陳錦喜

【摘要】? 現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)人教版課本中的例題習(xí)題都具有實(shí)際意義，具有挑戰(zhàn)性，開(kāi)放性，因此積極有效地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好課本上的例習(xí)題，通過(guò)剖析數(shù)學(xué)例題，能使學(xué)生將課堂上所學(xué)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能、技巧，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，掌握有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提高數(shù)學(xué)解題能力。本文擬以人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)課本的一道例題教學(xué)為例，進(jìn)行解題課的課例分析。

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué) 教學(xué)課例

【中圖分類號(hào)】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】? A 【文章編號(hào)】? 1992-7711（2019）02-219-03

一、注重解題課的引用例題的甄選

【教學(xué)設(shè)計(jì)片段1】

教師引入例題：人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)課本87頁(yè)例4：已知⊙O中，AB為直徑，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD和BD的長(zhǎng)。

【分析】

教師在展示例題后向?qū)W生提出以下一系列的問(wèn)題：（1）本題應(yīng)用了圓的哪些知識(shí)點(diǎn)？（2）在圓中計(jì)算線段長(zhǎng)度過(guò)程中遇到有直徑問(wèn)題通常需要使用哪些知識(shí)？（3）本題圖形中還有哪些特殊的圖形？（4）這些圖形可以提供什么解題條件？設(shè)計(jì)這個(gè)教學(xué)活動(dòng)旨在使學(xué)生會(huì)用圓的基本知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算推理，同時(shí)使學(xué)生觀察圖形中的特殊條件，加強(qiáng)幾何直觀能力的養(yǎng)成。老師應(yīng)該首先就題目原有的條件背景充分挖掘更多的問(wèn)題出來(lái)，通常來(lái)說(shuō)即需要不斷反復(fù)問(wèn)還能求什么，怎么求，讓學(xué)生形成在解決了一道例題之后還會(huì)進(jìn)一步思考的習(xí)慣，真正把一道例題所涉及到的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)隨問(wèn)題串的解決而聯(lián)系起來(lái)。

此例題中已知了2條線段長(zhǎng)度，未知線段有4條，例題提問(wèn)求出其中三條，即BC、AD、BD的長(zhǎng)度，教師可以引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，即CD這條線段能求嗎？怎么求呢？需要用到其他3條嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生合作討論，可以通過(guò)作垂線將CD分成兩條線段分別求出來(lái)。具體解答思路過(guò)程為：過(guò)A作垂線AE，證得△AEC為等腰直角三角形，求得CE=AE=3，再根據(jù)勾股定理求得DE=4，即CD=7.本環(huán)節(jié)通過(guò)解決例題中圓的各條未知線段，鞏固學(xué)生利用圓的有關(guān)性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用知識(shí)。有效地激活學(xué)生剛學(xué)的知識(shí)，現(xiàn)代建構(gòu)主義理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者利用經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程，考慮到學(xué)生已經(jīng)具備圓的性質(zhì)和勾股定理等必備的知識(shí)，學(xué)生有能力參與知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的全過(guò)程。

【效果】

對(duì)課本的例題提出的問(wèn)題學(xué)生能夠比較迅速進(jìn)入演算過(guò)程，而且學(xué)生的參與率和結(jié)果的正確率都比較高，但是對(duì)于“額外”提出的問(wèn)題，學(xué)生雖然能積極思考，但是顯然得出結(jié)論的速度慢，能比較快講出思路的學(xué)生少。

【不足】

問(wèn)題的提出沒(méi)有做出適當(dāng)?shù)匿亯|，學(xué)生一下難以找到突破口，所以適當(dāng)給出啟發(fā)提示，既能解決當(dāng)前問(wèn)題，有可以發(fā)展解決更多問(wèn)題的思維。

二、注重啟發(fā)課本例題多種解教學(xué)

