彭培火，陳立明，王偉，何凡

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吊弦振動(dòng)頻率及幅度對疲勞壽命的影響分析

彭培火1，陳立明2，王偉2，何凡1

(1. 北京建筑大學(xué) 理學(xué)院力學(xué)系，北京 102612；2. 中國鐵道科學(xué)研究院標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量研究所，北京 100015)

推導(dǎo)吊弦的振動(dòng)方程，用數(shù)值方法求解振動(dòng)方程，模擬位移，橫截面作用力和彎矩的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律。根據(jù)吊弦的應(yīng)力時(shí)程、利用MATLAB數(shù)值計(jì)算程序分析影響吊弦疲勞壽命的因素(如振幅和頻率)。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：吊弦疲勞壽命的對數(shù)值隨著頻率和振幅的增加呈現(xiàn)出線性降低的趨勢。

吊弦；振動(dòng)方程；有限差分法；應(yīng)力時(shí)程；疲勞特征

接觸網(wǎng)是電氣化鐵路牽引供電系統(tǒng)的重要組成部分。吊弦是整個(gè)接觸網(wǎng)的“支架”，是接觸線、承力索之間振動(dòng)和力的傳遞者，是供電接觸網(wǎng)安全運(yùn)營的關(guān)鍵零部件。在高速鐵路實(shí)際運(yùn)營中，由于隨機(jī)風(fēng)場的作用，或受電弓在運(yùn)行中產(chǎn)生強(qiáng)烈振動(dòng)，或高鐵列車頂部的垂向位移激擾等，會(huì)引起吊弦的強(qiáng)烈振動(dòng)。作用在吊弦上的循環(huán)應(yīng)力極易引起疲勞破壞，發(fā)生吊弦斷股或斷裂的現(xiàn)象。如：2003年2月9日，京廣線許昌—孟廟段接觸網(wǎng)在暴風(fēng)雪作用下，劇烈振動(dòng)，吊弦折斷211根[1]。吊弦一旦發(fā)生斷裂，將直接導(dǎo)致列車運(yùn)行故障。因此，對吊弦等接觸網(wǎng)零部件的疲勞特性的研究具有十分重要的意義。在供電接觸網(wǎng)系統(tǒng)的疲勞特征研究方面，諸多學(xué)者進(jìn)行大量的工作。王曉陽等[2]利用ANSYS有限元軟件，采用直接積分法對弓網(wǎng)耦合系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，得到接觸線的應(yīng)力時(shí)程，通過簡化方法估算獲得材料曲線，最終運(yùn)用線性累積損傷理論對接觸線的疲勞壽命進(jìn)行研究。畢繼紅等[3?4]采用雨流計(jì)數(shù)法及Miner線性疲勞累積損傷理論計(jì)算得到接觸線各單元的疲勞壽命，對跨距、接觸線和承力索預(yù)張力、截面面積、列車行駛速度、抬升力、干摩擦等因素對接觸線疲勞壽命的影響進(jìn)行研究。宋洋等[5]采用Davenport和Panosfsky功率譜對作用在接觸網(wǎng)上的隨機(jī)脈動(dòng)風(fēng)時(shí)程進(jìn)行模擬，推導(dǎo)了作用在接觸網(wǎng)上的氣動(dòng)力，對隨機(jī)風(fēng)場下高速鐵路接觸線風(fēng)振疲勞進(jìn)行研究。在實(shí)際運(yùn)營過程中，接觸網(wǎng)承受著不同振幅和頻率的交變載荷。如隨機(jī)風(fēng)載荷的脈動(dòng)頻率變化，或風(fēng)速的大小引起吊弦振動(dòng)幅度變化，或列車的運(yùn)行速度變化對接觸網(wǎng)的干擾更加頻繁，或在受電弓的抬升作用下，接觸線的抬升量導(dǎo)致不同的振動(dòng)幅度等，吊弦在這些因素的影響下，都可能表現(xiàn)出不同的疲勞特性。本文研究吊弦的振動(dòng)幅度、振動(dòng)頻率對吊弦疲勞壽命的影響。首先將吊弦簡化成在軸力、剪力與彎矩綜合作用下的組合變形構(gòu)件，推導(dǎo)吊弦振動(dòng)的微分方程組；其次采用數(shù)值求解的方法，將微分方程轉(zhuǎn)化成差分方程，并利用MATLAB軟件，編寫求解吊弦各個(gè)單元的應(yīng)力時(shí)程的代碼以及彎矩、軸力、截面應(yīng)力的可視化程序；然后基于巴斯坎(Basquin)方程得出的雙對數(shù)曲線圖和Palmgren–Miner線性疲勞累積損傷準(zhǔn)則，利用由MATLAB編寫的疲勞壽命計(jì)算程序，通過改變數(shù)值計(jì)算的參數(shù)，對數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析比較，研究以上因素對吊弦的疲勞行為的影響。

