高慧明

數(shù)學(xué)填空題在近幾年全國卷中題量一直為4題，每題5分共20分，在高考數(shù)學(xué)試卷中約占13.33%. 它和選擇題同屬客觀性試題，它們有許多共同特點：其形態(tài)短小精悍、跨度大、知識覆蓋面廣、考查目標(biāo)集中，形式靈活，答案簡短、明確、具體，評分客觀、公正、準(zhǔn)確等.

根據(jù)填空時所填寫的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類型：

一是定量型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如：方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等等.由于填空題和選擇題相比，缺少選擇支的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn).

二是定性型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對象或者填寫給定的數(shù)學(xué)對象的某種性質(zhì)，如：給定二次曲線的準(zhǔn)線方程、焦點坐標(biāo)、離心率等等.近幾年出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題.

在解答填空題時，由于不反映過程，只要求結(jié)果，所以對正確性的要求比解答題更高、更嚴(yán)格，《考試說明》中對解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”. 為此在解填空題時要做到：快——運算要快，力戒小題大做;穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急;全——答案要全，力避殘缺不齊;活——解題要活，不要生搬硬套;細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意.

高考填空題是一種只要求寫出結(jié)論，不要求解答過程的客觀性試題，有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點，突出考查準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、靈活運用知識的能力.

由于填空題不像選擇題那樣有備選提示，不像解答題那樣有步驟得分，所填結(jié)果必須準(zhǔn)確、規(guī)范，因此得分率較低，解答填空題的第一要求是“準(zhǔn)”，然后才是“快”“巧”，要合理靈活地運用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ话悴豢伞靶☆}大做”.

一、直接法

直接法就是直接從題設(shè)出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法.要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識地采取靈活、簡捷的方法解決問題.直接法是求解填空題的基本方法.

例1.（1）已知函數(shù)f（x）=log2（1-x）+1，x<1x-2，x≥1 若f（a）=3，則a=________.

（2）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，則■=________.

解析：（1）∵a≥1時，f（a）≤1，不適合. ∴f（a）=log2（1-a）+1=3，∴a=-3.

（2）由余弦定理：cos A=■=■=■，∴ sin A=■，

cos C=■=■=■，∴ sin C=■，∴■=■=1.

答案：（1）-3;（2）1.

點評：利用直接法求解填空題要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵.

相關(guān)鏈接1：（1）已知函數(shù)f（x）=■在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 ?????.

（2）已知F為雙曲線C：■-■=1的左焦點，P，Q為C上的點. 若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A（5，0）在線段PQ上，則△PQF的周長為________.

（3）已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1+a4=9，a2a3=8，則數(shù)列{an}的前n項和等于________.

解析：

（1）f（x）=■=a+■，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，g（x）=■在（-2， +∞）上為增函數(shù)，∴ 1-2a<0，∴ a>■.

（2）由題意，得|PQ|=16，線段PQ過雙曲線的右焦點，則P，Q都在雙曲線的右支上. 由雙曲線的定義，可知|PF|-|PA|=2a，|QF|-|QA|=2a，兩式相加，得|PF|+|QF|-（|PA|+|QA|）=4a，

則|PF|+|QF|=4a+|PQ|=4×3+16=28，故△PQF的周長為44.

（3）由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3=a1a4，又a2a3=8，a1+a4=9，∴ 聯(lián)立方程a1a4=8，a1+a4=9，解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1，又?jǐn)?shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴a1=1，a4=8，從而a1q3=8，∴ q=2.

∴數(shù)列{an}的前n項和為Sn=■=2n-1.

二、特例法

當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值（特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等）進(jìn)行處理，從而得出待求的結(jié)論.這樣可大大地簡化推理、論證的過程.

例2.（1）cos2α+cos2（α+120°）+cos2（α+240°）的值為________.

（2）如圖，在三棱錐O—ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經(jīng)過三條棱OA，OB，OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為________.

解析：（1）令α=0°，則原式=cos20°+cos2120°+cos2240°=■.

（2）要滿足各個截面使分得的兩個三棱錐體積相等，則需滿足與截面對應(yīng)的交點E，F(xiàn)，G分別為中點即可. 故可以將三條棱長分別取為OA=6，OB=4，OC=2，如圖，則可計算S1=3■，S2=2■，S3=■，故S3

答案：（1）■;（2）S3

點評：求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解.

相關(guān)鏈接2：（1）在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且■+■=6cos C，則■+■=________.

（2）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間[-8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=________.

答案：（1）4;（2）-8.

