楊兆中，陳 倩，李小剛，鮮 菊，馮 波，杜 冰

（1.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室，四川成都610500；2.中國石油新疆油田公司，新疆克拉瑪依834000；3.中國石油西部鉆探克拉瑪依鉆井公司，新疆克拉瑪依834008；4.新疆克拉瑪依紅山油田有限責(zé)任公司研究所，新疆克拉瑪依834000）

鄂爾多斯盆地蘊含豐富的油氣資源，杭錦旗區(qū)塊位于鄂爾多斯盆地北部，屬于典型的低滲透致密砂巖氣藏。目前，現(xiàn)場一般采用水平井分段壓裂技術(shù)進行增產(chǎn)改造。水平井壓裂后產(chǎn)能預(yù)測可有效評價壓裂改造效果，以產(chǎn)能為目標(biāo)函數(shù)可優(yōu)化裂縫參數(shù)及布縫方案［1-6］?，F(xiàn)在尚未有成熟的壓裂水平井產(chǎn)能計算軟件供現(xiàn)場使用。因此，有必要建立符合實際的水平井分段壓裂產(chǎn)能預(yù)測模型，并編制簡單高效的產(chǎn)能計算軟件。GIGER等首次建立數(shù)學(xué)模型來研究壓裂水平井產(chǎn)能，但是該模型不能很好地耦合流體的流動過程［7］。SOLIMAN等在此基礎(chǔ)上，將裂縫中流體的流動考慮為徑向流，得到單一裂縫下水平井產(chǎn)能，再通過產(chǎn)能疊加得到多條裂縫下水平井產(chǎn)能［8］。OZKAN等研究單裂縫的解析法，運用疊加原理得到壓裂后水平井產(chǎn)能［9］，但是，該方法對裂縫進行理想化簡化，即水力裂縫垂直水平井筒及裂縫間距相等，并忽略裂縫間的相互干擾。中國學(xué)者開展了大量關(guān)于分段壓裂水平井產(chǎn)能的研究［10-15］，郎兆新等運用復(fù)位勢理論推導(dǎo)水平井產(chǎn)能公式［16-18］，該解析方法理論較為成熟。徐嚴(yán)波等通過離散裂縫，應(yīng)用復(fù)位勢理論和勢疊加原理等，建立壓裂水平井多條裂縫相互干擾的產(chǎn)能計算新模型［19］。曾凡輝等在此基礎(chǔ)上，考慮壓裂水平井裂縫段產(chǎn)量非均勻流入、裂縫內(nèi)變質(zhì)量以及多裂縫間的相互干擾，采用空間和時間離散技術(shù)，建立低滲透油藏壓裂水平井儲層滲流和裂縫流動相耦合的非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量計算模型［20］。何軍等在裂縫離散的基礎(chǔ)上，應(yīng)用無限大地層點匯位勢理論、勢疊加原理及矩陣變換方法，推導(dǎo)了單裂縫壓裂水平井和多裂縫壓裂水平井產(chǎn)能計算線性方程組［21］。前人均未考慮啟動壓力梯度，且對裂縫做了理想化假設(shè)，未討論不同裂縫形態(tài)及布縫方案對水平井產(chǎn)能的影響。因此，筆者基于點匯法離散裂縫，運用位勢理論和勢疊加原理，考慮縫間干擾及啟動壓力梯度、耦合儲層滲流與裂縫流動，推導(dǎo)低滲透致密砂巖氣藏壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能計算模型，并分析不同裂縫形態(tài)及布縫方案下的水平井產(chǎn)能。

1 分段壓裂水平井產(chǎn)能模型建立

1.1 物理模型

低滲透致密砂巖氣藏水平井分段壓裂后，流體流動過程為：基質(zhì)—裂縫—水平井井筒。物理模型假設(shè)條件如下：①無限大地層均質(zhì)各向同性，且頂?shù)追忾]，水平井井筒位于氣藏中部；②氣體在低滲透致密砂巖氣藏基質(zhì)中流動存在啟動壓力梯度，裂縫內(nèi)滲流符合達西定律；③裂縫垂直于水平井井筒，且完全穿透產(chǎn)層；④氣體在基質(zhì)和裂縫中等溫滲流，且只通過裂縫流向水平井井筒。