1 吊弦動(dòng)應(yīng)力計(jì)算

在高鐵列車供電弓網(wǎng)系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)營過程中，當(dāng)接觸網(wǎng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，吊弦承受由接觸線恒定負(fù)載引起的拉伸載荷，吊弦處于拉伸狀態(tài)；當(dāng)列車通過時(shí)，在受電弓的抬升作用下吊弦處于松弛狀態(tài)；列車通過后，在接觸線恒定負(fù)載的作用下吊弦回到拉伸狀態(tài)。每一次受電弓通過，吊弦完成一次周期振動(dòng)。可以將吊弦在實(shí)際工況下的振動(dòng)等效為在吊弦與承力索連接點(diǎn)的簡諧振動(dòng)激勵(lì)下引起的受迫振動(dòng)，在吊弦的下端作用有一個(gè)由于接觸線重量產(chǎn)生的豎直向下的恒定的作用力(如圖1 所示)[6]。

圖1 吊弦疲勞原理

1.1 吊弦振動(dòng)方程的推導(dǎo)

為了計(jì)算吊弦在上述等效實(shí)驗(yàn)工況下的應(yīng)力狀態(tài)，從其中取一段吊弦微元進(jìn)行受力分析，如圖2所示。

圖2 吊弦微元段受力分析

為計(jì)算上的簡化和方便，引用以下無量綱 變量：

其中：表示吊弦的總長度；表示吊弦的密度；v表示方向的運(yùn)動(dòng)速度；v表示方向的運(yùn)動(dòng)速度；表示重力加速度；為彎矩；為抗彎剛度；為吊弦的彈性模量；為吊弦的橫截面積；為弧長坐標(biāo)；為吊弦微元段與軸之間的夾角；f和f分別為吊弦上的作用力沿方向和方向的分量，正負(fù)號約定如圖2中所示。

根據(jù)吊弦微元段的受力和運(yùn)動(dòng)，可以得到如下的方程組：

初始條件可以表示為：

邊界條件可以表示為：

1.2 數(shù)值求解方法

方程組(1)為一組非線性偏微分方程，本文通過數(shù)值方法將微分方程轉(zhuǎn)換為差分方程，利用MATLAB編寫代碼求解差分方程組，最后求得吊弦運(yùn)動(dòng)的數(shù)值解。

1.3 計(jì)算參數(shù)

針對吊弦實(shí)際使用的銅絞線，在WDW?100型微機(jī)控制電子萬能材料試驗(yàn)機(jī)上，利用電子引伸計(jì)測試軸向變形，進(jìn)行彈性模量的測試實(shí)驗(yàn)(如圖3所示)，測得其彈性模量為83.29 GPa。由于銅絞線是由多根銅絲絞合構(gòu)成的，其彎曲剛度并不能簡單地等同于彈性模量乘以橫截面的慣性矩。早在1997年，Costello[7]就研究了絞線的宏觀力學(xué)行為，并推導(dǎo)了絞線彎曲剛度的計(jì)算公式。XING 等[8]利用ABAQUS建立的絞線有限元模型研究絞線的彎曲行為，得到不同螺旋角下絞線的等效抗彎剛度，計(jì)算結(jié)果與Costello模型接近。本文中吊弦的抗彎剛度參數(shù)基于Costello模型計(jì)算得出。由于吊弦振動(dòng)過程中，截面應(yīng)力主要由拉伸引起(通過比較考慮彎曲應(yīng)力和不計(jì)入彎曲應(yīng)力兩者之間的差別，可以發(fā)現(xiàn)彎曲應(yīng)力的影響可以忽略)。銅絞線的彈性模量是利用萬能材料試驗(yàn)機(jī)和電子引伸計(jì)直接測量得到的，可以保證抗拉剛度的計(jì)算參數(shù)是精確的。數(shù)值計(jì)算中各參數(shù)的具體取值如表1所示。

