朱鵬飛，唐 勇

（1.福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福州 350116；2.金融數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（莆田學(xué)院），福建 莆田 351100；3.福建省金融科技創(chuàng)新重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州 350116）

0 引言

2015年下半年的大熊市中接連出現(xiàn)三次“股災(zāi)”，導(dǎo)致大部分投資者賬面資金損失慘重，信心喪失。對(duì)投資者而言，與單方向的投資行為相比，套利活動(dòng)具有更小的風(fēng)險(xiǎn)、更穩(wěn)定的收益以及更高的夏普比率等優(yōu)勢(shì)。如何構(gòu)建在“股災(zāi)”般極端波動(dòng)環(huán)境下行之有效的套利策略一直是金融學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界關(guān)注的熱點(diǎn)話題。

以往諸多國(guó)內(nèi)外學(xué)者[1-3]基于協(xié)整框架，對(duì)套利策略進(jìn)行了相關(guān)研究，證明其是行之有效的。另外一部分學(xué)者[4-6]將Copula函數(shù)族引入到協(xié)整框架中，然而基于Copula函數(shù)族忽略了金融市場(chǎng)不同時(shí)間標(biāo)度的豐富價(jià)值。作為挑戰(zhàn)傳統(tǒng)學(xué)術(shù)界的新興前沿課題，以分形理論等為代表的復(fù)雜非線性金融物理學(xué)科越來(lái)越受到主流金融學(xué)界的關(guān)注，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者[7-9]運(yùn)用分形理論方法研究金融市場(chǎng)間復(fù)雜性問題，成果較多。但實(shí)際研究大徑相同，都只是對(duì)市場(chǎng)間復(fù)雜特征進(jìn)行分析，并沒有與傳統(tǒng)金融實(shí)踐理論等方面形成有效銜接，制約了分形理論在實(shí)際中的應(yīng)用。鑒于此，本文基于Kristoufek[10]的單分形回歸框架，構(gòu)建了單分形期現(xiàn)套利策略，實(shí)現(xiàn)分形理論與傳統(tǒng)套利理論的結(jié)合。同時(shí)，針對(duì)單分形的不足[11]，本文在消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架基礎(chǔ)上提出了多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架，并基于此，構(gòu)建多重分形套利策略，將其用于本輪大熊市中。

1 理論框架

1.1 DCCA方法

消除趨勢(shì)交叉相關(guān)性分析（Detrended Cross-Correlation Analysis，DCCA）方法主要是研究?jī)蓚€(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列在不同時(shí)間標(biāo)度下的非線性關(guān)系，但是該方法存在偽波動(dòng)的缺陷[11]。鄭輝和王斌會(huì)[12]認(rèn)為可以通過(guò)重疊平滑窗技術(shù)對(duì)原始方法優(yōu)化，克服該缺陷。因此，本文基于其優(yōu)化思想，以{xi}和{yi}表示兩個(gè)時(shí)間序列，i=1,2,…,N，N為序列的長(zhǎng)度，構(gòu)建優(yōu)化后的DCCA方法。建模步驟如下：

第一步，計(jì)算累積離差序列：

其中：、分別為原始序列{xi}和{yi}的均值。

第二步，將序列{xx(i)}和{yy(i)}分割成標(biāo)度為s的Ns=[(N-s)/(s-l)]（[]表示取整數(shù)）個(gè)區(qū)間，重疊長(zhǎng)度為l，

第三步，對(duì)于每個(gè)區(qū)間v(v=1,2,…,2Ns)，進(jìn)行消除趨勢(shì)處理，最終消除局部趨勢(shì)，得到殘差序列：

第四步，計(jì)算各個(gè)標(biāo)度的協(xié)方差函數(shù)：

第五步，如果冪律相關(guān)性存在，則標(biāo)度關(guān)系滿足如下條件：

1.2 MF-DCCA方法

多重分形消除趨勢(shì)交叉相關(guān)性分析（Multifractal Detrended Cross-Correlation Analysis，MF-DCCA）方法的步驟一到步驟三與DCCA方法相同，在此不再贅述。從第四步開始介紹：

第四步，計(jì)算q階波動(dòng)函數(shù)：

人力資源和社會(huì)保障部推出的《2017年度人力資源和社會(huì)保障事業(yè)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，我國(guó)參加城鎮(zhèn)職工養(yǎng)老保險(xiǎn)的農(nóng)民工人數(shù)僅占農(nóng)民工總?cè)藬?shù)的21.6%，參加城鎮(zhèn)職工醫(yī)療保險(xiǎn)的農(nóng)民工人數(shù)占農(nóng)民工總?cè)藬?shù)的21.7%，參加城鎮(zhèn)職工失業(yè)保險(xiǎn)的農(nóng)民工人數(shù)占農(nóng)民工總?cè)藬?shù)的17%，參加城鎮(zhèn)職工工傷保險(xiǎn)的農(nóng)民工人數(shù)占農(nóng)民工總?cè)藬?shù)的27%。目前我國(guó)失業(yè)率居高不下的形勢(shì)下，農(nóng)民工失業(yè)保險(xiǎn)參保率遠(yuǎn)低于工傷、醫(yī)療和養(yǎng)老保險(xiǎn)參保率，失業(yè)保險(xiǎn)參保概率不足。因此，新生代農(nóng)民工養(yǎng)失業(yè)老保險(xiǎn)作為推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化重要方面，解決好這一問題體現(xiàn)新型城鎮(zhèn)化“以人為本”的發(fā)展核心。

