劉士超，呂 品，賴際舟，包 勝

（南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京211106）

0 引言

近年來(lái)，隨著四旋翼飛行器相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，其被廣泛應(yīng)用于軍事、民用領(lǐng)域［1］。目前，四旋翼飛行器通常采用 PID控制算法［2?3］。然而，隨著四旋翼飛行器飛行任務(wù)的多樣化、飛行環(huán)境的復(fù)雜化［4］，其對(duì)控制算法的抗干擾性提出了越來(lái)越高的要求。針對(duì)于此，研究人員將自適應(yīng)控制等基于模型的控制算法應(yīng)用于四旋翼飛行器。文獻(xiàn)［5］、文獻(xiàn)［6］提出在建立四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用自適應(yīng)控制算法對(duì)四旋翼飛行器的姿態(tài)、位置進(jìn)行控制。對(duì)于這類控制器，準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型是保障控制精度的重要前提。

目前，四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)建模普遍是在直升機(jī)旋翼模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的，其主要考慮了單旋翼的動(dòng)力學(xué)特性。文獻(xiàn)［7］、文獻(xiàn)［8］基于旋翼的葉素理論和動(dòng)量理論，對(duì)單旋翼所產(chǎn)生的升力、阻力、扭矩模型進(jìn)行了推導(dǎo)，建立了四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型。文獻(xiàn)［9］提出了基于葉素理論和動(dòng)量理論的旋翼飛行器的氣動(dòng)力模型（包括升力模型和阻力模型），并且在水平側(cè)飛的過(guò)程中，使用阻力模型進(jìn)行了水平速度估計(jì)。文獻(xiàn)［10］提出了基于升力模型的旋翼飛行器高度信息容錯(cuò)估計(jì)，該升力模型是在單旋翼基礎(chǔ)上得到的，忽略了飛行器整體的動(dòng)力學(xué)特性。文獻(xiàn)［11］、文獻(xiàn)［12］通過(guò)對(duì)單旋翼空氣動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析，推導(dǎo)出了四旋翼飛行器在機(jī)動(dòng)性較小或懸停狀態(tài)下的動(dòng)力學(xué)模型。上述文獻(xiàn)僅考慮了單旋翼的氣動(dòng)力特性，而忽略了飛行器在機(jī)動(dòng)飛行時(shí)所呈現(xiàn)出的整體動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)。本文對(duì)四旋翼飛行器傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了改進(jìn)，使其能夠更好地描述四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)特性，相應(yīng)結(jié)論通過(guò)試驗(yàn)得到了驗(yàn)證。

1 四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)建模及改進(jìn)

四旋翼飛行器受力分析是建立其動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)。本文所使用的坐標(biāo)系為導(dǎo)航系和機(jī)體系，其中導(dǎo)航系選為東北地坐標(biāo)系，機(jī)體系選為前右下坐標(biāo)系，如圖1所示。四旋翼飛行器在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受到的力包括升力、阻力和重力，所受到的力矩包括扭矩、橫滾力矩和俯仰力矩。這些力與力矩主要與旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)，是分析四旋翼飛行器運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)［13］。

圖1 四旋翼飛行器的受力示意圖及坐標(biāo)系定義Fig.1 Force diagram of quadrotor and frame definition

1.1 四旋翼飛行器升力、阻力模型建模

四旋翼飛行器是欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，通過(guò)4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速來(lái)調(diào)整自身的姿態(tài)和運(yùn)動(dòng)速度［14］。在飛行過(guò)程中，每個(gè)旋翼都受到升力、阻力的作用。在近年的研究中，已經(jīng)建立了簡(jiǎn)化的四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型。文獻(xiàn)［15］、文獻(xiàn)［16］提出了旋翼飛行器的升力、阻力、扭矩、力矩模型，這些模型均是基于單旋翼特性且在水平側(cè)飛或懸停狀態(tài)下提出的，本文將其稱為傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，采用上標(biāo)的“tra”表示。本文提出的四旋翼飛行器改進(jìn)動(dòng)力學(xué)模型采用上標(biāo)的 “im”表示。

（1）四旋翼飛行器的傳統(tǒng)升力、阻力模型

①升力模型

升力由旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生，方向垂直旋翼平面且沿著機(jī)體系的z軸方向向上。根據(jù)單個(gè)旋翼的升力特性，四旋翼飛行器所受到的升力表達(dá)式如下［17?18］