為了分析激勵(lì)頻率及振幅對吊弦截面應(yīng)力的影響，利用MATLAB編寫了可視化程序，對吊弦振動(dòng)過程中的彎矩、軸力和截面應(yīng)力等實(shí)施動(dòng)態(tài)顯示，可視化界面如圖4~5所示。

圖3 測試銅絞線的彈性模量

表1 數(shù)值計(jì)算中所采用的吊弦參數(shù)

圖4 吊弦動(dòng)態(tài)振動(dòng)過程、彎矩圖與軸力圖

圖5 吊弦動(dòng)態(tài)振動(dòng)過程、截面應(yīng)力的變化過程

圖6 吊弦截面應(yīng)力隨時(shí)間的變化過程

從圖6可以看出，驅(qū)動(dòng)點(diǎn)按簡諧振動(dòng)方程振動(dòng)，隨著驅(qū)動(dòng)點(diǎn)上抬，吊弦線被拉緊，應(yīng)力發(fā)生減幅波動(dòng)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)，吊弦開始松弛彎曲，瞬時(shí)受到較大的沖擊壓應(yīng)力，隨之便迅速減小。在將吊弦拉直之前，其截面應(yīng)力一直保持較小的壓應(yīng)力。在驅(qū)動(dòng)點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)的過程中，在將吊弦拉直的瞬時(shí)，吊弦受到非常大的沖擊應(yīng)力，此時(shí)的拉應(yīng)力數(shù)值為整個(gè)振動(dòng)過程中的最大拉應(yīng)力。在隨后的振動(dòng)過程中，驅(qū)動(dòng)點(diǎn)按簡諧振動(dòng)往復(fù)循環(huán)運(yùn)動(dòng)，吊弦的截面應(yīng)力基本也保持這樣的規(guī)律按相同的周期循環(huán)變化。

1.4 數(shù)值結(jié)果分析

1.4.1 振動(dòng)頻率對吊弦截面應(yīng)力的影響

通過將振幅固定為0.035 m，作用力固定為100 N，改變振動(dòng)頻率進(jìn)行計(jì)算分別得到吊弦截面在不同激勵(lì)頻率下的應(yīng)力時(shí)程。統(tǒng)計(jì)在各個(gè)頻率下的最大和最小截面應(yīng)力(如圖7所示)，可以看到，當(dāng)頻率小于2.4 Hz時(shí)，最大截面應(yīng)力隨頻率的增大而增大，最小截面應(yīng)力隨頻率的增大而減小，二者都基本呈線性變化。當(dāng)激勵(lì)頻率大于2.4 Hz之后，應(yīng)力與頻率的關(guān)系變得復(fù)雜。通過對吊弦振動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)這是由于吊弦下端質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)幅度變得非常大，從而導(dǎo)致吊弦由彎曲松弛變?yōu)槔睆埦o的瞬時(shí)并不是發(fā)生在驅(qū)動(dòng)點(diǎn)過原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)吊弦下端質(zhì)量與驅(qū)動(dòng)點(diǎn)之間的相對速度與頻率的關(guān)系較為復(fù)雜，而瞬時(shí)沖擊力與該相對速度是密切相關(guān)的，于是最大應(yīng)力與頻率之間不再呈現(xiàn)簡潔的線性關(guān)系。

圖7 吊弦截面的最大、最小應(yīng)力與激勵(lì)頻率的關(guān)系

圖8 吊弦截面的最大、最小應(yīng)力與振幅的關(guān)系

1.4.2 振幅對吊弦截面應(yīng)力的影響

將作用力固定為200 N，激勵(lì)頻率固定為1 Hz，通過改變振幅分別進(jìn)行計(jì)算得到吊弦在不同振幅下的應(yīng)力時(shí)程。統(tǒng)計(jì)在各個(gè)振幅下的最大和最小截面應(yīng)力如圖8所示。為了定量分析應(yīng)力與振幅之間的線性相關(guān)性，分別計(jì)算振幅與最大截面應(yīng)力之間的線性相關(guān)系數(shù)1=0.989 8≈1，振幅和最小截面應(yīng)力之間的線性相關(guān)系數(shù)2=?0.969 2≈?1。從計(jì)算結(jié)果可以看到，最大和最小截面應(yīng)力均與振幅呈非常好的線性關(guān)系，最大截面應(yīng)力隨振幅的增大而線性增大，最小截面應(yīng)力隨振幅的增大而線性減小。