第五步，如果冪律相關(guān)性存在，則標(biāo)度關(guān)系滿足如下條件：

當(dāng)q=2時(shí)，MF-DCCA方法轉(zhuǎn)換為DCCA方法。當(dāng)兩個(gè)時(shí)間序列相同時(shí),即{xi}={yi}，MF-DCCA方法轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘀胤中蜗厔?shì)波動(dòng)分析（MF-DFA）方法，故不對(duì)MFDFA方法單獨(dú)進(jìn)行介紹。

1.3 消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架

Kristoufek[10]提出的消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架能夠?qū)蓚€(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列的不同時(shí)間標(biāo)度和冪律相關(guān)關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫和描述，有效地克服了傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)套利模型的缺陷，充分利用了多時(shí)間標(biāo)度的價(jià)值。該回歸框架如下：

a是長(zhǎng)期合理的價(jià)差，ut是均值為零的殘差序列，也可以被認(rèn)為是噪聲部分，β(s)可以描述在不同時(shí)間標(biāo)度下，兩個(gè)變量之間的非線性冪律相關(guān)關(guān)系，公式如下：

其中，F(xiàn)2x,y;DCCA(s)、Fx;DFA(s)由公式（3）計(jì)算可得。

1.4 多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架

單分形無(wú)法對(duì)局部進(jìn)行全面精確的刻畫和分析，多重分形模型則可以從復(fù)雜的運(yùn)行過(guò)程中尋找金融市場(chǎng)的內(nèi)在規(guī)律[11]。因此，本文擴(kuò)展Kristoufek[10]的研究，提出多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架：

假設(shè){xt}和{yt}其滿足如下關(guān)系：

其中，s表示標(biāo)度，q表示階數(shù)，也即波動(dòng)幅度。當(dāng)q＜0，則是對(duì)小幅波動(dòng)的刻畫，當(dāng)q＞0，則是對(duì)大幅波動(dòng)的刻畫。Fx;MF-DFA(s)、Fx,y;MF-DCCA(s)可以分別通過(guò)公式（5）計(jì)算得到。

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)選取和處理

三次“股災(zāi)”發(fā)生在2015年6月8日至2016年3月1日期間，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，該段區(qū)間又可以被認(rèn)為是熊市。因此，選定2015年6月8日至2016年3月1日作為樣本區(qū)間。本文在此選擇滬深300指數(shù)作為股票市場(chǎng)的代表，選擇5分鐘收盤價(jià)作為樣本數(shù)據(jù)。最終得到期貨和現(xiàn)貨各自8400個(gè)樣本。對(duì)區(qū)間內(nèi)期貨和現(xiàn)貨價(jià)格序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述。

表1 期貨和現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格序列統(tǒng)計(jì)

表1顯示，期貨和現(xiàn)貨價(jià)格序列“尖峰肥尾”特征顯著，各個(gè)序列的JB統(tǒng)計(jì)量在1%的顯著性水平下拒絕服從正態(tài)分布的原假設(shè)。同時(shí)，在滯后40階數(shù)時(shí)，各個(gè)序列的自相關(guān)性顯著。ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果表明各個(gè)序列都是非平穩(wěn)的。

2.2 交易規(guī)則制定

本文在此把滬深300ETF作為滬深300指數(shù)的替代交易工具。設(shè)期貨價(jià)格序列為yt，現(xiàn)貨價(jià)格序列為xt，殘差序列為ut，制定交易規(guī)則如下：

（1）若ut大于閾值x1（小于閾值x3）時(shí)，認(rèn)為期貨合約被高估（低估），現(xiàn)貨被低估（高估）。因此，套利開倉(cāng)，賣出（買入）N份期貨合約，同時(shí)將N·β(s·)x·t300的資金用于購(gòu)買（賣出）滬深300ETF。（2）當(dāng)ut回到均衡值x2附近時(shí)，價(jià)差回到了均衡位置，進(jìn)行與（1）相反操作，進(jìn)行獲利平倉(cāng)。（3）為控制交易過(guò)程中的風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)ut大于x4或者小于x5時(shí)，進(jìn)行止損平倉(cāng)。若當(dāng)日已進(jìn)行止損平倉(cāng)操作，或者出現(xiàn)空倉(cāng)時(shí)ut大于x4、小于x5極端情況，為避免造成損失或者損失擴(kuò)大，當(dāng)日不再進(jìn)行交易，次日繼續(xù)進(jìn)行套利活動(dòng)。

