華興恒

對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)中的某些問(wèn)題，只要我們開(kāi)拓思路，拓展思維空間，則常?？梢詫ひ挼蕉喾N解法。因此我們要學(xué)會(huì)多中選優(yōu)，優(yōu)中選快，快中選捷，以期達(dá)到快速、簡(jiǎn)捷獲解的目的。往往利用圖像求解不失為一種既優(yōu)又快的解題方法，下面舉例分析，也許會(huì)對(duì)同學(xué)們有所啟迪。

一、根據(jù)題給圖像快速解題

【例1】（2012·課標(biāo)全國(guó)卷II）一物塊靜止在粗糙的水平桌面上，從某時(shí)刻開(kāi)始，物塊受到一方向不變的水平拉力作用。假設(shè)物塊與桌面間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，以a表示物塊的加速度大小，F(xiàn)表示水平拉力的大小。能正確描述F與a之間關(guān)系的圖像是

解析：物塊的受力如圖2所示，當(dāng)F不大于最大靜摩擦力時(shí)，物塊仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，故其加速度為0;當(dāng)F大于最大靜摩擦力后，由牛頓第二定律可得F–μFN =ma，即F= μFN + ma，F(xiàn)與a成線性關(guān)系，其圖像與縱坐標(biāo)的截距F= μFN。

答案：C

【例2】（2018·全國(guó)卷Ⅲ）甲、乙兩車在同一平直公路上同向運(yùn)動(dòng)，甲做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙做勻速直線運(yùn)動(dòng)。甲、乙兩車的位置x隨時(shí)間t的變化如圖3所示。下列說(shuō)法正確的是

A. 在t1時(shí)刻兩車速度相等

B. 從0到t1時(shí)間內(nèi)，兩車走過(guò)的路程相等

C. 從t1到t2時(shí)間內(nèi)，兩車走過(guò)的路程相等

D. 在t1到t2時(shí)間內(nèi)的某時(shí)刻，兩車速度相等

解析：x - t圖像某點(diǎn)的切線斜率表示瞬時(shí)速度，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤;前t1時(shí)間內(nèi)，由于甲、乙的出發(fā)點(diǎn)不同，因此路程也不同，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤;在t1 ～ t2時(shí)間內(nèi)，甲、乙的位移和路程都相等，大小都為x2 - x1，則選項(xiàng)C正確;t1 ～ t2時(shí)間內(nèi)，甲的x - t圖像在某一點(diǎn)的切線與乙的x - t圖像平行，此時(shí)刻兩車速度相等，則選項(xiàng)D正確。

答案：C、D

【例3】（2015·全國(guó)卷Ⅰ）如圖4，一物塊在t = 0時(shí)刻滑上一固定斜面，其運(yùn)動(dòng)的v - t圖線如圖5所示。若重力加速度及圖中的v0， v1， t1均為已知量，則可求出

A. 斜面的傾角

B. 物塊的質(zhì)量

C. 物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)

D. 物塊沿斜面向上滑行的最大高度

解析：本題考查了勻變速直線運(yùn)動(dòng)、v - t圖像和牛頓第二定律。

設(shè)物塊的質(zhì)量為m，斜面的傾角為θ，物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物塊沿斜面上滑和下滑時(shí)的加速度大小分別為a1和a2，根據(jù)牛頓第二定律有：mg sinθ + μmg cosθ = ma1，mg sinθ - μmg cosθ = ma2。再結(jié)合v - t圖線斜率的物理意義有：a1 =■，a2 =■。由上述四式可見(jiàn)，無(wú)法求m，可以求出θ、μ，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤、選項(xiàng)A、C均正確;0 ～ t1時(shí)間內(nèi)的v - t圖線與橫軸包圍的面積大小等于物塊沿斜面上滑的最大距離，θ已求出，于是可以求出物塊上滑的最大高度，則選項(xiàng)D正確。

答案：A、C、D

點(diǎn)評(píng)：本題是v - t圖像結(jié)合牛頓第二定律的綜合考查題。解答本題需要掌握v - t圖像的物理意義：圖像為一直線表示做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，圖像的斜率表示物體運(yùn)動(dòng)的加速度，圖像與橫軸所圍面積表示物體的位移。從而根據(jù)圖像可求出物塊沿斜面上滑和下滑過(guò)程中的加速度。再根據(jù)牛頓第二定律列出物塊上滑和下滑過(guò)程的動(dòng)力學(xué)方程，聯(lián)立方程求出斜面的傾角及動(dòng)摩擦因數(shù)。

【例4】（2018·江蘇卷）從地面豎直向上拋出一只小球，小球運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后落回地面。忽略空氣阻力，該過(guò)程中小球的動(dòng)能Ek與時(shí)間t的關(guān)系圖像是

