孫 欣, 李曉雪

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

《數(shù)學(xué)建?！肥菙?shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生于大二下學(xué)期開設(shè)的專業(yè)選修課程,是近年來一項成功的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革實踐。將數(shù)學(xué)建模引入大學(xué)教育,為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決外部世界問題提供了一種新的方式和工具。將數(shù)學(xué)知識用于實際生活,使學(xué)生有更多機會參與發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程,取得在傳統(tǒng)課堂里和書本上較難獲得的實踐經(jīng)驗和切實感受。數(shù)學(xué)建模一方面激發(fā)學(xué)生獲得較廣博的數(shù)學(xué)知識、獨立研究的主動性;另一方面培養(yǎng)學(xué)生想象力、洞察力、深入實際調(diào)查研究的能力,有助于在知識、能力及素質(zhì)等方面迅速成長[1]。有關(guān)《數(shù)學(xué)建?！氛n程研究及相關(guān)活動的開展取得許多成果[2-6]。大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是高校開展的一項學(xué)科競賽活動,為提高學(xué)生用數(shù)學(xué)建模方法分析、解決實際問題的能力搭建了廣闊的平臺,有益于培養(yǎng)創(chuàng)新精神、團隊精神和綜合素質(zhì)人才。

將數(shù)學(xué)建模競賽的思想和方法有機地融入《數(shù)學(xué)建?！氛n程教學(xué)中去,是一種教學(xué)研究與實踐的探索,已取得相關(guān)的研究成果[7]。2017—2019年,在本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2015級、2016級、2017級分別進行了基于建模競賽背景下的《數(shù)學(xué)建?！氛n程實踐教學(xué)創(chuàng)新研究與探索。課程改革(簡稱課改)的主體目標(biāo)是將數(shù)學(xué)建模競賽內(nèi)容引入數(shù)學(xué)建模課程,使其更具實效性。

新的教學(xué)模式在教學(xué)體系、課程組織形式及內(nèi)容方法等方面較傳統(tǒng)的教學(xué)模式主要區(qū)別體現(xiàn)在5個方面:一是在《數(shù)學(xué)建?！氛n程內(nèi)容設(shè)置中增設(shè)《數(shù)學(xué)實驗》課程中基礎(chǔ)且重要的內(nèi)容,將計算機技術(shù)引進《數(shù)學(xué)建?！氛n堂;二是突出學(xué)生實踐環(huán)節(jié),讓學(xué)生自愿結(jié)合組成學(xué)習(xí)小組,合作完成課程任務(wù),課程評價以小組為基礎(chǔ),結(jié)合個人表現(xiàn);三是課程內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模競賽緊密聯(lián)系,進行歷年建模國賽真題講評與競賽經(jīng)驗交流,理論與實踐相結(jié)合;四是充分發(fā)揮信息技術(shù)優(yōu)勢,組建課程QQ群,增加課下與學(xué)生互動,克服時空帶來的不便性,保持課程內(nèi)容學(xué)習(xí)的連續(xù)性;五是課程考核評定取消期末考試,取而代之,采取以小組成績?yōu)榛A(chǔ)結(jié)合個人表現(xiàn)、課程學(xué)習(xí)結(jié)合競賽實踐兩結(jié)合原則評定學(xué)生的期末成績,考核評定具有開放式。總結(jié)3個年級的基于建模競賽背景下的《數(shù)學(xué)建?！氛n程的實踐教學(xué)經(jīng)驗,對于探索研究一種新的課程教學(xué)模式,起到了積極的推動作用。

1 課改實踐創(chuàng)新的必要性

1.1 傳統(tǒng)的《數(shù)學(xué)建?！氛n程教學(xué)模式存在弊端

1) 教師一言堂。教師授課滿堂灌,學(xué)生被動接受新知識、課堂參與度小、缺少利用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的實踐機會。

2) 學(xué)生一言堂。一堂課只有一個學(xué)生作主講,缺少以教師為主導(dǎo)的課堂組織調(diào)控。如果主講學(xué)生水平有限或是準(zhǔn)備不足,會造成大多數(shù)學(xué)生學(xué)無所獲,浪費寶貴的課堂時間。

1.2 課程內(nèi)容設(shè)置與建模競賽無關(guān)聯(lián)

