毛國(guó)成，陳曉斌, 2，王晅, 3，李揚(yáng)波

?

基于非線性泊松比修正的鄧肯?張-模型及應(yīng)用研究

毛國(guó)成1，陳曉斌1, 2，王晅1, 3，李揚(yáng)波1

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075； 2. 重載鐵路工程結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410075； 3. 高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

針對(duì)鄧肯-張模型在低應(yīng)力狀態(tài)下粗顆粒土體變特性描述不足的問題，分析高速鐵路B組粗顆粒土填料大型三軸試驗(yàn)得到軸向應(yīng)變與橫向應(yīng)變的變化特征，提出基于二次函數(shù)的非線性泊松比公式。將非線性泊松比代替鄧肯-張Eν模型切線泊松比，建立基于非線性泊松比修正的鄧肯-張模型。采用中點(diǎn)增量法和Abaqus二次開發(fā)平臺(tái)，編寫修正鄧肯-張模型的用戶子程序(UMAT)。通過粗粒土三軸試驗(yàn)的數(shù)值模擬，對(duì)修正鄧肯-張模型程序的可行性進(jìn)行應(yīng)用研究。研究結(jié)果表明：基于非線性泊松比修正的鄧肯-張模型的軸向應(yīng)變-體積應(yīng)變計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果一致，可真實(shí)反映粗粒土填料的軸向應(yīng)變-體積應(yīng)變趨勢(shì)。

粗粒土；高鐵路基填料；非線性泊松比；鄧肯-張模型

我國(guó)通行規(guī)范中使用的B組高速鐵路路基填料粒徑大于20 mm顆粒的質(zhì)量超過了50%，屬于粗顆粒土范疇。由于其大顆粒材料占主要成分，受荷時(shí)顆粒間運(yùn)動(dòng)十分復(fù)雜，粗粒土填料往往伴隨著剪脹和剪縮現(xiàn)象[1?2]，其豎向應(yīng)變與橫向變形之間的關(guān)系表現(xiàn)與細(xì)顆粒的黏性土差別較大，很有必要進(jìn)行專門研究。近些年，許多學(xué)者對(duì)粗粒土變形特性開展了試驗(yàn)研究和本構(gòu)模型開發(fā)。例如在粗粒土物理性質(zhì)研究方面，石熊等[3?4]對(duì)粗粒土的強(qiáng)度和變形特征進(jìn)行試驗(yàn)，研究了不同粗粒含量、不同圍壓對(duì)粗粒土強(qiáng)度和變形指標(biāo)的影響。在本構(gòu)模型方面，大多數(shù)都使用了一些適當(dāng)簡(jiǎn)化的彈塑性本構(gòu)模型，也有一些復(fù)雜的彈塑性?黏彈塑性本構(gòu)模型出現(xiàn)，比如孫海忠等[5]研究了顆粒破碎對(duì)硬化準(zhǔn)則和剪脹性的影響，建立了考慮顆粒破碎的粗粒土臨界狀態(tài)彈塑性本構(gòu)模型。KONG等[6]研究了粗粒土初始特性，提出了考慮顆粒破碎的雙曲面彈塑性模型。Kan等[7]基于高壓縮顆粒材料提出了邊界面模型。通常，復(fù)雜的本構(gòu)模型具有較多的模型參數(shù)，并且模型參數(shù)的確定并不容易，所以在工程應(yīng)用層面帶來了困難。于是，人們又開始重視適度簡(jiǎn)化的本構(gòu)模型的應(yīng)用價(jià)值。其中鄧肯?張-模型由于參數(shù)少、物理意義明確，而且參數(shù)易通過試驗(yàn)獲取，成為具有較高應(yīng)用價(jià)值的本構(gòu)模型之一。面對(duì)復(fù)雜的土體變形特性，針對(duì)鄧肯?張模型存在的不足，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)不同情況提出了修正鄧肯?張模型。2013年以來，部分代表性的修正模型見表1所示。由于粗粒土級(jí)配組成與細(xì)粒土具有明顯差別，許多研究[2?3]認(rèn)為粗粒土的變形機(jī)理與特性也存在不同。當(dāng)鄧肯?張本構(gòu)模型運(yùn)用到粗粒土填料時(shí)，石熊 等[3?4]發(fā)現(xiàn)鄧肯?張能較好模擬粗粒土強(qiáng)度特性，卻不能較好地反映粗粒土填料體變特性與泊松比的變化。徐晗等[8]認(rèn)為鄧肯?張模型能較好地反映堆石壩粗粒土的加載應(yīng)力路徑，而模擬卸載應(yīng)力路徑時(shí)候有明顯差異，導(dǎo)致了變形描述誤差；石熊等[3?4]研究發(fā)現(xiàn)鄧肯?張-模型并不能很好地反映粗粒土的體變特性，指出縱向變形與橫向變形不遵循線性規(guī)律。文獻(xiàn)調(diào)查表明，鄧肯?張-模型具有較高工程應(yīng)用價(jià)值，但是其不能精確描述粗顆粒土的縱向變形與橫向變形。高速鐵路路基填料屬于粗粒土范疇，為適應(yīng)高速鐵路路基應(yīng)力應(yīng)變及體變計(jì)算分析的需要，有必要針對(duì)鐵路路基粗粒土填料本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行進(jìn)一步研究。針對(duì)鄧肯?張-模型在描述粗顆粒土的縱向變形與橫向變形的不足，本文基于大型三軸試驗(yàn)，分析了鄧肯?張-模型的適應(yīng)性?；诜治?，提出能反映粗粒土填料軸向應(yīng)變與側(cè)向應(yīng)變的函數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)出切線泊松比公式。以此對(duì)鄧肯?張-模型進(jìn)行修正，通過試驗(yàn)實(shí)例論證其可行性。接著，利用Fortran語言，在大型通用有限元軟件ABAQUS的二次開發(fā)平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了基于非線性泊松比修正的鄧肯?張-模型，并進(jìn)行應(yīng)用分析。研究成果寄希望有助于加深高速鐵路路基變形的理解和提高變形計(jì)算精度。