②阻力模型

四旋翼飛行器的阻力主要來(lái)源于輪轂力，輪轂力是四旋翼飛行器在做側(cè)向運(yùn)動(dòng)時(shí)作用于旋翼上的力，其方向與旋翼葉面平行且與飛行器運(yùn)動(dòng)方向相反，其表達(dá)式如下［17，19］

（2）四旋翼飛行器的改進(jìn)升力、阻力模型

①改進(jìn)升力模型

受機(jī)體加工誤差的影響，四旋翼飛行器的升力模型在式（1）的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)出了一定的常值偏置特性。針對(duì)于此，提出以下的改進(jìn)升力模型

②改進(jìn)阻力模型

傳統(tǒng)的阻力模型僅考慮了四旋翼飛行器在側(cè)飛運(yùn)動(dòng)過(guò)程中旋翼的側(cè)力特性。當(dāng)四旋翼飛行器進(jìn)行橫滾、俯仰的角運(yùn)動(dòng)時(shí)，其旋轉(zhuǎn)中心通常在飛行器的質(zhì)心位置，而旋翼與旋轉(zhuǎn)中心存在一定距離。此時(shí)，旋翼會(huì)敏感到由角運(yùn)動(dòng)引發(fā)的切向力。此外，受機(jī)體加工誤差的影響，阻力模型也會(huì)存在一定偏置。改進(jìn)的阻力模型如下所示

相較于傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，改進(jìn)的升力模型和阻力模型增加了零偏項(xiàng)，該項(xiàng)的增加可以解決飛行器加工及器件加工的誤差問(wèn)題。同時(shí)，針對(duì)飛行器的轉(zhuǎn)動(dòng)飛行狀態(tài)，在阻力模型中加入了角加速度相關(guān)項(xiàng)，使得改進(jìn)的動(dòng)力學(xué)模型適用于大機(jī)動(dòng)性運(yùn)動(dòng)，突破了傳統(tǒng)模型的低速平飛或懸停運(yùn)動(dòng)的限制。

1.2 四旋翼飛行器力矩模型建模

四旋翼飛行器所受力矩包括扭矩、橫滾力矩和俯仰力矩，其通常由升力、阻力引起。

（1）四旋翼飛行器的傳統(tǒng)力矩模型

①扭矩模型

旋翼在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，由于空氣阻力作用，會(huì)形成與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反的反扭矩。為了克服反扭矩的影響，通常令2個(gè)旋翼正轉(zhuǎn)，2個(gè)旋翼反轉(zhuǎn)。當(dāng)4個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速不完全相同時(shí)，不平衡的反扭矩會(huì)引起四旋翼飛行器繞機(jī)體系z(mì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。其可表達(dá)為如下形式［20?21］

②橫滾、俯仰力矩模型

在傳統(tǒng)的橫滾、俯仰力矩模型中，其通常僅考慮由旋翼的升力而產(chǎn)生的力矩。因每個(gè)旋翼產(chǎn)生的升力不同，其會(huì)產(chǎn)生如下形式的力矩［20?21］

（2）四旋翼飛行器的改進(jìn)力矩模型

①扭矩模型

當(dāng)四旋翼飛行器繞機(jī)體系z(mì)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋翼會(huì)敏感切向速度，從而產(chǎn)生阻力。由于該阻力在旋翼中心，距轉(zhuǎn)動(dòng)中心有一定距離，因此會(huì)產(chǎn)生扭矩，其可表示為

式中，Md是四旋翼飛行器所受到的阻力矩；kd是阻力矩系數(shù)；Vr為旋翼在轉(zhuǎn)動(dòng)半徑R處的線速度，Vr=ωbzR；ωbz為機(jī)體系相對(duì)于導(dǎo)航系的角速度在機(jī)體系z(mì)軸上的分量，將其帶入式（10）可得到

考慮零偏，則四旋翼飛行器的改進(jìn)扭矩模型可以表達(dá)為如下形式

②橫滾、俯仰力矩模型

當(dāng)四旋翼飛行器做橫滾和俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其會(huì)受到切向力的作用。該切向力與飛行器轉(zhuǎn)動(dòng)軸之間存在一定距離，從而會(huì)產(chǎn)生橫滾、俯仰力矩，該力矩可表示為

針對(duì)旋翼飛行器的力矩及扭矩改進(jìn)模型，考慮到飛行器結(jié)構(gòu)的安裝誤差，需增加零偏項(xiàng)。同時(shí)，考慮到運(yùn)動(dòng)過(guò)程中整體的動(dòng)力學(xué)特性，需在扭矩模型中增加阻力項(xiàng)，在力矩模型中增加切向力項(xiàng)，這在一定程度上提高了模型的精度，實(shí)現(xiàn)了模型的優(yōu)化。

