湯愛花

案例背景

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教學(xué)中要鼓勵(lì)與提倡解決問題策略的多樣化，尊重學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平.意即教師在課堂教學(xué)中應(yīng)關(guān)注問題設(shè)計(jì)的層次性、開放性，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與探索活動(dòng)，展示其解決問題的策略，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高思維水平.筆者結(jié)合一節(jié)課——（“2.5直線與圓的位置關(guān)系”選自《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（蘇科版）》九年級(jí)上冊(cè)第二章2.5）中一道例題的教學(xué)片段，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)嘗試與反思，和大家共勉.

案例過程

例題? 如圖1所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠CAD=∠ABC.判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由.

師：請(qǐng)生1來談?wù)勀闶窃鯓铀伎疾⒔鉀Q的？

生1：?jiǎn)栴}是判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，根據(jù)條件和圖形知道OA是⊙O的半徑，因此，只要得到OA⊥AD即可.AB是⊙O的直徑，所以∠C=90°，所以∠CAB+∠ABC=90°，又∠CAD=∠ABC，所以∠CAB+∠CAD=90°，即OA⊥AD即可，所以直線AD與⊙O相切.

師：其實(shí)問題1中的條件有多余的.不相信？請(qǐng)看變式題1，并思考如何解決？

變式題1? 如圖2所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAD=∠ABC.判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由.

生2：開始，我想到連接OA，但不知如何得到OA⊥AD，始終覺得條件∠CAD=∠ABC派不上用場(chǎng).小組討論時(shí)，我們把這個(gè)問題與問題1做了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)問題的圖形中線段AB的位置發(fā)生了變化，當(dāng)AB是⊙O的直徑時(shí)（即問題1）非常容易解決，于是大家思考是否要過點(diǎn)A作一條直徑？嘗試后恍然大悟.

具體是：作直徑AE，連接CE（如圖3所示）.則∠ABC=∠ACE，由問題1的解決容易得到：OA⊥AD，所以直線AD與⊙O相切.

師：生2的分析與思考值得每位同學(xué)借鑒.我們?cè)谔剿鲉栴}解決過程中既要關(guān)注問題的條件與結(jié)論，也要關(guān)注問題涉及的圖形與平時(shí)所熟悉的基本圖形之間存在怎樣的變化與聯(lián)系.

生3：思考這個(gè)問題時(shí)，我先連接OA，發(fā)覺條件∠CAD=∠ABC派不上用場(chǎng).

由同弧所對(duì)圓周角與圓心角的關(guān)系發(fā)現(xiàn)：只要再連接OC即可得到∠AOC=2∠ABC.又OA=OC，所以∠OAC=∠OCA.因?yàn)椤螦OC+∠OAC+∠OCA=180°，所以可得2∠ABC+2∠OAC=180°，所以∠ABC+∠OAC=90°，由∠CAD=∠ABC可知：∠CAD+∠OAC=90°，即OA⊥AD，所以直線AD與⊙O相切.

師（小結(jié)2）：很好！現(xiàn)在大家找到了兩種解決變式題1的途徑.其實(shí)，這兩種方法告訴我們，問題解決的策略發(fā)生變化時(shí)，具體解決方法就有差異.顯然思考過程是非常關(guān)鍵的，只有對(duì)所學(xué)知識(shí)、方法有清晰的理解，才能尋求出好的解題策略.

變式題2? 如圖1所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑.請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使直線AD是⊙O的切線，并說明理由.（不添加輔助線和其他字母）

生：（全體學(xué)生）添加條件∠CAD=∠ABC即可.

師：還有其他添加條件的方法嗎？

生4：只需添加條件AB⊥AD即可.

師：生4的方法不行嗎？

生：（集體回答）行！只是太簡(jiǎn)單了.

師：（小結(jié)3）我們解決問題時(shí)不就想尋求簡(jiǎn)單一些的方法嗎？從這個(gè)問題的解決可以看出：許多同學(xué)在探究問題時(shí)往往視問題本身于不顧，導(dǎo)致有時(shí)想了許多卻找不著北.

案例反思

本節(jié)課的例題教學(xué)關(guān)注問題設(shè)計(jì)的層次性與開放性，通過對(duì)變式問題的探究，使不同層次學(xué)生都有所收獲;同時(shí)關(guān)注了問題探索過程的有效教學(xué)與指導(dǎo)，使學(xué)生的思維水平有較好的提升.

1.問題設(shè)計(jì)有利于學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)

根據(jù)問題的提出共創(chuàng)設(shè)了3道變式問題，通過問題的探究促使學(xué)生積極主動(dòng)地參與課堂，對(duì)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生給予鼓勵(lì)和指導(dǎo).

2.策略分析有利于揭示思維過程

變式題1的思維含量較高，尤其學(xué)生在思考第二種解法時(shí)顯得更加困難.在組織教學(xué)時(shí)，教師請(qǐng)生2回答時(shí)要求“談?wù)勀阕畛醯南敕靶〗M討論的情況”，生2完成解答后又提出“還有其他不同解決辦法嗎？”，接著對(duì)生3的回答給予了充分肯定.

對(duì)變式題3的策略分析與解決則由學(xué)生盡情發(fā)揮，教師只是從分析方法層面給予了歸納與指導(dǎo).

3.適時(shí)小結(jié)有利于提高思維水平

在這組問題教學(xué)的過程中，教師共安排4次階段性小結(jié)，使學(xué)生明確探索問題的一般性方法，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)歸納、類比和總結(jié).長(zhǎng)期這樣，學(xué)生的分析問題能力、思維水平必然會(huì)有明顯的提高，從而達(dá)到由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變.