前人研究結(jié)果［22-23］表明，水平井套管射孔完井段內(nèi)多簇裂縫在競爭延伸過程中會產(chǎn)生明顯的應(yīng)力干擾作用，外側(cè)裂縫在延伸過程中發(fā)生偏轉(zhuǎn)，形成彎裂縫，模擬結(jié)果如圖1所示。

圖1 彎裂縫示意Fig.1 Schematic of curved fracture

1.2 數(shù)學(xué)模型

以無限大地層中任一點的壓降公式為基礎(chǔ)，建立不穩(wěn)定滲流偏微分方程為：

初始條件為：

邊界條件為：

通過以上偏微分方程，結(jié)合氣體擬壓力函數(shù)及平面直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可得無限大地層定流量點匯的壓降公式為：

每一簇彎裂縫離散后均形成n個點匯（圖2）。以水平井井筒和裂縫為基準(zhǔn)建立坐標(biāo)系（圖3），無論裂縫形態(tài)如何，均可以根據(jù)每個點的坐標(biāo)，得到第i簇裂縫第j個點匯對儲層中某點產(chǎn)生的壓降。由位勢理論和勢疊加原理，推導(dǎo)N簇裂縫存在時，t時刻無限大地層中某點（x，y）產(chǎn)生的壓降表達式為：

圖2 離散裂縫示意Fig.2 Schematic of discrete fracture

圖3 坐標(biāo)系示意Fig.3 Fracture distribution and its coordinate

在低滲透致密砂巖氣藏中，由于儲層物性差，往往存在啟動壓力梯度。將啟動壓力梯度項引入（5）式，則第i簇裂縫左翼尖端壓降公式為：

同理可得第i簇裂縫右翼尖端壓降公式為：

由于裂縫左右翼存在差異，因此將端部2個壓力的平均值作為第i簇裂縫的端部壓力，即：

考慮真實氣體，將擬壓力函數(shù)轉(zhuǎn)化為壓力，則：

對流體從地層到裂縫、裂縫到井筒的壓降公式 進行耦合，將（9）式代入（10）式得產(chǎn)能預(yù)測模型為：

考慮氣體從裂縫尖端到井筒的流動為擬徑向 流，井筒周圍存在表皮傷害，引入表皮系數(shù)可得：

建立低滲透致密砂巖氣藏考慮啟動壓力梯度及縫間干擾的壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測模型，每簇裂縫可以得到1個方程，含有N個未知數(shù)的N個線性方程組構(gòu)成該模型。求解該線性方程組可得每簇裂縫的產(chǎn)量，求和即可計算水平井的產(chǎn)量，即：

2 實例應(yīng)用

鄂爾多斯盆地杭錦旗區(qū)塊錦58井區(qū)盒3層基礎(chǔ)數(shù)據(jù)包括：有效儲層厚度為10 m，基質(zhì)孔隙度為8.56%，基質(zhì)滲透率為0.45 mD，地層溫度為94℃，原始地層壓力為26 MPa，地層壓縮系數(shù)為3×10-4MPa-1，氣體黏度為0.02 mPa·s，天然氣偏差因子為0.957。水平井分段多簇壓裂每一段形成3簇裂縫，若裂縫不轉(zhuǎn)向則形成常規(guī)的直裂縫。2種形態(tài)裂縫的總裂縫半長在平面內(nèi)相等，縫高與儲層厚度一樣。根據(jù)建立的產(chǎn)能預(yù)測模型（（11）式），分別計算彎裂縫和直裂縫2種情況下的日產(chǎn)量和累積產(chǎn)量。

從模擬結(jié)果可以看出，彎裂縫與直裂縫日產(chǎn)量差值在2×104m3以內(nèi)，彎裂縫的產(chǎn)量較高；隨著生產(chǎn)的進行，彎裂縫與直裂縫日產(chǎn)量差值逐漸變小，且穩(wěn)定在0.5×104m3左右（圖4）。在生產(chǎn)初期，彎裂縫與直裂縫累積產(chǎn)量差值較小，隨后逐漸變大（圖5）。因此，水平井壓裂形成的彎裂縫比傳統(tǒng)直裂縫的增產(chǎn)效果好，前人對裂縫做出的理想化假設(shè)導(dǎo)致計算產(chǎn)量偏小。

