張偉
[摘? 要] 通過對教學設計和課堂的觀察,文章作者發(fā)現(xiàn)兩位教師在同課異構課中對教學起點的設置、探究過程的層次、認知策略的導向都有不同的思考. 文章主要從“三個理解”方面去分析兩位教師的教學設計,分析其不足與優(yōu)點.
[關鍵詞] 二次根式;教學設計;理解數(shù)學;理解學生;理解教學
背景簡介
2017年12月,筆者有幸在師徒結隊活動中聆聽到兩位教師的同課異構課——浙教版數(shù)學教材八年級下冊“二次根式的性質(zhì)”第2課時,雖然教學內(nèi)容相同,但他們的教學風格不同,有不同的呈現(xiàn)方式,也存在值得商榷的地方. 第2課時是學生在使用第1課時的性質(zhì)時出現(xiàn)“知識沖突”,無法運用第1課時的知識來解決實際問題,進而繼續(xù)探究新的方法,進一步經(jīng)歷二次根式性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程,體驗歸納、類比的思想方法. 同時要讓學生了解“最簡二次根式”的概念,結合二次根式的性質(zhì)化簡二次根式. 下面筆者從理解數(shù)學、理解學生、理解教學三個方面對這兩節(jié)課進行對比分析,并談談個人的幾點思考.
案例簡述
1. 簡述A教師的教學流程
A教師上課時先讓學生計算兩個式子,回顧上節(jié)課的內(nèi)容,接著進行新課引入:“積的乘方等于各個因數(shù)乘方的積,商的乘方等于分子的乘方除以分母的乘方的商[1]”,那積的算術平方根和商的算術平方根又會有什么結論?這節(jié)課我們就來探索這一新知識.
例1? 請完成下面的計算,并根據(jù)你的計算結果猜想結論.
(1)=_________,×=________;
(2)=_________,×=________;
(3)=_________,×=________.
通過上面的三組計算,師生共同歸納出“積的算術平方根等于算術平方根的積”這一結論,并用符號表示:=·(a≥0,b≥0).
例2? 請完成下面的計算,并根據(jù)你的計算結果猜想結論.
(1)=____________,=________;
(2)=___________,=________;
(3)=__________,=________.
通過上面的三組計算,師生共同歸納出“商的算術平方根等于分子的算術平方根除以分母的算術平方根的商”這一結論,并用符號表示:=(a≥0,b>0).
接著,教師從例2中得出“最簡二次根式”的概念,并給出例3.
例3? 化簡.
(1)=________;
(2)=________;
(3)=________;
(4)=________;
(5)=________;
(6)=________.
接下來,A教師對a,b的符號進行了特別說明,提出假如a<0,b<0,應如何處理,最后進行總結、反思.
……
2. 簡述B教師的教學流程
師:我們前面已經(jīng)學過兩數(shù)乘積的算術平方根,下面請大家計算的結果.
生:用豎式計算結果得出根號內(nèi)兩數(shù)的乘積為33124,然后就不知道如何計算算術平方根了.
師:我們發(fā)現(xiàn)當兩數(shù)乘積比較大的時候,不能方便地求出算術平方根,有沒有較為簡便的方法求出結果呢?這節(jié)課我們就來探索、研究一下.
(教師板書課題)
師:計算下列三組式子.
(1)=______, ×=______;
(2)=_________, ×=______;
(3)=______, ×=______.
觀察左、右兩邊的式子,你有怎樣的猜想?你能用字母表示出你的猜想嗎?(學生根據(jù)兩邊的結果,發(fā)現(xiàn)兩邊相等)
師:于是我們可以猜想“積的算術平方根等于算術平方根的積”這一命題,即=·(a≥0,b≥0). 但這僅僅是我們通過三組式子得到的猜想,那這一命題是否在一般情況下都成立呢?我們還需要進一步驗證.
(接下來B教師直接板書證明過程)
師:通過嚴密的推理論證,我們終于可以肯定這一命題是正確的. 同時我們也總結出了探索新事物的一般方法:取值→觀察→猜想→驗證. 這也是我們以后探索新事物的一般方法.