表1 近期部分修正的鄧肯-張模型

1 鄧肯?張模型νt適用性分析

為研究高速鐵路路基B組粗顆粒土路基填料強(qiáng)度、變形特性，采用大型三軸剪切儀試樣進(jìn)行三軸剪切試驗(yàn)。試驗(yàn)方法、試驗(yàn)材料描述及主要試驗(yàn)成果見文獻(xiàn)[4]。

1.1 變形特性分析

B組高速鐵路路基填料系列試驗(yàn)均表現(xiàn)出一致規(guī)律。為了分析其應(yīng)變特性，選擇2個(gè)土樣的軸向應(yīng)變?體積應(yīng)變關(guān)系曲線。圖1為2個(gè)典型土樣的體積應(yīng)變ε與軸向應(yīng)變1之間的關(guān)系。

(a) 試樣1；(b) 試樣2

圖1顯示固結(jié)排水三軸剪切實(shí)驗(yàn)中，B組高速鐵路路基粗顆粒土填料體積應(yīng)變與軸向應(yīng)變表現(xiàn)為非線性關(guān)系。實(shí)驗(yàn)土樣1和土樣2均表現(xiàn)出了同樣的規(guī)律，實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)的體積應(yīng)變隨著軸向應(yīng)變明顯分為3個(gè)階段：首先體積應(yīng)變隨著軸向應(yīng)變?cè)龃蠖焖僭黾?，然后體積應(yīng)變隨著軸向應(yīng)變?cè)龃蟮乃俾蕼p小，最后到一定階段后趨于穩(wěn)定，之后體積應(yīng)變隨著軸向應(yīng)變?cè)龃蟛辉僭黾印?/p>

1.2 E-ν模型切線泊松比適用性分析

鄧肯?張-模型[14]屬于非線性彈性模型中的切線模型，該模型的模型參數(shù)t和t隨著應(yīng)力水平的變化而變化。其中，鄧肯?張模型中切線泊松比ν以假定軸向應(yīng)變1與側(cè)向應(yīng)變?3存在雙曲線關(guān)系為前提推導(dǎo)得出，其泊松比(?3/1)線性隱式關(guān)系可以寫成：