2 吊弦疲勞壽命分析

2.1 振動(dòng)頻率對疲勞壽命的影響

計(jì)算當(dāng)振幅和作用力固定(振幅為0.035 m，作用力為100 N)，加載頻率變化時(shí)吊弦截面的應(yīng)力時(shí)程曲線。根據(jù)以上各個(gè)加載頻率下吊弦截面的應(yīng)力時(shí)程曲線，可以計(jì)算出吊弦的疲勞壽命，計(jì)算結(jié)果如圖9所示。由于疲勞壽命的跨度較大，縱坐標(biāo)采用對數(shù)表示。從圖9可以看出，當(dāng)頻率小于2.4 Hz時(shí)，吊弦疲勞壽命的對數(shù)值log與激勵(lì)頻率之間保持較好的線性關(guān)系，隨著頻率的增大而降低。當(dāng)頻率大于2.4 Hz時(shí)，由于前述原因，疲勞壽命也出現(xiàn)了一定的波動(dòng)，其對數(shù)值也不再簡單地線性 降低。

2.2 振幅對疲勞壽命的影響

根據(jù)當(dāng)加載頻率和作用力固定，各不同振幅下的應(yīng)力時(shí)程曲線，可以計(jì)算出吊弦的疲勞壽命，計(jì)算結(jié)果如圖10所示。從圖10可以看出，吊弦疲勞壽命的對數(shù)值log與振幅基本呈線性關(guān)系，隨著振幅的增大而線性降低。

圖9 吊弦疲勞壽命隨加載頻率的變化規(guī)律

圖10 吊弦疲勞壽命隨振幅的變化規(guī)律

3 結(jié)論

1) 吊弦截面的最大應(yīng)力出現(xiàn)在吊弦由彎曲松弛變?yōu)槔睆埦o的瞬時(shí)，且隨著振動(dòng)頻率和振幅的增加而線性增加。最小應(yīng)力出現(xiàn)在緊隨最大應(yīng)力之后，吊弦下端的質(zhì)量由于慣性向上急劇上升引起吊弦壓縮的瞬時(shí)。最小應(yīng)力隨著振動(dòng)頻率、振幅的增加而線性減小。

2) 當(dāng)振動(dòng)頻率較小時(shí)，吊弦疲勞壽命的對數(shù)值基本與振動(dòng)頻率呈線性關(guān)系；當(dāng)振動(dòng)頻率較大時(shí)，吊弦疲勞壽命不再隨頻率的增加而線性降低，而是出現(xiàn)上下波動(dòng)。這與頻率較大時(shí)吊弦的應(yīng)力時(shí)程的變化密切相關(guān)。

3) 從數(shù)值模擬的結(jié)果上看，吊弦疲勞壽命的對數(shù)值與振動(dòng)幅度呈較好的線性相關(guān)性，隨著振動(dòng)幅度的增加而線性降低。

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The effect of frequency and amplitude of dropper on its fatigue life

PENG Peihuo1, CHEN Liming2, WANG Wei2, HE Fan1

(1. Department of Mechanics, School of Science, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 102612, China; 2. Standards & Metrology Research Institute, China Academy of Railway Sciences, Beijing 100015, China)

First, the vibration equation of dropper was derived. Then the dynamic change laws of displacement, cross-sectional force and bending moment were simulated by solving vibration equation with numerical method. According to the stress-time curve, the factors affecting the fatigue life of dropper (such as amplitude, frequency) were analyzed by using the MATLAB code. The results of numerical calculation show that the logarithm of the fatigue life decreases linearly with the increase of frequency and amplitude.

dropper; vibration equation; finite difference method; stress-time curve; fatigue characteristics

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.02.025

U225.4

A

1672 ? 7029(2019)02 ? 0471 ? 07

2018?01?08

中國鐵路總公司科技研究開發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目(2017J010-A)

何凡(1979?)，男，江西南昌人，副教授，博士，從事工程力學(xué)研究；E?mail：hefan@bucea.edu.cn

(編輯 陽麗霞)