課堂教學(xué)過(guò)程中鍛煉學(xué)生積極思考的一種有效途徑就是一題多解，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的討論的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過(guò)營(yíng)造一個(gè)活躍的課堂氣氛，一題多解的本質(zhì)就是通過(guò)讓學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)解題方法，進(jìn)而掌握解題的關(guān)鍵，一題多解，有利提高數(shù)學(xué)的能力與數(shù)學(xué)思維，隨著教育改革的步伐不斷的深入，一題多解的模式成為很多教師進(jìn)入解題課課堂，初中教師可以通過(guò)適當(dāng)?shù)脑O(shè)置一些一題多解的題目，要學(xué)生進(jìn)行自主探討，然后選擇最適合自己掌握，而且簡(jiǎn)單的方法解題。教師的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生自身的經(jīng)驗(yàn)，興趣動(dòng)機(jī)，上，而不是老師，一味的講，學(xué)生一味的模仿，接受某人，要讓學(xué)生們自己來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題，探索并有效的解決問(wèn)題，并為他們提供相互交流的平臺(tái)，讓他們?cè)谧鲋袑W(xué)學(xué)生做的過(guò)程中不斷的成長(zhǎng)，讓我們教室換一種姿態(tài)來(lái)與我們的學(xué)生交流，用一種全新的授課方式走進(jìn)我們的數(shù)學(xué)課堂，讓我們的學(xué)生真正提到了濃濃的數(shù)學(xué)味。

【教學(xué)設(shè)計(jì)片段2】

教師在引導(dǎo)學(xué)生求出CD的長(zhǎng)度過(guò)程中一定會(huì)有學(xué)生提出不同的方法，特別是思維活躍的學(xué)生，可能從不同的角度嘗試著、探討著，教師可以啟發(fā)學(xué)生提出更多種方法求CD的長(zhǎng)度。以下是學(xué)生在老師的點(diǎn)撥下寫(xiě)出的各種解題方法。

學(xué)生a的方法（方法2）：過(guò)B作CD的垂線，解法類似于上面方法1。

學(xué)生b的方法（方法3）：再次變動(dòng)作垂線的位置，過(guò)D作BC的垂線，根據(jù)勾股定理來(lái)列方程解決。具體過(guò)程為：作DF垂直于BC，證得△CDF為等腰直角三角形，設(shè)CF=DF=x，BF=8-x，通過(guò)Rt△DBF列方程x2+（8-x）2=（5）2求得x的值，進(jìn)一步求得CD的長(zhǎng)度。

在幾何圖形中根據(jù)勾股定理列方程是勾股定理的一個(gè)重要的應(yīng)用方式，通過(guò)此題的研究，加深了對(duì)此方式的應(yīng)用認(rèn)識(shí)。

學(xué)生c的方法（方法4）：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，過(guò)D作CA，CB的垂線，將CD轉(zhuǎn)化為一個(gè)正方形的一條對(duì)角線，使用正方形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。

學(xué)生d的方法（方法5）：在前一章知識(shí)《圖形的旋轉(zhuǎn)》的基礎(chǔ)上，根據(jù)特殊圖形（等腰直角三角形）可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造線段和差以及新的特殊圖形（等腰直角三角形）解決問(wèn)題。將△DAC繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DBH，同時(shí)證明△DCH為等腰直角三角形，CD為其直角邊，CH=CB+BH=CB+CA=14，∴CD=7.