設(shè)置x1=0.75σ、x2=0、x3=-0.75σ、x4=2σ、x5=-2σ。同時(shí)，設(shè)2015年9月7日前滬深300股指期貨采用12%的保證金比例，在此之后，采用40%的保證金比例。設(shè)定現(xiàn)貨的手續(xù)費(fèi)為0.08%，期貨的手續(xù)費(fèi)為0.05%。同時(shí)設(shè)定現(xiàn)貨市場(chǎng)可以通過(guò)融券業(yè)務(wù)進(jìn)行賣空，但是不考慮使用資金杠桿。

2.3 熊市樣本內(nèi)外區(qū)間劃分

為了更好地檢驗(yàn)本文的單、多重分形套利模型的優(yōu)越性，在此參照文獻(xiàn)[14]，將整個(gè)熊市劃分為樣本內(nèi)區(qū)間和樣本外區(qū)間，以樣本內(nèi)區(qū)間數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)，構(gòu)建套利模型，然后利用其在樣本外區(qū)間進(jìn)行套利活動(dòng)。劃分如表2所示。

表2 樣本內(nèi)區(qū)間和樣本外區(qū)間的劃分

2.4 單分形套利策略回測(cè)檢驗(yàn)

在此基于Kristoufek[10]的消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架構(gòu)建單分形套利策略，選擇s取值范圍為100～900，步長(zhǎng)為100，共9個(gè)標(biāo)度。本文把傳統(tǒng)的協(xié)整套利策略作為參照組，采用的是Engle-Granger方法，模型具體見文獻(xiàn)[14]，此部分估計(jì)詳細(xì)結(jié)果由于篇幅限制，不在此展示。接下來(lái)在樣本外區(qū)間進(jìn)行套利回測(cè)檢驗(yàn)，對(duì)單分形套利模型和協(xié)整模型進(jìn)行比較，樣本外檢驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

表3 樣本外區(qū)間套利結(jié)果

從表3中可得，在熊市中傳統(tǒng)的協(xié)整套利策略收益為負(fù)數(shù)，給投資者造成了一定的損失，這說(shuō)明傳統(tǒng)的套利策略并不能在波動(dòng)劇烈的熊市中為投資者帶來(lái)滿意的收益。與其形成鮮明對(duì)比，大部分標(biāo)度的單分形策略優(yōu)于對(duì)照組，取得更高的收益率、套利成功率和夏普比率，說(shuō)明單分形套利策略能夠取得較好的套利效果。同時(shí)，標(biāo)度的不同也會(huì)對(duì)套利效果產(chǎn)生一定的影響。

2.5 多重分形套利策略回測(cè)檢驗(yàn)

基于本文提出的多重分形消除趨勢(shì)分析回歸框架，構(gòu)建多重分形套利策略，并將其應(yīng)用在“股災(zāi)”般異常波動(dòng)的熊市環(huán)境中，檢驗(yàn)其可行性和優(yōu)勢(shì)性。考慮到本文采用的q階范圍為-10～10（不含0），步長(zhǎng)為2，由于篇幅限制，不給出各個(gè)q階的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。以單分形套利策略作為參照組進(jìn)行對(duì)照比較，檢驗(yàn)結(jié)果如表4所示。

由表4可知，當(dāng)q=-2時(shí)，存在5組標(biāo)度優(yōu)于單分形套利策略，由此證明本文提出的多重分形套利策略通過(guò)選擇合適的q階，與單分形策略相比，能夠?yàn)橥顿Y者提供更優(yōu)的組合方案。此外，最優(yōu)q階的多重分形套利策略有5組標(biāo)度明顯優(yōu)于單分形套利策略。

表4 表現(xiàn)最佳q階檢驗(yàn)結(jié)果

3 結(jié)論

本文基于分形視角，以消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架為依據(jù)，構(gòu)建了單分形套利策略?？紤]到單分形理論的不足，又提出了多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架，構(gòu)建了多重分形套利策略。將單、多分形套利策略運(yùn)用在2015—2016年大熊市真實(shí)環(huán)境中，具體結(jié)論如下：

（1）基于Kristoufek[10]提出的消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架，構(gòu)建單分形套利策略，與傳統(tǒng)的協(xié)整套利策略進(jìn)行樣本外區(qū)間套利效果比較。結(jié)果表明，在熊市中，大部分標(biāo)度的單分形套利策略優(yōu)于傳統(tǒng)協(xié)整套利策略。同時(shí)不同標(biāo)度的套利效果存在明顯的差異。

（2）本文提出了多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架，并構(gòu)建了多重分形套利策略，與單分形套利策略進(jìn)行樣本外區(qū)間套利效果比較。結(jié)果表明，當(dāng)q=-2時(shí)大部分標(biāo)度的套利效果最佳。以上套利結(jié)果也表明，基于本文提出的多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析回歸框架，構(gòu)建多重分形套利策略是有效的。