1.3 四旋翼飛行器改進(jìn)動(dòng)力學(xué)模型分析

綜上，四旋翼飛行器改進(jìn)的動(dòng)力學(xué)模型可以表達(dá)為

相對(duì)于傳統(tǒng)模型，改進(jìn)模型考慮到了四旋翼飛行器的安裝誤差，在動(dòng)力學(xué)模型中加入了零偏項(xiàng)，同時(shí)考慮到了四旋翼飛行器在做側(cè)飛、旋轉(zhuǎn)等機(jī)動(dòng)飛行時(shí)的整體動(dòng)力學(xué)特性。通過(guò)增加四旋翼飛行器在轉(zhuǎn)動(dòng)飛行時(shí)所受側(cè)力的角加速度項(xiàng)、扭矩的阻力項(xiàng)、橫滾和俯仰力矩的切向力項(xiàng)，可以更好地對(duì)四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行描述。

2 試驗(yàn)及分析

為了對(duì)本文所提出的四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證，本文進(jìn)行了多種機(jī)動(dòng)下的飛行試驗(yàn)，其飛行場(chǎng)景如圖2所示。飛行試驗(yàn)所采用的四旋翼飛行器的基本參數(shù)如表1所示。

圖2 室外試驗(yàn)場(chǎng)景圖Fig.2 Outdoor test scene

表1 四旋翼飛行器的基本參數(shù)表Table 1 Basic parameters of the quadrotor

在飛行試驗(yàn)中，其航跡設(shè)置如表2所示。即首先進(jìn)行60s的懸停運(yùn)動(dòng)，其次進(jìn)行上下往返運(yùn)動(dòng)，之后進(jìn)行橫滾、俯仰運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)行航向轉(zhuǎn)動(dòng)，最后進(jìn)行橫滾方向的側(cè)飛運(yùn)動(dòng)和俯仰方向的側(cè)飛運(yùn)動(dòng)。

在飛行試驗(yàn)中，陀螺、加速度計(jì)、GPS可以對(duì)飛行器的角速度、加速度、速度信息進(jìn)行記錄。通過(guò)對(duì)角速度進(jìn)行微分，可以得到角加速度的信息。由四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)方程可知，其加速度、角加速度與力、力矩是成正比的。因此，通過(guò)對(duì)式（15）進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可以得到四旋翼飛行器加速度、角加速度的計(jì)算表達(dá)式，如式（16）所示。

表2 模型對(duì)比驗(yàn)證的試驗(yàn)航跡設(shè)置Table 2 Test track setting of model comparison verification test

對(duì)傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可得到傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的加速度、角加速度表達(dá)式

通過(guò)式（16），對(duì)四旋翼飛行器的加速度、角加速度模型進(jìn)行擬合，通過(guò)將其與傳統(tǒng)模型的擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可以對(duì)兩種模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行評(píng)價(jià)。

本文采用擬合優(yōu)度的概念對(duì)兩種模型的擬合精度進(jìn)行分析。擬合優(yōu)度描述了所構(gòu)建的模型與觀測(cè)數(shù)據(jù)集的匹配程度，可以用來(lái)衡量所建立的模型的準(zhǔn)確度。衡量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量為確定系數(shù)R2，其取值范圍為［0，1］。擬合優(yōu)度越接近1，意味著所建立的模型越準(zhǔn)確，其定義如下［22?23］

式中，SSE是殘差平方和，SST是總平方和，yi是量測(cè)數(shù)據(jù)，fi是模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，yav是yi的平均值。

