湯永明 王紅

[摘? 要] 二次函數(shù)常作為中考壓軸題來考查學生的知識掌握情況和解題的綜合能力，這與二次函數(shù)的知識融合性和方法多樣性離不開. 近幾年的函數(shù)壓軸題更加注重問題的層次性設計，旨在引導學生進行數(shù)學思考. 文章對重慶市的兩道中考試題進行探究賞析，與讀者交流.

[關鍵詞] 函數(shù);拋物線;最值;存在性;賞析

經(jīng)典試題再現(xiàn)

試題1（2018年重慶市中考數(shù)學A卷）如圖1，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y=-x2+4x上，且橫坐標為1，點B與點A關于拋物線的對稱軸對稱，直線AB與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，點E的坐標為（1，1）.

（1）求線段AB的長.

（2）點P為線段AB上方拋物線上任意一點，過點P作AB的垂線交AB于點H，點F為y軸上一點，當△PBE的面積最大時，求PH+HF+FO的最小值.

（3）在（2）中，當PH+HF+FO取得最小值時，將△CFH繞點C順時針旋轉60°后得到△CF′H′，過點F′作CF′的垂線與直線AB交于點Q，點R為拋物線對稱軸上一點，在平面直角坐標系中是否存在點S，使得以點D，Q，R，S為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點S的坐標;若不存在，請說明理由.

試題2（2017年重慶市中考數(shù)學A卷）如圖2，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2-x-與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，點E（4，n）在拋物線上.

（1）求直線AE的解析式.

（2）點P為直線CE下方拋物線上一點，連接PC，PE. 當△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點K是線段CB的中點，點M是CP上一點，點N是CD上一點，求KM+MN+NK的最小值.

（3）點G是線段CE的中點，將拋物線y=x2-x-沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點D，y′的頂點為點F. 在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

試題特點表征

上述兩道重慶市的中考試題背景設置都是基于二次函數(shù)的表達式和圖像特征，只是求解的具體問題有略微的差異. 命題人充分考慮到考生的學習能力和理解程度差異，試題設置上均呈現(xiàn)一定的梯度，第（1）問屬于基本問題，第（2）問則是對幾何模型的應用考查，而第（3）問的幾何存在性問題則是對學生全面分析能力的考查，因此整個試題設計在考查基礎的同時也注重對學生綜合能力的考查，具有一定的選拔功能.

試題1和試題2均給出了二次函數(shù)的解析式，以及一些關鍵點的幾何特征. 兩道試題的第（1）問分別求線段的長和直線的解析式，考慮到求解線段的長需要先求出點的坐標，因此兩問的求解思路是一致的，即根據(jù)題干所給的幾何關系來確定點的坐標，然后利用點的坐標來求解. 而第（2）問均屬于雙最值問題，問題的前半部分分析三角形面積的最大值，后半部分求涉及三點的三條線段的最小值，問題的特征相同，求解的方向也相似. 首先需要將求解三角形的面積最大值轉化為關于線段的最大值，從中獲得點的坐標的參數(shù)，然后以此為基礎借助最值模型完成線段和的最小值求解. 最后第（3）問的幾何存在性問題，雖然都是分析特殊的幾何圖形，但結合對應圖形的特征，均可以將其轉化為分析圖形頂點坐標的問題. 需要注意的是，應合理設定分類標準，全面討論. 綜上可知，無論是問題的結構設計，還是試題的突破思路，重慶市的這兩道函數(shù)壓軸題均存在較高的相似度，其考查內容和能力要求是對新課程標準理念的深度貫徹.

試題賞析評價

1. 立足教材知識，倡導數(shù)學思想

中考試題大多經(jīng)典，其經(jīng)典之處不僅在于試題考查的知識點較為全面，關注基礎的同時注重問題的層次性和關聯(lián)性，還在于其注重對學生解題思想方法的考查，即融合基礎知識，綜合考查學生的綜合素質. 上述兩道試題便是函數(shù)試題的典型代表. 兩道試題均以拋物線為背景，考查了二次函數(shù)的解析式和關鍵點，并融合幾何上的點共線模型、面積模型求線段的雙最值，最后從幾何特征的角度來討論幾何頂點坐標. 涵蓋了勾股定理、軸對稱性質、圖形變換、菱形和等腰三角形的特征等知識，且試題將數(shù)學的思想方法融于其中，如數(shù)學的模型思想、分類討論思想、化歸與轉化思想和數(shù)形結合思想，引導學生利用數(shù)學思想方法來指導解題過程，利用思想方法來探求解題思路，幫助學生由試題的學習向試題的本質探究過渡.

2. 關注分析過程，發(fā)展解題思維

數(shù)學解題最為關鍵的一點是問題的分析過程，因此中考壓軸題更注重對學生分析思維的考查. 上述試題基于該點從兩個角度進行設置：一是將綜合問題分為三個小問，每個小問既獨立存在，又相互關聯(lián)，問題間具有一定的層次性和遞進性;二是試題具有一定的引導性，利用簡明扼要的文字來引導學生實踐操作，發(fā)現(xiàn)問題并驗證猜想. 如上述的試題1首先要求學生對圖形進行旋轉，作出對稱軸，然后分析圖形是否為菱形;而試題2則對拋物線的圖像進行平移，然后分析圖像的對稱軸上是否存在使圖形為等腰三角形的點. 學生在由易到難逐步求解問題的過程中可以充分把握問題的結構，掌握圖像的性質特征，并在試題的引導下進行相關作圖操作，從而發(fā)現(xiàn)其中的關鍵條件，結合所學知識對猜想做出論證. 因此，試題在考查學生分析、解決問題的同時，也提升了學生的邏輯思維能力，使學生的思維更具靈活性和拓展性，而后者是衡量優(yōu)秀試題的重要標準之一.

總之，優(yōu)秀的試題是對學生知識儲備、解題能力和思想方法的綜合考查，在考查學生對基礎知識掌握情況的同時，也考查學生的數(shù)學素養(yǎng). 因此，在平時的解題教學中，我們要引導學生對基礎知識進行總結、歸納，并將數(shù)學思想方法融合在解題過程中，不斷提升學生的綜合素養(yǎng).