陳 娟，戴斌祥，李文秀

(1.集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門(mén)361021；2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083；3.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

0 引言

(1)

然而，媒體報(bào)道與傳染率不單呈指數(shù)遞減趨勢(shì)，媒體報(bào)道量與染病者的數(shù)量以及前期媒體報(bào)道的多少有關(guān)。文獻(xiàn)[9]引入了媒體報(bào)道量隨著時(shí)間變化的函數(shù)M(t)，建立了一個(gè)非線(xiàn)性傳染病模型并進(jìn)行了理論分析。

本文將媒體報(bào)道量M視為時(shí)間t的函數(shù)，利用分段連續(xù)函數(shù)β/(1+εMI)來(lái)刻畫(huà)媒體報(bào)道對(duì)感染率的影響，其中ε如式(1)所定義，建立了一個(gè)與媒體報(bào)道有關(guān)且具有分段感染率的傳染病模型，并對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，以此來(lái)研究媒體報(bào)道對(duì)傳染病模型的影響。

1 模型的建立

首先將人群劃分為易感者S(t)和感染者I(t)，M(t)表示t時(shí)刻的媒體報(bào)道量，用β/(1+εMI)來(lái)表示媒體報(bào)道對(duì)疾病傳染病的消減作用，則可得到如下的傳染病模型：

(2)

系統(tǒng)(2)是分段光滑系統(tǒng)，可將其分為兩個(gè)系統(tǒng)，令H(Z)=I-IC，其中Z=(S,I)T，當(dāng)H(Z)<0時(shí)得到的系統(tǒng)稱(chēng)為FG1；當(dāng)H(Z)>0時(shí)得到的系統(tǒng)為FG2。故系統(tǒng)(2)可寫(xiě)成如下的分段光滑系統(tǒng)：

(3)

定義1 對(duì)于分段光滑系統(tǒng)(3)，若點(diǎn)Z*滿(mǎn)足FG1(Z*)=0，H(Z*)<0或者FG2(Z*)=0，H(Z*)>0，那么稱(chēng)點(diǎn)Z*為系統(tǒng)(3)的真平衡態(tài)；如果點(diǎn)Z*滿(mǎn)足FG1(Z*)=0，H(Z*)>0或者FG2(Z*)=0，H(Z*)<0，那么稱(chēng)點(diǎn)Z*為系統(tǒng)(3)的假平衡態(tài)。

2 模型的分析

對(duì)于系統(tǒng)FG1和FG2，解得其無(wú)病平衡點(diǎn)均為E0=(Λ/μ,0，0)，基本再生數(shù)均為R0=Λβ/(μ(γ+μ))。當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)FG1的正平衡點(diǎn)為：E1=((γ+μ)/β,(Λβ-μ(γ+μ))/(βμ),σ(Λβ-μ(γ+μ))/(τβμ))；系統(tǒng)FG2的正平衡點(diǎn)E2滿(mǎn)足：

(4)

計(jì)算出平衡點(diǎn)之后，根據(jù)感染者數(shù)目I和臨界值IC的關(guān)系，以下分兩種情況討論。

2)在IβIC/(γ+μ)+1時(shí)，E1是系統(tǒng)FG1的假平衡態(tài)；當(dāng)1

定理1 對(duì)于子系統(tǒng)FG1，當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，正平衡點(diǎn)E1是局部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)R0<1時(shí)，βΛ/μ-γ-μ=[βΛ-μ(μ+γ)]/μ<0，故E0是局部漸近穩(wěn)定的。

定理2 對(duì)于子系統(tǒng)FG2，當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，正平衡點(diǎn)E2是局部漸近穩(wěn)定的。

證明由定理1和定理2可知，正平衡點(diǎn)E1和E2分別是局部漸近穩(wěn)定的，由Poincare-Bendixon定理，只需證明系統(tǒng)不存在極限環(huán)即可。

取Dulac函數(shù)B=1/(SI)，則有：BF=Λ/(SI)-β/(1+εMI)-(μ/I)+(γ/S)，BG=β/(1+εMI)-(γ/S)-(μ/S)，可得：當(dāng)IIC時(shí)，?(BF)/?S+?(BG)/?I=-Λ/(S2I)-γ/S2-βM/(1+MI)2<0。故由Dulac準(zhǔn)則知系統(tǒng)(2)不存在極限環(huán)。 所以，在給定條件下，E1和E2分別是全局漸近穩(wěn)定的。定理3證畢。

3 結(jié)論