【分析】

本課堂的教材內(nèi)容是比較簡(jiǎn)單，背景知識(shí)比較豐富，學(xué)生不難自主選擇自己解題的方法，課堂氣氛空前高漲，幾位同學(xué)的思維很敏捷，介紹方法也很有條理，學(xué)生學(xué)的效果很好，教師以學(xué)生的中心展開(kāi)的教學(xué)，學(xué)生共同探討學(xué)習(xí)內(nèi)容，建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上，數(shù)學(xué)解題課更應(yīng)該是開(kāi)發(fā)創(chuàng)造課程的過(guò)程，只有這樣才能使師生的主體性與生命力的張揚(yáng)發(fā)展成為一個(gè)統(tǒng)一的過(guò)程中，學(xué)生在老師的啟發(fā)點(diǎn)撥下解答的過(guò)程應(yīng)該是充滿著生命活力的，充滿著濃厚趣味性和挑戰(zhàn)性的。從方法1到方法2，3實(shí)際上是“數(shù)與式”由單純的數(shù)字計(jì)算到方程等式建立的具體到稍微抽象的提升，方法4與方法5對(duì)學(xué)生的綜合能力由較高的要求。進(jìn)一步還可以對(duì)從學(xué)生d的方法（方法5）進(jìn)行一般化的提煉，將條件“CA=6，CB=8”改動(dòng)為“CA=4，CB=6”再求CD的長(zhǎng)度，學(xué)生可以求得此時(shí)CD=5，然后，將兩次條件與所得的結(jié)論進(jìn)行一個(gè)對(duì)比，即當(dāng)CA=6，CB=8時(shí)CD=7，當(dāng)CA=4，CB=6時(shí)CD=5，讓學(xué)生猜測(cè)CA、CB、CD這三者是否有某種固定關(guān)系，試著讓學(xué)生寫(xiě)出來(lái)，并進(jìn)行證明。那么本題就演變成了證明CA、CB、CD這三條線段之間的關(guān)系了，學(xué)生可根據(jù)方法五的提示通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)證明此結(jié)論，即CA+CB=CD。教學(xué)過(guò)程當(dāng)中應(yīng)該倡導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，要尊重學(xué)生在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中表現(xiàn)出來(lái)的不同的水平，需要對(duì)不同的層次問(wèn)題解決方法進(jìn)行鋪墊設(shè)置，教學(xué)過(guò)程的展開(kāi)，練習(xí)的安排等，都要盡可能的讓所有的學(xué)生主動(dòng)參與，提出自己的解決問(wèn)題的策略，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人交流當(dāng)中，選擇適合的策略，豐富問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)，提高思維水平。

【效果】

注重學(xué)生在課堂40分鐘內(nèi)有效的鍛煉思維的過(guò)程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生的個(gè)體差異表現(xiàn)在認(rèn)識(shí)方式和思維策略的不同，以及認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力的差異，就是要理解學(xué)生，并尊重學(xué)生個(gè)體差異，滿足學(xué)生都想上進(jìn)的要求，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，盡可能滿足學(xué)生的多樣化學(xué)習(xí)需求，通過(guò)一題多解，不同的學(xué)生獲得不同的啟發(fā)。

【不足】

數(shù)學(xué)解題課應(yīng)該是充滿“探究”數(shù)學(xué)味，對(duì)時(shí)間、效率的要求很高，有限的課堂時(shí)間里，如果教師過(guò)于開(kāi)放，唯恐時(shí)間不夠用，過(guò)于收緊又會(huì)“越俎代庖”代替學(xué)生思考、書(shū)寫(xiě)過(guò)程，不能充分展示學(xué)生的書(shū)寫(xiě)，點(diǎn)撥思維的差異，啟示不同方法的優(yōu)缺。

三、注重精心設(shè)置課本例題變式層層遞進(jìn)教學(xué)