解析：（1）用特例法. 令銳角三角形ABC為等腰三角形，此時cos C=■. 不妨設(shè)a=b=3（如圖），作AD⊥BC垂足為D，所以CD=1，AD=2■，所以tan C=2■，tan A=tan B=■，所以■+■=4.

（2）根據(jù)函數(shù)特點取f（x）=sin■x，

再由圖像可得（x1+x2）+（x3+x4）=（-6×2）+（2×2）=-8.

（3）在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，如果a、b、c成等差數(shù)列，則■=__________.

解法一：取特殊值a=3， b=4，c=5 ，則cosA=■，cosC=0，■=■.

解法二：取特殊角A=B=C=60° ?cosA=cosC=■，■=■.

（4）如果函數(shù)f（x）=x2+bx+c對任意實數(shù)t都有f（2+t）=f（2-t），那么f（1），f（2）， f（4）的大小關(guān)系是.

解析：由于f（2+t）=f（2-t），故知f（x）的對稱軸是x=2. 可取特殊函數(shù)f（x）=（x-2）2，即可求得f（1）=1，f（2）=0，f（4）=4. ∴ f（2）

（5）已知SA，SB，SC兩兩所成角均為60°，則平面SAB與平面SAC所成的二面角的余弦值為 .

解析：取SA=SB=SC，則在正四面體S-ABC中，易得平面SAB與平面SAC所成的二面角的余弦值為■.

（6）已知m，n是直線，？琢， ？茁， ？酌是平面，給出下列命題：①若？琢⊥？酌，？茁⊥？酌，則？琢∥？茁;②若n⊥？琢，n⊥？茁，則？琢∥？茁;③若？琢內(nèi)不共線的三點到？茁的距離都相等，則？琢∥？茁;④若n？芴？琢，m？芴？琢，且n∥？茁，m∥？茁，則？琢∥？茁;⑤若m，n為異面直線，n？芴？琢，n∥？茁，m？芴？茁，m∥？琢，則？琢∥？茁. 則其中正確的命題是 .（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）

解析：依題意可取特殊模型正方體AC1（如圖），在正方體AC1中逐一判斷各命題，易得正確的命題是②⑤.

三、數(shù)形結(jié)合法

對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果. 這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形.

例3.（1）已知點P（x，y）的坐標(biāo)x，y滿足x-2y+1≥0，x-y-1≤0，則x2+y2-6x+9的取值范圍是 ????????????????????????? .

（2）已知函數(shù)f（x）=log2x，g（x）=f（x），x≥2f（4-x），x<2若關(guān)于x的方程g（x）=k有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________.

解析：（1）畫出可行域如圖，所求的x2+y2-6x+9=（x-3）2+y2是點Q（3，0）到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x-y-1=0（x≥0）的距離d的平方，∴d ■=（■）2=（■）2=2.

最大值為點Q到點A的距離的平方，∴d ?■=16. ∴取值范圍是[2，16].

（2）畫出函數(shù)y=g（x）的圖像（如圖）.

由圖知，當(dāng)函數(shù)y=g（x）和y=k的圖像有兩個交點時，k>1.

答案：（1）[2，16];（2）（1，+∞）.

點評：數(shù)形結(jié)合法可直觀快捷地得到問題的結(jié)論，充分應(yīng)用了圖形的直觀性，數(shù)中思形，以形助數(shù). 數(shù)形結(jié)合法是高考的熱點，應(yīng)用時要準(zhǔn)確把握各種數(shù)式和幾何圖形中變量之間的關(guān)系.

相關(guān)鏈接3：（1）若函數(shù)f（x）=|2x-2|-b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_______.

（2）若函數(shù)y=f（x）圖像上不同兩點M、N關(guān)于原點對稱，則稱點對[M，N]是函數(shù)y=f（x）的一對“和諧點對”（點對[M，N]與[N，M]看作同一對“和諧點對”）. 已知函數(shù)f（x）=ex，x<0x2-4x，x>0則此函數(shù)的“和諧點對”有________對.

答案：（1）（0，2）;（2）2.

解析：（1）將函數(shù)f（x）=|2x-2|-b的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|2x-2|的圖像與直線y=b的交點個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合求解. 由f（x）=|2x-2|-b=0，得|2x-2|=b. 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=|2x-2|與y=b的圖像，如圖所示. 則當(dāng)0<b<2時，兩函數(shù)圖像有兩個交點，從而函數(shù)f（x）=|2x-2|-b有兩個零點.