解析：設(shè)小球拋出瞬間的速度大小為v0，拋出后某時(shí)刻t小球的速度為v = v0 - gt，故小球的動(dòng)能

Ek =■mv2 = ■m （v0 - gt）2，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)易知選項(xiàng)A正確。

答案：A

【例5】（2019·浙江卷）甲、乙兩物體零時(shí)刻開(kāi)始從同一地點(diǎn)向同一方向做直線運(yùn)動(dòng)，位移—時(shí)間圖像如圖7所示，則在0 ～ t1時(shí)間內(nèi)

A. 甲的速度總比乙大

B. 甲、乙位移相同

C. 甲經(jīng)過(guò)的路程比乙小

D. 甲、乙均做加速運(yùn)動(dòng)

解析：位移—時(shí)間圖像中，圖線斜率大小等于物體速度大小。由圖可知，甲做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙做變速直線運(yùn)動(dòng)，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤;靠近t1時(shí)刻時(shí)，乙的斜率大于甲的斜率，即乙的速度大于甲的速度，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤;在該段時(shí)間內(nèi)，甲、乙物體的初位置和末位置相同，故位移相同，則選項(xiàng)B正確;由于甲、乙物體做的是單向直線運(yùn)動(dòng)，故位移大小等于路程，兩者的路程也相同，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤。

答案：B

【例6】（2019·全國(guó)Ⅱ卷）如圖8所示，在跳臺(tái)滑雪比賽中，運(yùn)動(dòng)員在空中滑翔時(shí)身體的姿態(tài)會(huì)影響其下落的速度和滑翔的距離。某運(yùn)動(dòng)員先后兩次從同一跳臺(tái)起跳，每次都從離開(kāi)跳臺(tái)開(kāi)始計(jì)時(shí)，用v表示他在豎直方向的速度，其v - t圖像如圖9所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時(shí)刻。則

A. 第二次滑翔過(guò)程中在豎直方向上的位移比第一次的小

B. 第二次滑翔過(guò)程中在水平方向上的位移比第一次的大

C. 第二次滑翔過(guò)程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大

D. 豎直方向速度的大小為v1時(shí)，第二次滑翔在豎直方向上所受的阻力比第一次的大

解析：根據(jù)v - t圖線與橫軸所圍成的面積表示位移，可知第二次滑翔過(guò)程中在豎直方向上的位移比第一次的大，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤;第二次滑翔過(guò)程中在豎直方向的位移比第一次大，又運(yùn)動(dòng)員每次滑翔過(guò)程中豎直位移與水平位移的比值相同（等于傾斜雪道與水平面夾角的正切值），故第二次滑翔過(guò)程中在水平方向上的位移比第一次的大，則選項(xiàng)B正確;根據(jù)v - t圖線的斜率表示加速度，綜合分析可知，第二次滑翔過(guò)程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的小，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤;豎直方向上的速度大小為v1時(shí)，根據(jù)v - t圖線的斜率表示加速度可知，第二次滑翔過(guò)程中在豎直方向上的加速度比第一次的小，由牛頓第二定律有mg - f = ma，可知第二次滑翔過(guò)程中在豎直方向上所受的阻力比第一次的大，則選項(xiàng)D正確。

答案：B、D

【例7】（2018·全國(guó)卷Ⅲ）地下礦井中的礦石裝在礦車中，用電機(jī)通過(guò)豎井運(yùn)送到地面。某豎井中礦車提升的速度大小v隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖10所示，其中圖線①②分別描述兩次不同的提升過(guò)程，它們變速階段加速度的大小都相同;兩次提升的高度相同，提升的質(zhì)量相等。不考慮摩擦阻力和空氣阻力。對(duì)于第①次和第②次提升過(guò)程

A. 礦車上升所用的時(shí)間之比為4 ∶ 5

B. 電機(jī)的最大牽引力之比為2 ∶ 1

C. 電機(jī)輸出的最大功率之比為2 ∶ 1

D. 電機(jī)所做的功之比為4 ∶ 5

解析：根據(jù)位移相同可得兩圖線與時(shí)間圍成的面積相等，即■v0 × 2t0 =■×■v0[2t0 + t′ +（t0 + t′）]，解得t′=■t0。則對(duì)于第①次和第②次提升過(guò)程中，礦車上升所用的時(shí)間之比為2t0 ∶（2t0 +■t0）= 4 ∶ 5，則選項(xiàng)A正確;加速過(guò)程中的牽引力最大，且已知兩次加速時(shí)的加速度大小相等，故兩次中最大牽引力相等，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤;由題知兩次提升的過(guò)程中礦車的最大速度之比為2 ∶ 1，由功率P = Fv可知最大功率之比為2 ∶ 1，則選項(xiàng)C正確;兩次提升過(guò)程中礦車的初、末速度都為零，則電機(jī)所做的功等于克服重力做的功，重力做的功相等，故電機(jī)所做的功之比為1 ∶ 1，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