采用最小二乘方法，分別使用傳統(tǒng)模型、改進(jìn)模型對(duì)飛行數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，通過(guò)擬合優(yōu)度指標(biāo)、時(shí)域曲線對(duì)其進(jìn)行對(duì)比。將擬合后的改進(jìn)模型與傳統(tǒng)模型分別與觀測(cè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行對(duì)比，可以計(jì)算擬合優(yōu)度R2。擬合優(yōu)度越接近于1，表示模型與數(shù)據(jù)集的匹配程度越高，所建立的模型精度越高。在試驗(yàn)中，通過(guò)上下升降試驗(yàn)來(lái)對(duì)比升力模型的擬合優(yōu)度，通過(guò)側(cè)飛、轉(zhuǎn)動(dòng)試驗(yàn)對(duì)比側(cè)力模型的擬合優(yōu)度，通過(guò)航向運(yùn)動(dòng)來(lái)對(duì)比扭矩模型的擬合優(yōu)度，通過(guò)橫滾運(yùn)動(dòng)來(lái)對(duì)比橫滾力矩的擬合優(yōu)度，通過(guò)俯仰運(yùn)動(dòng)來(lái)對(duì)比俯仰力矩的擬合優(yōu)度。擬合優(yōu)度的對(duì)比情況如表3所示，兩種模型擬合結(jié)果的時(shí)域曲線如圖3～圖10所示。其中，在加速度擬合曲線圖中，參考曲線數(shù)據(jù)為加速度計(jì)輸出；在角速度擬合曲線圖中，參考曲線數(shù)據(jù)為陀螺輸出微分。

表3 兩種模型的擬合優(yōu)度對(duì)比Table 3 Comparison of goodness of fit between the two models

圖3 側(cè)飛試驗(yàn)下X軸加速度擬合結(jié)果對(duì)比圖Fig.3 Comparison of X-axis acceleration fitting results in lateral flight test

圖4 轉(zhuǎn)動(dòng)試驗(yàn)下X軸加速度擬合結(jié)果對(duì)比圖Fig.4 Comparison of X-axis acceleration fitting results in rolling test

圖5 側(cè)飛試驗(yàn)下Y軸加速度擬合結(jié)果對(duì)比圖Fig.5 Comparison of Y-axis acceleration fitting results in lateral flight test

圖6 轉(zhuǎn)動(dòng)試驗(yàn)下Y軸加速度擬合結(jié)果對(duì)比圖Fig.6 Comparison of Y-axis acceleration fitting results in rolling test

圖7 Z軸加速度擬合結(jié)果對(duì)比圖Fig.7 Comparison of Z-axis acceleration fitting results

圖8 X軸角加速度擬合結(jié)果對(duì)比圖Fig.8 Comparison of X-axis angular acceleration fitting results

圖9 Y軸角加速度擬合結(jié)果對(duì)比圖Fig.9 Comparison of Y-axis angular acceleration fitting results

圖10 Z軸角加速度擬合結(jié)果對(duì)比圖Fig.10 Comparison of Z-axis angular acceleration fitting result

通過(guò)將擬合優(yōu)度、時(shí)域曲線進(jìn)行對(duì)比，可以看出：

1）對(duì)于升力、阻力、扭矩、橫滾力矩、俯仰力矩而言，其改進(jìn)的動(dòng)力學(xué)模型擬合優(yōu)度優(yōu)于傳統(tǒng)模型，表明改進(jìn)的動(dòng)力學(xué)模型與觀測(cè)的數(shù)據(jù)集擬合優(yōu)度更接近于1，精度更高。

2）通過(guò)觀察圖3～圖6可以看出，對(duì)于阻力模型，在側(cè)飛狀態(tài)下，零偏項(xiàng)的引入較好地補(bǔ)償了其偏置誤差；在轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)下，傳統(tǒng)模型呈現(xiàn)出了較大誤差，而改進(jìn)模型與試驗(yàn)結(jié)果較為符合。

3）通過(guò)圖7可以看出，改進(jìn)的升力模型與傳統(tǒng)升力模型在時(shí)域上的擬合效果基本一致，與試驗(yàn)結(jié)果均具有較高的重合性。

4）通過(guò)圖8～圖10可以看出，對(duì)于橫滾力矩、俯仰力矩及扭矩而言，改進(jìn)模型與試驗(yàn)結(jié)果的一致性均優(yōu)于傳統(tǒng)模型。

3 結(jié)論

本文提出了一種改進(jìn)的四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型，在側(cè)飛、旋轉(zhuǎn)等機(jī)動(dòng)條件下對(duì)傳統(tǒng)模型進(jìn)行了完善：對(duì)于阻力，引入了與轉(zhuǎn)動(dòng)相關(guān)的切向力；對(duì)于扭矩，引入了轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)由阻力帶來(lái)的阻力矩；對(duì)于橫滾力矩、俯仰力矩，引入了轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)由切向力引起的力矩項(xiàng)。飛行試驗(yàn)表明，當(dāng)四旋翼飛行器執(zhí)行機(jī)動(dòng)飛行時(shí)，改進(jìn)的動(dòng)力學(xué)模型比傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型具有更高的精度。