從課本中的例題習(xí)題進(jìn)行變形變換式引申推廣，并通過(guò)一些相關(guān)的練習(xí)，使學(xué)生在解題時(shí)能夠時(shí)常變換，舉一反三，真正提高解題能力，再次加強(qiáng)對(duì)課本例題習(xí)題的教學(xué)，對(duì)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)十分有益，在一個(gè)題引導(dǎo)學(xué)生比較權(quán)衡和各種解法法的利弊優(yōu)劣，選擇解決問(wèn)題的簡(jiǎn)潔思路，這對(duì)拓寬學(xué)生的思維有幫助。變式教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一種常用教學(xué)策略，它有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生多角度全方位的理解和應(yīng)用新的知識(shí)和方法;同時(shí)，變式教學(xué)可以體現(xiàn)新課程的教學(xué)理念，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高教學(xué)質(zhì)量。“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過(guò)數(shù)學(xué)教育以及自身的實(shí)踐和認(rèn)識(shí)活動(dòng)，所獲得的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思想和觀念，以及由此形成的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和解決問(wèn)題能力的總和。數(shù)學(xué)課程及其教學(xué)，不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想方法的掌握，關(guān)注其數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，而且要有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的社會(huì)價(jià)值，領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思維方式和方法，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到全面提高?！笨梢?jiàn)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是新課程理念下的重要目標(biāo)。變式訓(xùn)練是提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，化歸、遷移思維能力和思維靈活性的有效方法之一，不僅能使學(xué)生全方位、多層次的的認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，而且能使學(xué)生親自參與的實(shí)踐中去，提高學(xué)習(xí)興趣，從而獲得問(wèn)題更深層次的理解，拓展學(xué)生的思維能力，為促進(jìn)學(xué)生智力和能力的提高，獲得高效課堂的教學(xué)效果做好鋪墊。

【教學(xué)設(shè)計(jì)片段3】

教師在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)CA、CB、CD這三條線段之間的關(guān)系之后，嘗試設(shè)置一系列的變式練習(xí)，例如把C點(diǎn)看成是動(dòng)點(diǎn)，那么這三條線段之間的關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化呢？

變式一：已知點(diǎn)C是圓O的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB是圓O的直徑，D為弧ADB的中點(diǎn)，C在圓上運(yùn)動(dòng)且不與A、B、D重合，連接CA、CB、CD，探索CA、CB、CD三條弦的數(shù)量關(guān)系是什么？

學(xué)生在教師的啟示下，通過(guò)合作討論，根據(jù)C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置分類討論，分別有以下三種情況：點(diǎn)C分別在的三段弧上。第一種情況是在前面已經(jīng)解決，即CA+CB=■CD.第二種情況與第三種情況看起來(lái)是類似的，但與第一種情況的結(jié)論有區(qū)別，如果學(xué)生充分理解和掌握第一種情況的證明方法，這種解題思路就可能會(huì)“自覺(jué)”遷移到這兩種情況中。結(jié)論為：當(dāng)C在弧AD上時(shí)，三者關(guān)系為CB-CA=■CD;當(dāng)C在弧BD上時(shí)，三者關(guān)系為CA-CB=■CD.通過(guò)這樣的變式練習(xí)，學(xué)生再次熟悉了根據(jù)旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題的幾何證明方法，同時(shí)又滲透了分類討論的思想。

變式二、P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系？

變式三、已知：圓O的內(nèi)接等腰三角形ABC，AB=AC，D是弧AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，做AE⊥BD于E，探究DC，DE，DB三者之間的數(shù)量關(guān)系？

變式四、（廣州中考?jí)狠S題），點(diǎn)C為△ABD外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不在BAD^上，且不與點(diǎn)B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°.

（1）求證：BD是該外接圓的直徑。

（2）連結(jié)CD，求證：■AC=BC+CD。

（3）若△ABC關(guān)于直線AB的對(duì)稱圖形為△ABM，連接DM，試探究DM2，AM2，BM2三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

【分析】

教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，通過(guò)變更概念非本質(zhì)的特征，改變問(wèn)題的條件或者結(jié)論，轉(zhuǎn)換問(wèn)題的形式或者內(nèi)容，有意識(shí)有目的地引導(dǎo)學(xué)生從變的現(xiàn)象當(dāng)中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)當(dāng)中得出變的規(guī)律。一個(gè)擁有很強(qiáng)的邏輯思維能力的人，能夠很快地根據(jù)一道題的前因后果，分析出這道題目所描述的內(nèi)涵，同時(shí)它也能夠分清楚題目的主次關(guān)系。教師可以進(jìn)行針對(duì)性的變式教學(xué)，針對(duì)課本講解類型的教學(xué)，通過(guò)對(duì)一個(gè)問(wèn)題的變式來(lái)達(dá)到解決一類問(wèn)題的目的，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，掌握“四基”，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，積極的形成，情感態(tài)度，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，都有具有很重要的，很積極的作用。