答案：A、C

二、根據(jù)題意巧妙建立圖像快速解題

【例8】 甲、乙、丙三輛汽車沿直線以相同的速度經(jīng)過(guò)某一路標(biāo)，從此開(kāi)始，甲車一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙車先加速后減速，丙車先減速后加速，它們經(jīng)過(guò)下一個(gè)路標(biāo)時(shí)速度相同，則哪一輛汽車先經(jīng)過(guò)下一個(gè)路標(biāo)？

解析：根據(jù)題意可知，三輛汽車的初、末速度相同，它們經(jīng)過(guò)的位移相同，而題中并不知乙、丙兩汽車在各階段是否做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，故只能看做變速直線運(yùn)動(dòng)，至此許多同學(xué)覺(jué)得似乎無(wú)法求解。

事實(shí)上，采用圖像求解本題則非常簡(jiǎn)單。在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出該三輛汽車的v - t圖像，如圖9所示。從圖像中很容易看出：乙車通過(guò)下一個(gè)路標(biāo)所用的時(shí)間最短，亦即乙車先通過(guò)下一個(gè)路標(biāo)。

【例9】汽車沿平直公路從靜止以恒定的加速度啟動(dòng)，最后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其速度為vm。從開(kāi)始到達(dá)到速度vm所用時(shí)間為t0，求在這段時(shí)間內(nèi)汽車的平均速度與vm的關(guān)系。

解析：汽車從靜止到達(dá)到速度vm的過(guò)程中，先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)達(dá)到額定功率后，做加速度又逐漸減小、速度逐漸增大的變加速直線運(yùn)動(dòng)，因此利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)無(wú)法求出汽車的平均速度與vm的關(guān)系。至此，許多同學(xué)有一種“山窮水復(fù)疑無(wú)路”之感。

其實(shí)，只要作出汽車的v - t圖像，如圖12所示。根據(jù)圖像的物理意義以及求平均速度的公式可知：v>■vm。

【例10】 如圖13所示，甲、乙兩物體同時(shí)由靜止從A處出發(fā)，沿直線AB運(yùn)動(dòng)。甲先以加速度a1做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，改以加速度a2做勻加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B處的速度為v0;乙一直以加速度a做勻加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B處的速度也為v0，且a1 > a。則下列敘述中正確的是

A. 甲、乙可能同時(shí)到達(dá)B處

B. 甲一定先到達(dá)B處

C. A、B間的任一點(diǎn)時(shí)，甲的速度一定大于乙的速度

D. A、B間的任一點(diǎn)時(shí)，甲的速度可能小于乙的速度

解析：本題若直接運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來(lái)求解，由于涉及的物理量較多，計(jì)算過(guò)程必然會(huì)很繁瑣。

若作出這兩個(gè)物體的v - t圖像，利用它們的位移、B處的速度相同，即兩斜線區(qū)域的面積相等，則很容易得出選項(xiàng)B、C正確，如圖13所示。

【例11】小球以初速度v0上拋，已知小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到空氣的阻力與其速率成正比，且落回拋點(diǎn)時(shí)小球速度為v，求小球從上拋到落回拋點(diǎn)全過(guò)程所需的時(shí)間。

解析：由于小球所受的阻力與速率成正比，因此無(wú)論是在上拋階段還是下落階段，小球所受的合外力是變力，加速度為變量，所以無(wú)法用勻加速直線運(yùn)動(dòng)的公式求解。為此可采用圖像法順利獲解。

因?yàn)関 - t圖線與t軸所圍的面積表示小球在對(duì)應(yīng)時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的位移大小，而且上拋與下落階段所經(jīng)過(guò)的位移大小相同，所以圖14中區(qū)域I與區(qū)域II面積相等。由已知條件可知，小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到空氣的阻力與其速率成正比。

設(shè)阻力f = -kv，據(jù)此可畫(huà)f - t圖像，如圖15。區(qū)域I′與區(qū)域II′的面積一定分別是圖15中區(qū)域I和區(qū)域II面積的k倍。由此可知，區(qū)域I′與區(qū)域II′的面積也相等。

因?yàn)闆_量I = Ft，所以圖15中曲線與t軸所圍成的面積表示對(duì)應(yīng)時(shí)間內(nèi)阻力f的沖量值。由此可見(jiàn)，在小球上拋和下落過(guò)程中，阻力的沖量等大反向，全過(guò)程阻力的合沖量為零。

對(duì)全過(guò)程運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理，設(shè)向上為正方向，則有：- mv - mv0 = - mgt + If = - mgt，所以t =■=■，故小球全過(guò)程所用的時(shí)間t =■。

由上述幾例可見(jiàn)，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中善用圖像解題，可達(dá)到化難為易、避繁就簡(jiǎn)、快速獲解的目的，收到事半功倍的效果。

責(zé)任編輯 ??李平安