對14級選修《數(shù)學(xué)建?！氛n程的部分學(xué)生做過調(diào)查,學(xué)生對課程的反饋意見之一是所學(xué)內(nèi)容與建模競賽幾乎無關(guān)聯(lián),使學(xué)生有學(xué)無所用的學(xué)習(xí)無力感。

2 課改實施方案

2.1 課前充分了解學(xué)生對課程的心理預(yù)期,及時調(diào)整課程內(nèi)容設(shè)置

在2018年課程第一節(jié)對2016級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一個選課班50名學(xué)生調(diào)查:《數(shù)學(xué)建?！氛n程期望是什么?課程建議有哪些?調(diào)查結(jié)果如表1所示。

表1 2016級學(xué)生選修《數(shù)學(xué)建?！氛n程期待與課程建議Table 1 Expectation and advice on mathematical modeling course of students enrolled in 2016

在2019年課程第一節(jié)對2017級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一個選課班47名學(xué)生關(guān)于選修《數(shù)學(xué)建模》課程動因和期待展開調(diào)查,結(jié)果如表2、圖1所示。

通過對學(xué)生《數(shù)學(xué)建模》關(guān)于課程期待、選課動因及課程建議3個方面的調(diào)查,利于教師對課程內(nèi)容的設(shè)置進行及時地整改、優(yōu)化,有利于突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位,發(fā)揮教師教學(xué)的主導(dǎo)地位。

表2 2017級學(xué)生選修《數(shù)學(xué)建?！穭右蚺c課程期待Table 2 Motive and expectation of mathematical modeling course of students enrolled in 2017

圖1 2017級學(xué)生選修《數(shù)學(xué)建?！穭右蛘{(diào)查Fig.1 Motive investigation into mathematical modeling course of students enrolled in 2017

2.2 課程內(nèi)容設(shè)置多元化

《數(shù)學(xué)建?！氛n程共54學(xué)時,4學(xué)時/周,13周半教學(xué)周。教學(xué)內(nèi)容分成5個部分:一是基本數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí);二是數(shù)學(xué)建模算法與程序?qū)W習(xí);三是數(shù)學(xué)實驗基本內(nèi)容學(xué)習(xí);四是建模競賽指導(dǎo)與培訓(xùn);五是以學(xué)生為主體的建模經(jīng)驗分享與交流。

1)基本數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)。參考姜啟源等編著的《數(shù)學(xué)模型》第四、五版[1,8]。以評價類模型(理想解法TOPSIS、主成分分析法PCA、層次分析法AHP、秩和比法RSR)、預(yù)測類模型(微分方程模型、灰色理論模型、時間序列模型、馬爾科夫模型)、數(shù)理統(tǒng)計模型、規(guī)劃類模型(線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、排隊論、目標(biāo)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃)為基本學(xué)習(xí)內(nèi)容。具體內(nèi)容如表3所示。

表3 基本數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)內(nèi)容Table 3 Study content of basic mathematical model

2) 數(shù)學(xué)建模算法與程序?qū)W習(xí)。參考司守奎等編著的《數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用》[9-10],掌握基本算法和計算機實現(xiàn)的相關(guān)源程序。求解模型實質(zhì)上就是算法的實踐,一般是用Matlab,lingo,spss等數(shù)學(xué)軟件來求解;而有些算法數(shù)學(xué)軟件往往無能為力,需要用C/C++來編制程序解決。學(xué)習(xí)往往從模仿開始,指導(dǎo)學(xué)生從讀懂算法程序的源代碼開始,由淺入深,直至自己能上手編程,達到求解模型的目的。

3) 數(shù)學(xué)實驗基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)。將Matlab計算及仿真基礎(chǔ)引入數(shù)學(xué)建模課程,內(nèi)容有Matlab簡介、Matlab數(shù)值計算、Matlab圖形功能、Matlab符號計算功能、Matlab程序設(shè)計與數(shù)據(jù)擬合等。掌握建模必備的計算機技術(shù),實現(xiàn)計算、繪圖、數(shù)據(jù)分析等操作。

三是豐富業(yè)余生活，加強企業(yè)文化建設(shè)。通過舉辦群眾廣泛參與的讀書學(xué)習(xí)、健身娛樂活動等，讓單位處處充滿生機活力，處處洋溢文化氣息。