當(dāng)簇間距較小時，由于較強的縫間應(yīng)力干擾作用，外側(cè)裂縫將發(fā)生嚴(yán)重彎曲，同時抑制中間裂縫的延伸。當(dāng)簇間距過大時，外側(cè)裂縫由于受干擾較弱則不會發(fā)生彎曲。因此，建議采用偏小的簇間距，但可以通過調(diào)整射孔完井參數(shù)（如射孔數(shù)、孔眼直徑）使中間裂縫變長，同時獲得彎曲的外側(cè)裂縫［18］。

圖4 3簇裂縫日產(chǎn)量Fig.4 Daily production rate for three cluster fractures

圖5 3簇裂縫半年累積產(chǎn)量Fig.5 Cumulative production of three cluster fractures in half a year

3 布縫方案優(yōu)化

不同的裂縫形態(tài)及布縫方案對水平井產(chǎn)能影響較大，因此，基于現(xiàn)場情況及理論研究，在每段3簇和4簇裂縫下，選取裂縫導(dǎo)流能力、總裂縫半長、縫長比、間距比這4個裂縫參數(shù)，得到最優(yōu)的布縫方案。正交試驗設(shè)計是研究多因素多水平的一種設(shè)計方法，通過對正交設(shè)計試驗計算結(jié)果進行分析，可以得出壓裂水平井的主要裂縫參數(shù)對產(chǎn)能的影響程度。裂縫參數(shù)包括：裂縫導(dǎo)流能力分別為30，40和50 D·cm，總裂縫半長分別為300，400和500 m，縫長比（Lf1/Lf2）分別為0.5，1和2，間距比（d1/d2）分別為1和2。根據(jù)4個裂縫參數(shù)作出4因素3水平正交試驗方案（表1，表2）。

表1 3簇裂縫正交試驗Table1 Orthogonal test of three cluster fractures

表2 4簇裂縫正交試驗Table2 Orthogonal test of four cluster fractures

由每段3簇裂縫的9組正交試驗結(jié)果（圖6）分析得出每個裂縫參數(shù)的最優(yōu)值，即裂縫導(dǎo)流能力為50 D·cm，總縫長為500 m，縫長比為2，間距比為2。該最優(yōu)組合下的布縫方案，增產(chǎn)效果最好。在每段4簇裂縫的9組正交試驗結(jié)果（圖7）中，180 d累積產(chǎn)量最高的布縫組合與每段3簇裂縫的相同，因此推薦杭錦旗區(qū)塊水平井分段多簇壓裂段內(nèi)布縫方式為“U”型，即兩邊長、中間短，且采用非均勻布縫模式，對每段4簇裂縫采用“兩邊疏，中間密”。

圖6 3簇裂縫不同方案下的累積產(chǎn)量Fig.6 Cumulative production of three cluster fractures under different schemes

圖7 4簇裂縫不同方案下的累積產(chǎn)量Fig.7 Cumulative production of four cluster fractures under different schemes

正交試驗各影響因素水平對目標(biāo)的效應(yīng)極差可以反映主次因素的順序。分析每段3簇裂縫和4簇裂縫的效應(yīng)曲線（圖8，圖9），得到不同裂縫因素對低滲透致密砂巖氣藏水平井分段多簇壓裂產(chǎn)能的影響由強到弱依次為總裂縫半長、縫長比、裂縫導(dǎo)流能力、間距比?？偭芽p半長越長，水平井產(chǎn)量越高。但總裂縫半長與經(jīng)濟成本相關(guān)，不能一味追求長縫增產(chǎn)，因此在一定經(jīng)濟條件下，應(yīng)該適當(dāng)增加裂縫總長以提高天然氣產(chǎn)量。

圖8 3簇裂縫的效應(yīng)曲線Fig.8 Effect curve of three cluster fractures

圖9 4簇裂縫的效應(yīng)曲線Fig.9 Effect curve of four cluster fractures

4 結(jié)論

在低滲透致密砂巖氣藏中，考慮啟動壓力梯度的影響，通過點匯法離散裂縫，再根據(jù)位勢理論和勢疊加原理，建立考慮裂縫間相互干擾的低滲透致密砂巖氣藏壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能計算模型。將裂縫離散成n個點匯，不僅可以計算直裂縫的產(chǎn)量，還可以計算因應(yīng)力干擾而轉(zhuǎn)向的彎裂縫的產(chǎn)量。

