譚高山，陳松林

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

隨著學(xué)科的發(fā)展以及學(xué)科間的相互滲透，高校教師應(yīng)該認(rèn)識(shí)到科研對(duì)教學(xué)的重要作用，科研不僅能夠鍛煉創(chuàng)新能力、更新知識(shí)結(jié)構(gòu)、完善知識(shí)體系,而且更是增強(qiáng)教學(xué)深度、拓展教學(xué)廣度不可或缺的重要一環(huán)。高校教師應(yīng)該：以教學(xué)帶科研，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)問題；以科研促教學(xué)，及時(shí)解決問題，將科研思想和科研成果直接服務(wù)于教學(xué)，反哺教學(xué)。

數(shù)值分析是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的課程，傳統(tǒng)教學(xué)通常是以教科書為依據(jù)，以教師講授、學(xué)生做題為主，主要任務(wù)是對(duì)書本知識(shí)進(jìn)行傳授，并通過閉卷考試對(duì)學(xué)生進(jìn)行考核。這種教學(xué)模式忽略了學(xué)生在數(shù)值分析教學(xué)中的巨大作用，學(xué)生機(jī)械地學(xué)習(xí)知識(shí)、不去思考，主觀能動(dòng)性和發(fā)散性思維難以得到提高，很難真正掌握知識(shí)，學(xué)習(xí)興趣不大，更無從談應(yīng)用和創(chuàng)新?，F(xiàn)以數(shù)值分析的課程教學(xué)為例，探討科研反哺教學(xué)的意義及實(shí)施。

一、科研對(duì)教學(xué)的重大意義

(一)科研有助于教學(xué)內(nèi)容的選擇和更新

數(shù)值分析的教學(xué)內(nèi)容雖然是基礎(chǔ)理論和基本算法, 但其應(yīng)用性和發(fā)展性較明顯,要使學(xué)生真正掌握解決問題的本領(lǐng)就必須站在學(xué)科的最前沿, 科研是使前沿成果及時(shí)反映到教學(xué)中來的直接辦法[1]。教師要準(zhǔn)確地把握所授課程在整個(gè)專業(yè)中的地位，將自己在高水平科研中獲得的經(jīng)驗(yàn)及科學(xué)新成就及時(shí)反映到教學(xué)中去，從而提高學(xué)生的知識(shí)水平。通過科研，教師才能更好地了解課程，并為課程教學(xué)選擇恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容和教學(xué)方法。譬如，大部分?jǐn)?shù)值分析教材和大綱在數(shù)值逼近這部分濃墨重彩地講了Lagrange插值和Newton插值，事實(shí)上，這兩種方法在工程上基本不用。筆者從科研中體會(huì)到：這些插值算法在理論上講清即可，不應(yīng)該成為數(shù)值分析的重點(diǎn)內(nèi)容，這部分的重點(diǎn)應(yīng)該是分段光滑逼近和不同準(zhǔn)則下的擬合逼近或不同擬合方法。如果局限于學(xué)時(shí)，至少也應(yīng)該講清楚不同擬合思想。

(二)科研對(duì)教學(xué)的促進(jìn)作用

濃厚的科研氛圍和繁榮的科研狀況對(duì)教學(xué)環(huán)境產(chǎn)生直接影響，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)探索。科學(xué)研究是提高教學(xué)質(zhì)量的最有效的方法，也是進(jìn)行教學(xué)改革的重要保證。

教師有了系統(tǒng)的科學(xué)研究和豐富的理論指導(dǎo),在教學(xué)上就能做到游刃有余，把科研與教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來, 把最新的知識(shí)和信息傳遞給學(xué)生,從而豐富課堂教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生的思維方式和創(chuàng)新能力,通過高水平的科學(xué)研究提高現(xiàn)有課程的教學(xué)水平, 才能培養(yǎng)高水平的學(xué)生，造就有創(chuàng)新能力的人才。

二、數(shù)值分析類課程中科研反哺教學(xué)的應(yīng)用探究

數(shù)據(jù)擬合是工程上進(jìn)行數(shù)值逼近的常用手段之一。一般《數(shù)值分析》教材具體講授直線的最小二乘擬合。若抽象講授擬合思想，學(xué)生無法理解；具體地講直線的最小二乘擬合，學(xué)生又會(huì)把這部分知識(shí)學(xué)“死”了，甚至通過記公式的方式應(yīng)付考試。因此實(shí)際教學(xué)中應(yīng)該從直線的最小二乘擬合出發(fā)，使得學(xué)生對(duì)于簡(jiǎn)單的擬合思想和具體操作有清晰的認(rèn)識(shí)，引入實(shí)際問題，使學(xué)生了解擬合問題的復(fù)雜性，從而理解一般擬合思想。由于實(shí)際問題比較復(fù)雜，理解和處理起來往往無處下手。結(jié)合科研項(xiàng)目，筆者提出了幾何特征的精度檢測(cè)問題[2]，即求點(diǎn)到理論模型的距離分布。這一問題在工程領(lǐng)域通過數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)+模型配準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)。筆者在課堂教學(xué)中把這一問題歸結(jié)為擬合問題，讓學(xué)生從擬合問題的角度進(jìn)行分析解決。

(一) 線性最小二乘擬合思想

距離平方和最小準(zhǔn)則在各個(gè)誤差之間建立了一種平衡，從而防止某一個(gè)極端誤差取得支配地位。精度檢測(cè)問題的最小二乘擬合中所有測(cè)量點(diǎn)按照Guass分布盡可能分布在理論模型上。