（2）作出f（x）=ex，x<0x2-4x，x>0的圖像，f（x）的“和諧點對”數(shù)可轉(zhuǎn)化為y=ex（x<0）和y=-x2-4x（x<0）的圖像的交點個數(shù)（如圖）.

由圖像知，函數(shù)f（x）有兩對“和諧點對”.

（3）已知向量■=（cos？茲，sin？茲），向量■=（■，-1），則|2■-■|的最大值是 ???????.

解析：因|2■|=|■|=2，故向量2■和■所對應(yīng)的點A、B都在以原點為圓心，2為半徑的圓上，從而|2■-■|的幾何意義即表示弦AB的長，故|2■-■|的最大值為4.

（4）如果不等式■>（a-1）x的解集為A，且A？哿{x│0

解析：根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)y=■和函數(shù)y=（a-1）x的圖像（如圖），從圖上容易得出實數(shù)a的取值范圍是a∈[2，+∞）.

（5）設(shè)函數(shù)f（x）=■x3+■ax2+2bx+c. 若當(dāng) x∈（0，1）時，f（x）取得極大值;x∈（1，2）時，f（x）取得極小值，則■的取值范圍是.

解析：f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由條件知，上述方程應(yīng)滿足：一根在（0，1）之間，另一根在（1，2）之間，∴f ′（1）<0，f ′（0）>0，f ′（2）>0，得a+2b+1<0，b>0，a+b+2>0，在aOb坐標(biāo)系中，作出上述區(qū)域如圖所示，而■的幾何意義是過兩點P（a，b）與A（1，2）的直線斜率，而P（a，b）在區(qū)域內(nèi)，由圖易知kPA∈（■，1）.

四、構(gòu)造法

用構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，從而簡化推導(dǎo)與運算過程. 構(gòu)造法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的，首先應(yīng)觀察題目，觀察已知（例如代數(shù)式）形式上的特點，然后積極調(diào)動思維，聯(lián)想、類比已學(xué)過的知識及各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型，深刻地了解問題及問題的背景（幾何背景、代數(shù)背景），從而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到快速解題的目的.

例4.（1）如圖，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=■，則球O的體積等于________.

（2）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f ′（x）>1，f（0）=4，則不等式f（x）>■+1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為_______.

解析：（1）如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以CD=■=2R，所以R=■，故球O的體積V=■=■π.

（2）由f（x）>■+1，得exf（x）>3+ex，構(gòu)造函數(shù)F（x）=exf（x）-ex-3，對F（x）求導(dǎo)得F′（x）=exf（x）+exf ′（x）-ex=ex[f（x）+f ′（x）-1]. 由f（x）+f ′（x）>1，ex>0，可知F′（x）>0，即F（x）在R上單調(diào)遞增，又因為F（0）=e0f（0）-e0-3=f（0）-4=0，所以F（x）>0的解集為（0，+∞）.

答案：（1）■π;（2）（0，+∞）.

點評：構(gòu)造法實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，一般通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型將問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題. 在立體幾何中，補形構(gòu)造是最為常用的解題技巧. 通過補形能將一般幾何體的有關(guān)問題在特殊的幾何體中求解，如將三棱錐補成特殊的長方體等.

相關(guān)鏈接4（1）■，■，■（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的大小關(guān)系是________.

（2）已知三個互不重合的平面α、 β、 γ， α∩β=m，n？奐γ，且直線m、 n不重合，由下列三個條件：①m∥γ，n？奐β;②m∥γ，n∥β;③m？奐γ，n∥β.

能推得m∥n的條件是________.

答案：（1）■<■<■;（2）①③.

解析：（1）由于■=■，■=■，■=■，故可構(gòu)造函數(shù)f（x）=■，于是f（4）=■，f（5）=■，f（6）=■.

而f ′（x）=（■）′=■=■，令f ′（x）>0得x<0或x>2，即函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，因此有f（4）

（2）構(gòu)建長方體模型，如圖，觀察選項特點，可優(yōu)先判斷條件②：取平面α為平面ADD′A′，平面β為平面ABCD，則直線m為直線AD.

因為m∥γ，故可取平面γ為平面A′B′C′D′，

因為n？奐γ且n∥β，故可取直線n為直線A′B′.

則直線AD與直線A′B′為異面直線，故m與n不平行.

對于①：α、β?、谥衅矫妫∑矫姒脼槠矫鍮CC′B′，可取直線n為直線BC，故可推得m∥n;

對于③：α，β?、谥衅矫?，取γ為平面AB′C′D，取直線n為直線B′C′，故可推得結(jié)論.