【效果】

變式教學(xué)可以加強(qiáng)知識(shí)的記憶，鞏固知識(shí)，拓展思維，教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)的堅(jiān)持使用變式教學(xué)模式，為學(xué)生搭建好進(jìn)步的階梯，使教與學(xué)達(dá)到最大化的效果。但是，變式教學(xué)，只是作為數(shù)學(xué)課的一部分，不可以將變式教學(xué)整個(gè)課堂完全引用，否則會(huì)浪費(fèi)課堂的時(shí)間。

【不足】

教師讓學(xué)生分組討論解決辦法，讓學(xué)生自己拓展變式，由于學(xué)生的層次不一，尖子生容易適應(yīng)教學(xué)變式，但是基礎(chǔ)薄弱的就可能需要更多的時(shí)間消化，因變式的題目應(yīng)該遵循適合性的原則，學(xué)生要聽(tīng)得懂，變式教學(xué)才有意義。

綜上，一節(jié)課從課本例題出發(fā)，老師根據(jù)題目設(shè)置一系列腦力和思維鍛煉的過(guò)程，培養(yǎng)教師和學(xué)生的創(chuàng)新能力，教師要鼓勵(lì)學(xué)生從多角度去分析，用不同的方法去解決問(wèn)題，并且要對(duì)比各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，通過(guò)對(duì)比使學(xué)生掌握各種方法的核心所在，方便以后選取最優(yōu)的方法去解決問(wèn)題。同時(shí)，要重視對(duì)一些重要的方法的總結(jié)和推廣，有效的滲透重難點(diǎn)知識(shí)和方法，使學(xué)生逐漸形成由特殊到一般的解題策略。不斷的總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，這種解題課的教學(xué)模式可以高效的運(yùn)用到初中的教學(xué)方法當(dāng)中去。值得一提的是教師在對(duì)學(xué)生解題時(shí)需要關(guān)注不同成績(jī)的學(xué)生各方面的情況和特征，從心理和數(shù)學(xué)思想、方法等角度來(lái)準(zhǔn)備解題課內(nèi)容，關(guān)注課堂內(nèi)容是否對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的有效鞏固、學(xué)生會(huì)不會(huì)產(chǎn)生定勢(shì)思維、學(xué)生會(huì)不會(huì)缺乏對(duì)解題發(fā)散思維的歸納反思。另外數(shù)學(xué)解題課對(duì)老師的要求也比較高，目前教師在課堂上存在對(duì)數(shù)學(xué)解題反思不夠，教師對(duì)解題的歸納反思可以使課堂教學(xué)效率提高，幫助學(xué)生形成優(yōu)秀的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

[ 參? 考? 文? 獻(xiàn) ]

[1]莫任明初中數(shù)學(xué)中一題多解的能力培養(yǎng)分析《教育界.上旬》2015年第01期.

[2]張育鳳淺談初中數(shù)學(xué)課上的變式教學(xué)《理科考試研究.初中》2014年第10期.

[3]張娟.淺談如何深挖例題變式題型，有效提高課堂效率[J].神州·理化空間.

[4]李正軍.變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用研究[J].中學(xué)生報(bào)（教研周刊）2017年2月17日第282版.

[5]潘世陽(yáng).淺談“一題多變”在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.百度文庫(kù).

[6]冉祥華.淺析初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)之“習(xí)題變式”.百度文庫(kù).

[7]劉艷杰.數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練激活學(xué)生思維.百度文庫(kù).