式中：為材料初始泊松比；為?3/1與?3關(guān)系擬合直線的斜率。鄧肯?張-模型切線泊松比t的計(jì)算公式為：

式中：為應(yīng)力水平。其計(jì)算公式為：

式中：為黏聚力；為內(nèi)摩擦角；1?3為主應(yīng)力差；3為圍壓；P為大氣壓強(qiáng)；R，，，，和為鄧肯?張模型材料參數(shù)。

基于試驗(yàn)成果，將高速鐵路路基B組粗顆粒土填料的模型泊松比與實(shí)測(cè)泊松比進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見圖2。

由圖2可見，2個(gè)B組填料的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表現(xiàn)出同樣的變化規(guī)律，實(shí)驗(yàn)得到的泊松比與軸向應(yīng)變之前存在明顯的非線性關(guān)系。具體表現(xiàn)為：在軸向應(yīng)變較低時(shí)，泊松比試驗(yàn)值快速增大；隨著軸向應(yīng)變?cè)黾?2%~4%)，泊松比增加速度變緩慢；當(dāng)隨著軸向應(yīng)變?cè)黾拥侥骋凰?比如大于2%)，泊松比增加速率趨于平緩。另外值得注意的是，在同一軸向應(yīng)變水平下，隨著圍壓增大?3/1值變小。相比較而言，-模型切線泊松比的模型值隨著軸向應(yīng)變關(guān)系是線性關(guān)系，表現(xiàn)為泊松比的模型值隨著軸向應(yīng)變?cè)黾映尸F(xiàn)線性增加。在同一軸向應(yīng)變水平下，圍壓增加，會(huì)導(dǎo)致泊松比的模型值減小。

圖2中泊松比實(shí)驗(yàn)值與模型值對(duì)比結(jié)果顯示擬合直線與試驗(yàn)值相差甚遠(yuǎn)，說明公式(2)不能真實(shí)反映粗粒土填料體變特性。由此說明，-模型中關(guān)于軸向應(yīng)變1與側(cè)向應(yīng)變?3的雙曲關(guān)系假定和-模型在路基B組粗顆粒土路基填料中會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。鄧肯?張模型在反映粗粒土橫向變形與豎向變形關(guān)系上精度不足。產(chǎn)生誤差的原因在于：1) 粗粒土填料組成與黏土差別較大，粗粒土填料中顆粒大小差別大，黏土顆粒大小較均勻，使得建立于黏土試驗(yàn)結(jié)果的鄧肯?張模型并不能很好的反映粗粒土填料特性；2) 由于粗粒土填料大顆粒在受力情況下咬合情況復(fù)雜，使得其體積變形機(jī)理異常發(fā)生；3) 部分粗粒土填料大顆粒的破碎，改變了細(xì)粒土常有的體積變形規(guī)律。

(a) 試樣1；(b) 試樣2

2 非線性泊松比修正的E-ν模型

2.1 非線性泊松比公式

針對(duì)上述問題，提出采用二次函數(shù)關(guān)系擬合軸向應(yīng)變與側(cè)向應(yīng)變，二次函數(shù)為：

基于試驗(yàn)結(jié)果，采用提出的二次函數(shù)和最小二乘法，通過擬合2個(gè)B組填料的實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到了非線性泊松比公式的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，擬合結(jié)果見圖3所示。

圖3顯示所采用的二次函數(shù)高度擬合了2個(gè)B組填料的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，各圍壓下擬合系數(shù)均大于0.999，能較好地?cái)M合試驗(yàn)側(cè)向應(yīng)變與軸向應(yīng)變 關(guān)系。

通過擬合確定了二次函數(shù)的參數(shù)，從表2可知：參數(shù)，和值隨圍壓變化不大，取平均值。在公式(4)基礎(chǔ)上，通過側(cè)向應(yīng)變3與軸向應(yīng)變1的關(guān)系式，可得出修正-模型切線泊松比表達(dá)式：

將非線性泊松比函數(shù)替換傳統(tǒng)鄧肯?張模型的切線泊松比，建立了基于非線性泊松比修正的鄧肯?張模型，以此來更好地描述B組粗顆粒土填料的變形。由此可見修正鄧肯?張模型共有8個(gè)參數(shù)，包括：，，R，，，，和。