（3）點P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為.

解析：根據(jù)題意可將此圖補形成一正方體，在正方體中易求得PA與BD所成角為60°.

（4）橢圓■+■=1的焦點F1、F2，點P是橢圓上動點，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 .

解析：構(gòu)造圓x2+y2=5，與橢圓■+■=1聯(lián)立求得交點x02 =■？圯x0∈（-■，■）.

五、等價轉(zhuǎn)化法

通過“化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉”將問題等價轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得到正確的結(jié)果.

例5. 不等式■>ax+■的解集為（4，b），則a=_______，b=________.

解析：設(shè)■=t，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：at2-t+■<0，∴a>0，且2與■（b>4）是方程at2-t+■= 0的兩根，由此可得a=■，b=36.

相關(guān)鏈接5：不論k為何實數(shù)，直線y=kx+1與圓x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交點，則實數(shù)a的取值范圍是 .

解析：題設(shè)條件等價于點（0，1）在圓內(nèi)或圓上，或等價于點（0，1）到圓（x-a）2+y2=2a+4，∴-1≤a≤3.

六、正反互推法

多選型問題給出多個命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足條件的命題或結(jié)論. 這類問題要求較高，涉及圖形、符號和文字語言，要準(zhǔn)確閱讀題目，讀懂題意，通過推理證明，命題或結(jié)論之間互反互推，相互印證，也可舉反例判斷錯誤的命題或結(jié)論.

例6. 已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，有f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，1）時，

f（x）=log2（x+1），給出下列命題：

①f（2018）+f（-2019）的值為0;②函數(shù)f（x）在定義域上為周期是2的周期函數(shù);③直線y=x與函數(shù)f（x）的圖像有1個交點;④函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）. 其中正確的命題序號有________.

解析：根據(jù)題意，可在同一坐標(biāo)系中畫出直線y=x和函數(shù)f（x）的圖像如下：

根據(jù)圖像可知①f（2018）+f（-2019）=0正確，②函數(shù)f（x）在定義域上不是周期函數(shù)，所以②不正確，③根據(jù)圖像確實只有一個交點，所以正確，④根據(jù)圖像，函數(shù)f（x）的值域是（-1，1），正確.

答案：①③④.

點評：正反互推法適用于多選型問題，這類問題一般有兩種形式，一是給出總的已知條件，判斷多種結(jié)論的真假;二是多種知識點的匯總考查，主要覆蓋考點功能. 兩種多選題在處理上不同，前者需要扣住已知條件進(jìn)行分析，后者需要獨立利用知識逐項進(jìn)行判斷. 利用正反互推結(jié)合可以快速解決這類問題.

相關(guān)鏈接6：給出以下命題：

①雙曲線■-x2=1的漸近線方程為y=±■x;

②命題p： “？坌x∈R+，sin x+■x≥2”是真命題;

③已知線性回歸方程為■=3+2x，當(dāng)變量x增加2個單位，其預(yù)報值平均增加4個單位;

④設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξ>1）=0.2，則P（-1<ξ<0）=0.6;

⑤已知■+■=2，■+■=2，■+■=2，■+■=2，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為■+■=2（n≠4）.

則正確命題的序號為________（寫出所有正確命題的序號）.

答案：①③⑤.

解析：①由■-x2=0可以解得雙曲線的漸近線方程為y=±■x，正確.

②命題不能保證sin x，■為正，故錯誤;

③根據(jù)線性回歸方程的含義正確;

④P（ξ>1）=0.2，可得P（ξ<-1）=0.2，所以P（-1<ξ<0）=■P（-1<ξ<1）=0.3，故錯誤;

⑤根據(jù)驗證可知得到一般性的等式是正確的.

七、分析法

根據(jù)題設(shè)條件的特征進(jìn)行觀察、分析，從而得出正確的結(jié)論.

例7. 如右圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅螡M足條件 ????????????????時，有A1C⊥B1D1（填上你認(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮所有可能性的情形）.

解析：因四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，故A1C1為A1C在面A1B1C1D1上的射影，從而要使A1C⊥B1D1，只要B1D1與A1C1垂直，故底面四邊形A1B1C1D1只要滿足條件B1D1⊥A1C1即可.

相關(guān)鏈接7：以雙曲線■-y2=1的左焦點F，左準(zhǔn)線l為相應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線的橢圓截直線y=kx+3所得的弦恰好被x軸平分，則k的取值范圍是 .