師:那“商的算術平方根等于算術平方根的商”嗎?(B教師給出三組數(shù)據(jù),并要求學生自己動手進行計算和驗證)
接著B教師給出了例1:(1)=______;(2)=________;(3)(s≥0)=______;(4)=______. 先處理前三道小題,并得出“最簡二次根式”的概念,然后處理第(4)小題. 隨后布置了四道類似的小題要求學生動手計算.
接下來,B教師講解了例2:(1)=______;(2)=______;(3)=______.
……
案例評析
1. 從導入部分看教學起點設置的合理性
A教師先讓學生回顧了“積的乘方等于各個因數(shù)乘方的積;商的乘方等于分子的乘方除以分母的乘方的商”這一結論,然后類比提出:積的算術平方根和商的算術平方根又會有什么結論?揭示本節(jié)課的探究方向,并板書課題.
B教師首先讓學生回顧了第1課時二次根式的性質(zhì),隨后計算兩個較大數(shù)乘積的算術平方根,引導學生運用第1課時的性質(zhì)去計算,結果發(fā)現(xiàn)計算的過程很艱辛,隨后提出:有沒有較簡便的方法來解決這一類問題呢?猜想本節(jié)課的學習內(nèi)容,并板書課題.
對比評析? A教師在知識引入部分先回顧兩數(shù)積和兩數(shù)商的乘方運算,為探索新知識做鋪墊,但乘方運算不是本節(jié)課的知識生長點,只需做簡單回顧,不需要刻意讓學生去計算,因為這樣的操作可能會造成“負遷移”,使學生在“入戲”部分削弱學習興趣. 而B教師雖然也是復習引入,但復習的知識點與A教師有所不同. B教師在知識的生長點處創(chuàng)設問題情境,容易激發(fā)學生繼續(xù)探究的興趣. 奧蘇貝爾的有意義學習理論認為:創(chuàng)設一定的“問題情境”,能夠使學生對知識本身產(chǎn)生興趣,進而產(chǎn)生認知需要,產(chǎn)生一種要學習的傾向,從而能夠激發(fā)學習的動力[2]. 由此可見,B教師找準了二次根式性質(zhì)的“生長點”,使得探究引入過程自然,比A教師設計的立意更高、更合理.
2. 從新知構建看探究過程的層次性
A教師在新知構建環(huán)節(jié),用“四環(huán)節(jié)”完成了性質(zhì)的探究過程.
第一環(huán)節(jié),計算結果,初步感知. 給出三組“積的算術平方根”的計算題,這三組數(shù)都比較小,而且都是完全平方數(shù). 學生較輕松地完成了計算,隨后A教師讓學生觀察每一組式子,用文字語言敘述猜想的結論. 最后A教師用符號語言歸納出“積的算術平方根等于算術平方根的積”這一結論. 第二環(huán)節(jié),再給出另外三組“商的算術平方根”的計算題,按照第一環(huán)節(jié)的操作流程展開課堂教學,最后也用符號語言歸納出“商的算術平方根等于分子的算術平方根除以分母的算術平方根的商”這一結論. 第三環(huán)節(jié),質(zhì)疑再驗,辨析新知. 教師質(zhì)疑:對于剛才我們得到的結論,為什么a≥0,b≥0或b>0呢?那對于負數(shù)是不是就不能用這個性質(zhì)了呢?第四環(huán)節(jié),分析要點,歸納反思. 要求學生從中注意性質(zhì)2(即積的算術平方根等于算術平方根的積,商的算術平方根等于分子的算術平方根除以分母的算術平方根的商)的適用條件. 若遇到兩負數(shù)積的算術平方根時,應如何處理,揭示出“符號”在性質(zhì)2中的必要性.
B教師在新知構建環(huán)節(jié),也用“四環(huán)節(jié)”完成性質(zhì)的探索過程.