4) 建模競賽指導(dǎo)與培訓(xùn)。梳理整理歷年數(shù)學(xué)建模競賽試題,統(tǒng)計分析近10年的國賽?？紨?shù)學(xué)模型。結(jié)合獲獎?wù)撐?分析各種模型的應(yīng)用,總結(jié)歸納數(shù)學(xué)建模常用算法及計算機實現(xiàn)。使學(xué)生掌握建模競賽必備的論文寫作、模型選擇、算法與程序?qū)崿F(xiàn)等相關(guān)知識。課程進行期間經(jīng)歷每年4月20日—5月10日持續(xù)約20 d的東北三省數(shù)學(xué)建模競賽。鼓勵學(xué)生積極參與競賽,增加實踐機會。賽前培訓(xùn)指導(dǎo),賽后總結(jié)交流。結(jié)合數(shù)學(xué)建模競賽,深化課程內(nèi)容。

5) 以學(xué)生為主體開展建模經(jīng)驗分享與交流。建模是一個積累的過程,既有學(xué)習(xí)資料、信息檢索收集的積累,又有建模競賽實戰(zhàn)比賽經(jīng)驗的積累,缺一不可。開課伊始,請有豐富建模經(jīng)驗并在各類建模競賽中多次獲獎的學(xué)長、學(xué)姐做主題為“淺談數(shù)學(xué)建模與經(jīng)驗分享”的報告會,圍繞什么是數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)建模一般步驟、前期知識儲備、比賽經(jīng)驗等方面進行經(jīng)驗分享,充分彰顯榜樣的力量。這樣的交流使缺少建模知識和建模經(jīng)驗的學(xué)生對建模及競賽有一個全局和概括性的認知。課程進行中,結(jié)合剛結(jié)束的東北三省數(shù)學(xué)建模競賽組織學(xué)生以小組為單位進行賽題講解、思路分析,總結(jié)建模寫作經(jīng)驗,這些實踐環(huán)節(jié)利于增長建模的實戰(zhàn)經(jīng)驗。

2.3 課堂組織形式

克服以教師講解為主,學(xué)生被動接受新知識的傳統(tǒng)教學(xué)模式,建立以教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體的課堂教學(xué)形式。利用QQ群加強師生互動與交流,讓學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組協(xié)作學(xué)習(xí),進行多模塊教學(xué)模式,采用這些組織形式有效地組織了教學(xué),提高了教學(xué)效果。

1) 建立課程QQ群,以克服由時空帶來的與學(xué)生的互動不便性,充分發(fā)揮QQ群的便捷性,與學(xué)生增加課程交流,改善互動模式,提高學(xué)習(xí)效率。

2) 將50名學(xué)生以自愿結(jié)合原則按照2～4人為單位組成15～17個學(xué)習(xí)小組,以小組為單位課上討論、完成作業(yè)、考核評定,增強研討合作的團隊意識,為建模競賽做好準(zhǔn)備。

3) 建立多模塊課堂教學(xué)模式。講授與討論相結(jié)合,根據(jù)課程內(nèi)容不同,采取不同的模塊進行教學(xué),有效整合教學(xué)資源,對資源進行合理的篩選、組合和利用,起到了事半功倍的教學(xué)效果。

2.4 課改的特色與創(chuàng)新

將建模競賽訓(xùn)練與指導(dǎo)引入《數(shù)學(xué)建?！氛n程中,深化了課程內(nèi)容。進一步,為滿足建模競賽對計算機技術(shù)的要求,將《數(shù)學(xué)實驗》課程的部分內(nèi)容引入課程。結(jié)合《數(shù)學(xué)建?！氛n程基本教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)要求,將基本數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模算法與程序、數(shù)學(xué)實驗[11]、數(shù)學(xué)建模國賽真題講解[12-15]幾部分內(nèi)容有機結(jié)合、整合與優(yōu)化。

1) 適度挑戰(zhàn)學(xué)生能力

如果一個學(xué)習(xí)任務(wù)很簡單,會很無聊;如果一個學(xué)習(xí)任務(wù)很艱巨,會很令人沮喪。數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)與競賽有足夠的難度構(gòu)成一個挑戰(zhàn),又不至于傷害學(xué)生嘗試的意愿程度,讓學(xué)生在最適當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)下,更有可能投入到學(xué)習(xí)與競賽中。