2.2 修正E-ν模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證基于非線性泊松比修正的鄧肯?張模型，選用已經(jīng)發(fā)表的試驗(yàn)成果來驗(yàn)證案例(見文獻(xiàn)[14])?；谖墨I(xiàn)[14]中承德中密砂的三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，首先確定修正的模型參數(shù)：=2.807，=0.012，=0.016。然后，將非線性泊松比修正的鄧肯?張模型理論值與試驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見圖4所示。

由圖4可看出：非線性泊松比修正的鄧肯?張模型體積應(yīng)變和泊松比理論值與試驗(yàn)值吻合，說明了非線性泊松比修正的模型合理性。該修正模型既能較好地描述中密砂粗粒土的體積應(yīng)變，也能很好描述縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變的關(guān)系。

(a) 土樣1；(b) 土樣2；(c) 土樣3；(d) 土樣4

表2 非線性泊松比公式的實(shí)驗(yàn)參數(shù)

(a) 體應(yīng)變；(b) 泊松比

3 修正的E-ν模型應(yīng)用分析

3.1 計(jì)算模型實(shí)現(xiàn)

利用ABAQUS二次開發(fā)平臺(tái)，采用FORTRAN語言編寫修正鄧肯?張模型實(shí)施程序。編程過程中，考慮本文推導(dǎo)非線性泊松比代替-模型切線泊松比，將應(yīng)力修正為以壓為正。采用計(jì)算速度快、精度高的中點(diǎn)增量法進(jìn)行應(yīng)力積分，主要由UMAT子程序?qū)崿F(xiàn)，其流程如圖5所示。

UMAT子程序主要計(jì)算步驟描述如下：

1) 根據(jù)增量步初始應(yīng)力狀態(tài)，計(jì)算確定切線變形模量t，計(jì)算非線性泊松比νt，由此形成初始剛度矩陣[({0,0})]；

2) 傳入子程序的應(yīng)變?cè)隽縶?}計(jì)算出第一次試算應(yīng)力增量{?1}=[({0,0})]{?}；

5) 更新應(yīng)力分量{}={0}+{?}和應(yīng)變分量{}={0}+{?}，賦值給雅克比矩陣DDSDDE。

圖5 UMAT開發(fā)流程圖

3.2 應(yīng)用分析

修正鄧肯?張本構(gòu)模型實(shí)現(xiàn)程序編寫完成后，用來模擬B組粗顆粒土填料大型三軸試驗(yàn)，并將模擬計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。ABAQUS三維物理模型中，B組粗顆粒土填料大型三軸試驗(yàn)土樣尺寸為：高度為600 mm，直徑為300 mm。計(jì)算單元采用三維應(yīng)力八節(jié)點(diǎn)單元(C3D8)，模型網(wǎng)格共劃分為12 800實(shí)體單元，節(jié)點(diǎn)數(shù)為13 161，模型網(wǎng)格如圖6所示。

圖6 計(jì)算模型網(wǎng)格劃分

土體本構(gòu)模型分別采用非線性泊松比修正的鄧肯?張-模型和鄧肯?張模型，數(shù)值計(jì)算模型參數(shù)見表3。計(jì)算模型中的邊界條件為：底面約束方向位移，固定底面中心點(diǎn)，方向位移。

加載方式為：位移加載，模擬100，200，300和400 kPa下的三軸加載。大型三軸試驗(yàn)的數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果(鄧肯?張模型、非線性泊松比修正的鄧肯?張模型)與試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，見圖7所示。

(a) 軸向應(yīng)變?偏應(yīng)力(鄧肯?張模型)；(b) 軸向應(yīng)變?偏應(yīng)力(修正鄧肯?張模型)；(c) 軸向應(yīng)變?體積應(yīng)變(鄧肯?張模型)；(d) 軸向應(yīng)變?體積應(yīng)變(修正鄧肯?張模型)