以鄂爾多斯盆地杭錦旗區(qū)塊錦58井區(qū)盒3儲層為靶區(qū)，將水平井壓裂形成的彎裂縫與常規(guī)直裂縫的日產(chǎn)量與累積產(chǎn)量進行對比，結(jié)果表明彎裂縫的產(chǎn)量更高，增產(chǎn)效果更好，前人對裂縫作出的理想化假設(shè)導(dǎo)致計算產(chǎn)量偏小。

針對不同裂縫參數(shù)分別建立了每段3簇和每段4簇裂縫的9組正交試驗，研究了每段不同裂縫簇數(shù)條件下裂縫參數(shù)對于水平井壓裂產(chǎn)能的影響規(guī)律。結(jié)果顯示，每段3簇裂縫以及每段4簇裂縫所得計算結(jié)果一致，即裂縫參數(shù)對壓裂產(chǎn)能的影響由強到弱依次為總裂縫半長、縫長比、裂縫導(dǎo)流能力、間距比，優(yōu)選出的最佳每段多簇壓裂布縫方案為“U”型布縫以及非均勻布縫模式，其中，每段4簇裂縫條件下建議“兩邊疏、中間密”進行布縫。

符號解釋：

p——壓力，MPa；r——徑向距離，m；η——導(dǎo)壓系數(shù)，μm2·MPa（/mPa·s）；t——時間，s；p（r，0）——0時刻的地層壓力，MPa；pi——原始地層壓力，MPa；rw——井半徑，m；q ——產(chǎn)量，m3/s；μ ——氣體黏度，mPa·s；Ki——儲層滲透率，D；h ——儲層厚度，m；p（r，t）——t時刻的地層壓力，MPa；ψi——原始地層擬壓力，MPa2（/mPa·s）；ψ（x，y，t）——t時刻地層任一點處的擬壓力，MPa2（/mPa·s）；x——橫坐標(biāo)變量，m；y——縱坐標(biāo)變量，m；N——裂縫數(shù)，簇；G——啟動壓力梯度，MPa/m；Ei——冪積分函數(shù)；x0——氣藏中任一點的橫坐標(biāo)，m；y0——氣藏中任一點的縱坐標(biāo)，m；Gfij——第i簇裂縫j點質(zhì)量流量，kg/s；i——裂縫數(shù)，簇，其值為1,2，…，N；j——每簇裂縫離散點個數(shù)，個；xfij——第i簇裂縫j點的橫坐標(biāo)，m；yfij——第i簇裂縫j點的橫坐標(biāo)，m；ψ(x ,y,t)——第i簇裂縫左lfilfi翼尖端平均擬壓力，MPa2（/mPa·s）；xlfi——第i簇裂縫左翼尖端橫坐標(biāo)，m；ylfi——第i簇裂縫左翼尖端縱坐標(biāo)，m；xfi1——第i簇裂縫第1個點的橫坐標(biāo)，m；yfi1——第i簇裂縫第1個點的縱坐標(biāo)，m；ψ(x,y,t)——第i簇裂縫右翼尖端平均擬壓rfirfi力，MPa2（/mPa·s）；xrfi——第i簇裂縫右翼尖端橫坐標(biāo)，m；yrfi——第i簇裂縫右翼尖端縱坐標(biāo)，m；xfin——第i簇裂縫第n個點的橫坐標(biāo)，m；yfin——第i簇裂縫第n個點的縱坐標(biāo)，m；re——供給半徑，m；z——氣體壓縮因子；ψ(x ,y,t)——第 i簇裂fifi縫尖端平均擬壓力，MPa2（/mPa·s）；p(x,y,t)——裂縫尖端平均fifi壓力，MPa；pSC——標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)壓力，MPa；Z——氣體偏差因子；T——儲層溫度，K；TSC——標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)溫度，K；Qfij——第i簇裂縫第j點的氣體流量，m3/s；n——離散點匯數(shù)，個；pwfi——井底流壓，MPa；Qfi——第i簇裂縫的產(chǎn)量，m3/s；Kf——裂縫滲透率，μm2；wi——裂縫寬度，m；Lfli——第i簇裂縫左翼長度，m；Lfri——第i簇裂縫右翼長度，m；S——表皮系數(shù)；Q——水平井產(chǎn)量，m3/s。