第一環(huán)節(jié),計算結果,初步感知. 教師給出三組有代表性的式子(包含完全平方數(shù)和非完全平方數(shù)),要求學生完成計算結果. 因為前兩組都是完全平方數(shù),學生容易完成,發(fā)現(xiàn)第三組式子需要用到計算器,于是B教師從電腦中調(diào)出計算器演示給學生看. 第二環(huán)節(jié),觀察形式,猜想論證. 引導學生猜想、歸納出結果,并用符號語言歸納出“積的算術平方根等于算術平方根的積”這一猜想. B教師提出:那這一命題是否在一般情況下都成立呢?我們還需要進一步驗證. 于是教師依據(jù)算術平方根的概念和記法把論證過程演示給學生看,這樣便把這一猜想上升為結論,成為性質(zhì). 第三環(huán)節(jié),回顧反思,提煉方法. 教師引領學生回顧剛才的探索過程,總結出探索新事物的一般方法:取值→觀察→猜想→驗證,其實也是從特殊到一般的過程體驗. 第四環(huán)節(jié),類比模仿,自主探究. B教師用事先設置好的三組“商的算術平方根”的式子,讓學生類比剛才的探索路線,自主探索,得出相應的結論.
對比評析? 在新知的構建過程中,兩位教師都是以問題引領,讓學生有充足的時間、充分的機會經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程. 不同的是,A教師引導學生經(jīng)歷了“計算→觀察→猜想→結論”這一過程;B教師先讓學生經(jīng)歷“計算→觀察→猜想→驗證→結論”這一過程,然后利用商的算術平方根(類比積的算術平方根)深化、鞏固了完整的探究過程. 過程中兩位教師都運用信息技術手段輔助教學.
縱觀性質(zhì)教學的過程,教師的教學設計不僅要有深度,還要有廣度;學生參與教學的過程,不僅要明“法”,而且要明“理”,應在掌握“四基”的基礎上,提高學生的能力,使數(shù)學理性精神在學生身上得到體現(xiàn)[3]. 但也存在商榷的地方,如A教師在引導學生計算出“積的算術平方根”后,猜想出這一結果,并直接作為結論(性質(zhì)2). 從性質(zhì)教學的完備性來看,缺乏必要的證明難以讓學生信服. 執(zhí)教者注重引導學生探索,但最后沒有回歸到理性層面上來,顯得不夠厚重. 再者,在探索出“積的算術平方根”后,又緊接著來探索“商的算術平方根”,讓學生繼續(xù)重復前面的探索過程,顯得累贅. B教師引導學生探究出性質(zhì)后,對性質(zhì)進行了簡短、必要的證明,這里便很好地找準了“契機”——讓學生體會數(shù)學的嚴密性. 但該教師在總結探索新事物的方法時,歸納的關鍵詞還不夠貼切、形象、生動,學生未必能真正理解這一過程,使得這一“遷移”落實不到學生內(nèi)心深處,凸顯不了育人的功能.
3. 從性質(zhì)運用看認知策略的導向性
A教師在基礎訓練部分設置例1(積的算術平方根)、例2(商的算術平方根),并從例2中得出“最簡二次根式”的概念,最后運用性質(zhì)及最簡二次根式處理例3……
B教師在基礎訓練部分,按照課本中的例1來設置(只不過將例1(3)改成含字母的式子). 然后先講前三個小題,進而歸納出“最簡二次根式”的概念,再處理第(4)小題……
對比評析? 兩位教師設計的基礎訓練都來自課本中的練習題,認知策略導向不同、跨度不同. A教師設置的例1從簡單入手,是鞏固性質(zhì)學習的有利“契機”,然后從例2的題型中歸納出“最簡二次根式”的概念,符合知識的生長過程. B教師則先通過三個小題,白描出“最簡二次根式”的概念,再用這個定義處理第(4)小題,這樣的設計不符合教材的意圖,使得“最簡二次根式”概念的得來不夠自然,有牽扯之嫌.
