【1】中的所有問題.

變式1 求λ+μ的最小值.

解析如圖5，當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，P距離直線BD最近，此時(shí)P∈BD，λ+μ=1，問題得解.

變式2 求λ+2μ的最大值.

過A作AE⊥BG=E，記AE=h，過C作CF⊥BG=F且交圓C于點(diǎn)P(較遠(yuǎn)的交點(diǎn))，此時(shí)P距BG最遠(yuǎn)，λ+2μ取得最大值.