圖7(a)對(duì)比結(jié)果表明：修正的鄧肯?張和鄧肯?張模型軸向應(yīng)變?偏應(yīng)力計(jì)算結(jié)果均與試驗(yàn)實(shí)測(cè)值高度吻合，鄧肯?張模型與修正鄧肯?張模型均能較好地反映粗粒土的偏應(yīng)力?軸向應(yīng)變變化特性。

圖7(b)結(jié)果顯示傳統(tǒng)的鄧肯?張模型軸向應(yīng)變?體積應(yīng)變計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果距較大，表現(xiàn)為傳統(tǒng)的鄧肯?張模型體積應(yīng)變計(jì)算結(jié)果隨著軸向應(yīng)變?cè)龃蠖恢痹龃?，而?shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)的體積應(yīng)變表現(xiàn)為體積應(yīng)變計(jì)算結(jié)果隨著軸向應(yīng)變?cè)龃蟮揭欢A段后趨于穩(wěn)定，之后不再增加。基于非線性泊松比修正的鄧肯?張模型軸向應(yīng)變?體積應(yīng)變計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果一致，真實(shí)反映了粗粒土填料的軸向應(yīng)變?體積應(yīng)變趨勢(shì)。主要原因在于非線性泊松比正確描述了軸向應(yīng)變?chǔ)?與側(cè)向應(yīng)變?ε3間的變化關(guān)系，因此修正鄧肯?張模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)值更接近。

4 結(jié)論

1) 基于B組填料體積應(yīng)變?與軸向應(yīng)變特征，提出其軸向應(yīng)變與側(cè)向應(yīng)變的二次關(guān)系，建立了非線性泊松比函數(shù)，并采用已有實(shí)驗(yàn)成果論證了其合理性。

2) 將非線性泊松比函數(shù)替換傳統(tǒng)鄧肯?張模型的切線泊松比，建立了基于非線性泊松比修正的鄧肯?張模型?；谥悬c(diǎn)增量法，編寫了修正鄧肯?張模型的用戶子程序(UMAT)，使其在Abaqus平臺(tái)上得以實(shí)現(xiàn)。

3) 應(yīng)用結(jié)果表明，改進(jìn)模型能合理地描述粗顆粒土填料的體積應(yīng)變特性，研究成果寄希望有助于加深高速鐵路路基變形的理解和提高變形計(jì)算 精度。

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Modified Duncan-Changconstitutive model using non-linear Poisson's ratio and its application analysis

MAO Guocheng1, CHEN Xiaobin1, 2, WANG Xuan1, 3, LI Yangbo1

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 2. Ministry of Education Key Engineering Laboratory for Heavy-haul, Changsha 410075, China;3. National Engineering Laboratory for Construction Technology of High Speed Railway, Changsha 410075, China)

This study aims to modify the insufficiency on Duncan-Chang-model when it is used to predict the volumetric strain of coarse-grained soil under lower stress conditions. The characteristics of axial strain and transverse strain obtained from large-scale triaxial tests on coarse-grained soil filler of Group B in high-speed railway embankment were analyzed. A non-linear Poisson’s ratio formula was proposed based on quadratic function. The non-linear Poisson ratio was used to replace the Duncan--model tangent Poisson's ratio to establish a modified Duncan-Chang-constitutive model. A user subroutine (UMAT) for the modified Duncan-Chang-constitutive model was developed using the midpoint increment method. The user subroutine (UMAT) can be used in Abaqus. Finally, through the numerical simulation of the triaxial test of coarse-grained soil, the feasibility of modified Duncan-Chang-constitutive model is studied. The application results show that the calculated axial strain-volumetric strain of modified Duncan-Chang model is in good agreement with the experimental results, which truly reflects the axial strain-volume strain trend of coarse-grained soil filler.

coarse-grained soil; B group fillings; non-linear Poisson’s ratio; Duncan-Chang model

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.01.010

TU 443

A

1672 ? 7029(2019)01 ? 0071 ? 08

2018?01?13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51678575)；中國(guó)鐵路總公司科技研究開發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2016G003-B)

陳曉斌(1978?)，男，江西贛州人，教授，博士，從事交通巖土工程領(lǐng)域粗顆粒土工程性質(zhì)研究；E?mail：chen_xiaobin@csu.edu.cn

(編輯 涂鵬)