解析：左焦點F為（-2，0），左準(zhǔn)線l：x=-■，因橢圓截直線y=kx+3所得的弦恰好被x軸平分，故根據(jù)橢圓的對稱性知，橢圓的中心即為直線y=kx+3與x軸的交點（-■，0），

由-■<-2，得0

減少填空題失分的七種檢驗方法：

1. 回顧檢驗

例1. 滿足條件cos？琢=-■且-？仔≤？琢≤？仔的角？琢的集合為???.

錯解：∵cos■=-■，cos■=-■，∴？琢=■或■.

檢驗：根據(jù)題意，答案中的■不滿足條件-？仔≤？琢≤？仔，應(yīng)改為-■;其次，角？琢的取值要用集合表示. 故正確答案為{■，-■}.

2. 賦值檢驗：若答案是無限的、一般性結(jié)論時，可賦予一個或幾個特殊值進(jìn)行檢驗，以避免知識性錯誤.

例2. 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=3n2+2n+1，則通項公式an= .

錯解：∵an=Sn-Sn-1=3n2+2n+1-[3·（n-1）2+2（n-1）+1]=6n-1，

∴ an=6n-1.

檢驗：取n=1時，由條件得a1=S1=6，但由結(jié)論得a1=5.

故正確答案為an=6（n=1），6n-1（n≥2）.

3. 逆代檢驗：若答案是有限的、具體的數(shù)據(jù)時，可逐一代入進(jìn)行檢驗，以避免因擴(kuò)大自變量的允許值范圍而產(chǎn)生增解致錯.

例3. 方程3z+z=1-3i的解是 ??????.

錯解：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則（3a+■）+3bi=1-3i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義得3a+■=1，3b=-3. 解得a=0，b=-1或a=■，b=-1.故z=-i或z=■-i.

檢驗：若z=-i，則原方程成立;若z=■-i，則原方程不成立.

故原方程有且只有一解z=-i.

4. 估算檢驗：當(dāng)解題過程是否等價變形難以把握時，可用估算的方法進(jìn)行檢驗，以避免忽視充要條件而產(chǎn)生邏輯性錯誤.

例4. 不等式■>1-lgx的解是 ??????.

錯解：兩邊平行得1+lgx>（1-lgx）2，即lgx（lgx-3）<0，0

檢驗：先求定義域得x≥■. 若x>1則■>1，1-lgx<1，原不等式成立;若■≤x≤1時，■≤1-lgx原不等式不成立，故正確答案為x>1.

5. 作圖檢驗：當(dāng)問題具有幾何背景時，可通過作圖進(jìn)行檢驗，以避免一些脫離事實而主觀臆斷致錯.

例5. 函數(shù)y=log2x-1的遞增區(qū)間是 ??????.

錯解：（1，+∞）.

檢驗：由y=log2（x-1）（x>1），log2（1-x）（x<1），

作圖可知正確答案為[0，1）和[2，+∞）.

6. 變法檢驗：一種方法解答之后，再用其它方法解之，看它們的結(jié)果是否一致，從而可避免方法單一造成的策略性錯誤.

例6. 若■+■=1（x，y∈R+），則x+y的最小值是 ??????.

錯解：∵1=■+■≥2■=■，■≥6，∴x+y≥2■=12.

檢驗：上述錯解在于兩次使用重要不等式，等號不可能同時取到.

換一種解法為：

∵ x+y=（x+y）（■+■）=10+■+■≥10+2■=16，

∴ x+y的最小值為16.

7. 極端檢驗：當(dāng)難以確定端點處是否成立時，可直接取其端點進(jìn)行檢驗，以避免考慮不周全的錯誤.

例7. 已知關(guān)于x的不等式（a2-4）x2+（a+2）x-1≥0的解集是空集，求實數(shù)a的取值范圍 ??????.

錯解：由△=（a+2）2+4（a2-4）<0，解得-2

檢驗：若a=-2，則原不等式為-1≥0，解集是空集，滿足題意;若a=■，則原不等式為64x2-80x+25≤0，即（8x-5）2≤0，解得x=■，不滿足題意.

故正確答案為-2≤a<■.

注：解答填空題應(yīng)方法恰當(dāng)，爭取一步到位，答題形式標(biāo)準(zhǔn)，避免丟三落四，“一知半解”.

（本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)核心概念課堂教學(xué)的反思與重構(gòu)研究”（編號：CDDB19238）階段性研究成果）

責(zé)任編輯 ??徐國堅