夏素芬

簡單的線性規(guī)劃一直是高考的高頻考點，文理都有，一般以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，分值5分，近幾年難度不大，趨于穩(wěn)定，更多的是考查用數(shù)形結(jié)合思想求目標(biāo)函數(shù)最值的工具性.如果復(fù)習(xí)得當(dāng)，則事半功倍.本文將常見的線性規(guī)劃題目類型歸納如下.

一、基礎(chǔ)型

例1?? （2015年文15）若x，y滿足約束條件 x+y-2≤0，x-2y+1≤0，2x-y+2≥0，?? 則z=3x+y的最大值為 .

答案? 4.

解析? 作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：3x+y=0，平移直線l0，當(dāng)直線l：z=3x+y過點A時，z取最大值，

由 x+y-2=0，x-2y+1=0，

解得A（1，1），∴z=3x+y的最大值為4.

點評? 此種類型是考查線性規(guī)劃題目的基本類型，目標(biāo)函數(shù)是線性表達(dá)式，把z看作直線y=-3x+z的縱截距，有時z可看作線性函數(shù)的縱截距的倍數(shù)，反映了求解線性規(guī)劃問題的基本方法—平移法.

二、幾何型

例2?? 若實數(shù)x，y滿足 x≥0，y≥0，4x+3y≤12，? 則z= y+3 x+1 的取值范圍是（? ）.

A.? 3 4 ，7

B.? 2 3 ，5

C.? 2 3 ，7

D.? 3 4 ，7

答案? D.

解析? 作出可行域如圖中陰影部分所示，將目標(biāo)函數(shù)z= y+3 x+1 看作過兩點（x，y）和P（-1，-3）的直線的斜率，結(jié)合可行域可得出kPA= 3 4 ，kPB=7，所以得出選項D.

點評? 此種線性規(guī)劃題目特點是——目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式不是線性形式，但卻具有明確的幾何意義，依據(jù)幾何意義，結(jié)合可行域可找出目標(biāo)函數(shù)的最值.常遇到具有幾何意義的表達(dá)式還有兩點間距離的平方、點到直線的距離等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)取值范圍.

三、應(yīng)用型

例3?? （2016文、理16）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元.

答案? 216000.

解析? 設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B分別為x件，y件，利潤之和為z元，那么由題可得：

約束條件 1.5x+0.5y≤150，x+0.3y≤90，5x+3y≤600，x≥0，y≥0，

目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y.

約束條件等價于 3x+y≤300，10x+3y≤900，5x+3y≤600，x≥0，y≥0，? ①

作出二元一次不等式組①表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖中陰影部分所示.

將z=2100x+900y變形，得y=- 7 3 x+ z 900 ，

作直線：y=- 7 3 x并平移，當(dāng)直線y=- 7 3 x+ z 900 經(jīng)過點M時，z取得最大值.

解方程組 10x+3y=900，5x+3y=600，? 得M的坐標(biāo)為（60，100）.

所以當(dāng)x=60，y=100時，

zmax=2100×60+900×100=216000.

故生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為216000元.

點評? 此種類型的特點是可行域約束條件和目標(biāo)函數(shù)沒有直接給定，需要根據(jù)題意分析列出即建立線性規(guī)劃模型，首先解決數(shù)學(xué)問題，再反饋到實際生活中去，充分體現(xiàn) 了線性規(guī)劃知識作為數(shù)學(xué)工具在實際生活的應(yīng)用.

四、變化型

例4?? （2017石家莊二模）已知x，y滿足約束條件 2x-y≥0，2x+y≤6，y≥ 1 2 ，? 則y+ 1 2x 的最大值為 .

答案?? 10 3 .

解析? 設(shè)y+ 1 2x =z，則

y= - 1 2? x +z，

將y= - 1 2? x 向上平移至A? 3 2 ，3 處z最大，

此時，zmax=3+ 1 2× 3 2? = 10 3 .

點評? 此類題型的特點是目標(biāo)函數(shù)不是熟悉的直線型，也不具有明顯的幾何意義，感覺無從下手，但按照解決線性規(guī)劃題目的基本方法嘗試下去，會發(fā)現(xiàn)仍然可用平移法解決問題，只不過平移的函數(shù)變成了反比例函數(shù).

五、參數(shù)型

例5?? 設(shè)x，y滿足約束條件 x+y≥1，x-y≥-1，2x-y≤2，?? 若目標(biāo)函數(shù) z=ax+3y僅在點（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍為（? ）.

A.（-6，3） B.（-6，-3） C.（0，3） D.（-6，0]

答案? A.

解析? 作出約束條件 x+y≥1，x-y≥-1，2x-y≤2? 表示的可行域如圖所示，將z=ax+3y化成y=- a 3 x+ z 3 ，

需要將- a 3 與可行域的邊界所在直線的斜率進(jìn)行比較驗證是否符合題意，經(jīng)討論可得：

當(dāng)-1<- a 3 <2時，y=- a 3 x+ z 3 僅在點（1，0）處取得最小值，即目標(biāo)函數(shù)z=ax+3y僅在點A（1，0）處取得最小值，解得-6<a<3.故選A.

點評? 此類問題的特點是目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，加大了題目的難度，求解時需要根據(jù)題意對參數(shù)進(jìn)行討論，有時參數(shù)還可以出現(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)中.

綜上可知：線性規(guī)劃是解決一類特定問題求最值的特定方法，運用數(shù)形結(jié)合思想，直觀明了.要想線性規(guī)劃題目不失分，首先要打牢基礎(chǔ)，掌握好基礎(chǔ)型，其他類型都是在基礎(chǔ)型的基礎(chǔ)上演變而來，只要牢牢把握住轉(zhuǎn)化、平移的思想，線性規(guī)劃問題將迎刃而解.