幾點思考
1. 理解數(shù)學
從教材呈現(xiàn)的內(nèi)容來看,本節(jié)課有三部分的內(nèi)容:一是經(jīng)歷類比、發(fā)現(xiàn)、歸納出二次根式的積和商的性質(zhì)的過程;二是要特別關注關系式中的字母的取值范圍;三是最簡二次根式的直觀標準及二次根式的化簡步驟. 那么,本節(jié)課中蘊含著哪些數(shù)學知識和思想方法?首先,該節(jié)課要讓學生看到“二次根式”的影子(形式),二次根式的本質(zhì)是數(shù)的算術平方根,這也是培養(yǎng)學生“在系統(tǒng)一致”的理念下進行學習. 其次,本節(jié)課的學習是從第1課時的性質(zhì)入手,歸納、類比出性質(zhì),體現(xiàn)了“邏輯連貫”的理念. 再者,這節(jié)課的重點是“積和商的算術平方根的性質(zhì)”,它的本質(zhì)是什么?學生在第1課時中已經(jīng)初步認識了“()2=a(a≥0)及=a”,也就是說,在第1課時我們見到根號里的數(shù)都是單獨一個數(shù)或一個完全平方式,但在第2課時碰到了根號里有兩個數(shù)(或多個數(shù)、式),此時如果先將根號里的數(shù)(式)算出最后的結果,會導致最終算術平方根的得出蒼白無力,凸顯不了數(shù)學的靈動美,為此將根號里設置兩個數(shù)(式),通過類比,歸納性質(zhì). 因此,它的本質(zhì)就是“積或商的算術平方根等價于形式類同的算術平方根”.
2. 理解學生
本節(jié)課伊始,課本中呈現(xiàn)出四組式子,可以看出第(2)(4)式子難以計算出最終結果,是否放棄這組式子,另辟蹊徑呢?這四組式子囊括乘、除的多種數(shù)據(jù)(完全平方數(shù)、非完全平方數(shù))的計算,其核心是讓學生從慢教育的過程中體會積的二次根式的性質(zhì),然后類比出商的二次根式的性質(zhì). 學生是在學完性質(zhì)1后來學習性質(zhì)2的,雖然已有一定的初步經(jīng)驗,但是還是難以用較為簡單的方法來解決這些問題. 筆者認為B教師設置得較為合理. 通過三組積的二次根式的式子(包括完全平方數(shù)、非完全平方數(shù)),猜測、歸納出積的二次根式的性質(zhì),然后再類比出商的二次根式的性質(zhì). 同時B教師總結出研究新事物的一般步驟:取值→觀察→猜想→驗證→結論,這一過程能較好地培養(yǎng)學生學習數(shù)學的理性精神. 另外,在教學中,教師要根據(jù)初中生的認知水平,從簡單到復雜,從特殊到一般地研究探索問題. 教學中一方面需要學生動手實踐,另一方面可以借助“計算器”快速、準確地得出結果并幫助學生直觀地觀察結果,這樣的操作有利于學生發(fā)現(xiàn)結論,從而突出重點.
3. 理解教學
章建躍博士認為:理解教學,當然是對數(shù)學教學規(guī)律的認識和教學機智的敏銳水平. 理解數(shù)學、理解學生是把數(shù)學教好,發(fā)揮數(shù)學的育人功能的前提條件,但如果在理解教學上不到位,同樣不能達到目的[2]. B教師通過問題引導學生獨立思考,在自主探究、合作交流中感悟、體會“上位”知識過程,積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗. 新課程倡導民主、探究、和諧的課堂,有放就有收. “放”是為了彰顯學生的主體地位,培養(yǎng)學生的動手實踐、勇于創(chuàng)新學習品質(zhì);“收”則是為了體現(xiàn)教師的主導作用,是教師駕馭課堂的能力體現(xiàn). B教師沒有按照課本那樣設置四組小題,而是先組織學生計算“積的算術平方根”,然后學生類比探究“商的算術平方根”,這種收放自如的形式,極大地激發(fā)了學生的求知欲望,讓學生在學習的過程中,重過程,輕形式. A教師在設置例題時,能很好地遵從“循序漸進”原則,讓學生在不知不覺中進入下一環(huán)節(jié),這也是A教師的教學藝術所在.
參考文獻:
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