直線的最小二乘擬合中所有點(diǎn)滿足直線方程，問題的數(shù)值解可以轉(zhuǎn)化為如下線性問題：

幾何和代數(shù)再一次不謀而合，過兩點(diǎn)確定直線，方程有唯一解；過多個(gè)點(diǎn)無法確定直線，方程矛盾，無解。最小二乘近似解照顧所有方程成立，學(xué)生對(duì)高等代數(shù)中線性方程組的最小二乘解也有了直觀的幾何認(rèn)識(shí)。從概率角度，即所有點(diǎn)按照誤差正態(tài)分布在直線上。另外，利用向量知識(shí)，可以給出擬合問題的誤差向量，并通過適定的向量范數(shù)來定義誤差函數(shù)，通過優(yōu)化誤差函數(shù)可獲得理論曲線最優(yōu)位置。課堂教學(xué)中也引發(fā)了探索關(guān)于矛盾方程解法的興趣，以及關(guān)于誤差按照什么分布進(jìn)行精度檢測(cè)的問題思考。

(二) 一般(非線性)最小二乘擬合模型

其中α為擬合函數(shù)s(x,α)的待定參數(shù)。舉平面圓的擬合例子，學(xué)生對(duì)α有了更直觀的認(rèn)識(shí)，在線性問題里即直線的參數(shù)(a,b)。通過圓的簡(jiǎn)單例子，學(xué)生也意識(shí)到擬合函數(shù)s(x,α)是數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化規(guī)律，這是解決擬合問題的前提和關(guān)鍵。

“數(shù)學(xué)老師會(huì)做函數(shù)逼近問題，但是未必會(huì)解決工程上的擬合問題，因?yàn)樗恢缹?shí)際的函數(shù)變化規(guī)律”，那么幾何特征的精度檢測(cè)問題中s(x,α)又是什么呢？ 教學(xué)中通過提供參考文獻(xiàn)讓學(xué)生課后閱讀與思考的方式，讓學(xué)生自己探究問題，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)與工程問題的關(guān)系有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。

(三)直線度，圓度、球度等簡(jiǎn)單幾何特征的精度檢測(cè)實(shí)例

通過課堂教學(xué)，學(xué)生更夠直接動(dòng)手解決直線度問題，但圓度、球度問題中圓和球的擬合怎么表示成線性問題是關(guān)鍵。學(xué)生自己動(dòng)手推導(dǎo)圓和球面的參數(shù)表示形式：

x2+y2+ax+by+c=0

x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0

對(duì)函數(shù)的參數(shù)線性表示形成了初步認(rèn)識(shí)，并進(jìn)一步完備了關(guān)于函數(shù)的認(rèn)識(shí)如二元二次函數(shù)從參數(shù)的角度來說是線性的

(四)科研中碰到的幾何精度問題的思考

通過課堂教學(xué)，筆者把關(guān)于復(fù)雜幾何特征精度的科研思想和科研成果傳遞給學(xué)生。引導(dǎo)學(xué)生思考：光滑的曲線曲面(逼近函數(shù))盡可能反應(yīng)點(diǎn)的變化規(guī)律，盡可能過這些點(diǎn)的原則有哪些？或者說除了利用正態(tài)分布誤差還可以考慮什么分布？課堂討論“盡可能過這組數(shù)據(jù)點(diǎn)”的擬合準(zhǔn)則怎么表示，學(xué)生積極發(fā)言，參與課堂教學(xué)。

這樣的課堂討論不僅活躍了課堂氣氛，增加了教學(xué)吸引力，而且有利于學(xué)生養(yǎng)成自我思考的習(xí)慣，從而培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

(五)實(shí)際問題建模與求解

復(fù)雜曲面的表示并沒有解析式，從而離散的表示，這屬于數(shù)字幾何的知識(shí)范疇，也符合了關(guān)于數(shù)值分析研究問題的“連續(xù)問題的離散化表示”的描述。學(xué)生對(duì)課本中曲面的表示和科研問題中曲面的離散描述有了切身體會(huì)。這樣一來傳統(tǒng)意義上的擬合問題就轉(zhuǎn)化為三維剛體變換問題，從而最小二乘擬合準(zhǔn)則下的配準(zhǔn)問題建模為李群SE(3)上的非線性優(yōu)化問題。

非線性參數(shù)求解是學(xué)生的知識(shí)盲區(qū)，利用令偏導(dǎo)數(shù)為零的方法獲得的不再是線性方程組，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)非線性優(yōu)化問題的求解產(chǎn)生學(xué)習(xí)的欲望，隨著學(xué)科專業(yè)細(xì)化和研究的深入，培養(yǎng)計(jì)劃提供的知識(shí)結(jié)構(gòu)可能不夠完善。學(xué)生在該課上獲得了優(yōu)化的思想意識(shí)，并有了自我研究?jī)?yōu)化求解的內(nèi)驅(qū)力。學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)和選課也有了相對(duì)明確的方向，而不僅僅是刷學(xué)分了。

四、結(jié)語

科研植根于教學(xué)，并通過反哺教學(xué)達(dá)到科研和教學(xué)的共同發(fā)展。教學(xué)是科研的重要組成部分，科研是教學(xué)的延伸。只有兩者相生相長(zhǎng)，高校教師才能更好地教書育人，服務(wù)社會(huì)。