2) 創(chuàng)立學(xué)習(xí)共同體

《數(shù)學(xué)建?！氛n程的學(xué)習(xí)、考核以小組為單位進行,增加師生之間、學(xué)生之間互動機會與交流。讓所有的學(xué)生都參與討論,所有的成員交換信息、想法和觀點。有利于加強合作學(xué)習(xí)、協(xié)作學(xué)習(xí)、團隊學(xué)習(xí)和問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)。

3) 培養(yǎng)批判性、創(chuàng)造性和對話式思維

建模過程往往通過提出問題讓學(xué)生認識并改善自己的思維方式,使學(xué)生獲得對問題進行批判性思考的能力,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維,鼓勵對話式思維。

4) 課程動態(tài)監(jiān)測

開課伊始,以問卷調(diào)查的方式了解學(xué)生對課程的心理需求和期待。根據(jù)學(xué)生實際情況調(diào)整教學(xué)目標(biāo)、制定切實的教學(xué)手段、選擇合理有效的課堂組織形式。課程中期,繼續(xù)問卷調(diào)查,征求學(xué)生意見,了解課程教學(xué)效果,調(diào)整、優(yōu)化。課程結(jié)束前,無記名形式征求課程建設(shè)性意見,為下次教學(xué)改進提供參考依據(jù)。

3 課改成果

講授《數(shù)學(xué)建?！氛n程的3年中,學(xué)期期末學(xué)生的評價反饋良好,滿意度在96%以上。指導(dǎo)學(xué)生參加?xùn)|北三省數(shù)學(xué)建模競賽、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽和美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(2018年指導(dǎo)2組獲得美賽二等獎)獲獎情況如表4～表7所示。

表4 2017年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽指導(dǎo)學(xué)生獲獎情況Table 4 Guidance for students on award for national university mathematical modeling contest in 2017

表5 2018年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽指導(dǎo)學(xué)生獲獎情況Table 5 Guidance for students on award for national university mathematical modeling contest in 2018

表6 2019年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽指導(dǎo)學(xué)生獲獎情況Table 6 Guidance for students on award for national university mathematical modeling contest in 2019

表7 2017—2019年東北三省數(shù)學(xué)建模競賽指導(dǎo)學(xué)生獲獎情況

注: 表7中“占比”指本人指導(dǎo)學(xué)生獲獎的組數(shù)與全校獲同級別獎項的組數(shù)之比。

注: “占比”指本人指導(dǎo)學(xué)生獲獎的組數(shù)與全校獲同級別獎項的組數(shù)之比圖2 2017—2019年指導(dǎo)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽學(xué)生獲獎所占比Fig.2 Award ratio of guidance for students for national university mathematical modeling contest from 2017 to 2019

注: “占比”指本人指導(dǎo)學(xué)生獲獎的總組數(shù) 與全校獲獎總組數(shù)之比。圖3 2017—2019年指導(dǎo)東北三省數(shù)學(xué) 建模競賽學(xué)生獲獎總數(shù)所占比Fig.3 Total award ratio of guidance for students for northeast three provinces mathematical modeling contest from 2017 to 2019

4 結(jié)論與展望

歷經(jīng)3年基于數(shù)學(xué)建模競賽背景下的《數(shù)學(xué)建?！方虒W(xué)實踐的探究初見成效,體現(xiàn)在學(xué)生對課程評價滿意度和課程對數(shù)學(xué)建模競賽的指導(dǎo)2方面。結(jié)合每學(xué)期期末學(xué)生對課程建設(shè)反饋意見的調(diào)查和授課實踐,今后的課程建設(shè)還有需要提升的空間,具體體現(xiàn)在分層次教學(xué)、整合和優(yōu)化課程資源、計算機軟件的應(yīng)用和編程3個方面。數(shù)學(xué)建模以數(shù)學(xué)作工具與外界世界聯(lián)系起來,用數(shù)學(xué)解決實際問題,將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實踐的能力與學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)。在今后的課程教學(xué)中可以考慮根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的差異實行分層次教學(xué)。依照教學(xué)大綱,《數(shù)學(xué)建?！氛n程只有54學(xué)時,而在54課時中完成實際教學(xué)內(nèi)容達到預(yù)期教學(xué)目標(biāo),就必須對課程各部分資源進行調(diào)整、重組與優(yōu)化。計算機技術(shù)的實現(xiàn)為數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容和方法帶來新啟示,各種計算機軟件和編程對于模型求解、算法實現(xiàn)等方面起到了關(guān)鍵作用,同時對教學(xué)也提出新的挑戰(zhàn)。