闞久義

[摘 要] 隨著新課程改革的深入，我們越來越多地關(guān)注教學(xué)過程，拿數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，不僅僅要交給學(xué)生知識，還應(yīng)該給學(xué)生展示數(shù)學(xué)概念是如何形成的，即滲透數(shù)學(xué)文化，實踐經(jīng)驗表明數(shù)學(xué)問題在教學(xué)中的作用不小. 滲透數(shù)學(xué)文化會令學(xué)生真切感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的平易近人，通過文化層面引領(lǐng)學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生理解與熱愛之情才能使學(xué)生在概念的提煉、理解、完善與應(yīng)用中投入更多的精力與思考.

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué)；數(shù)學(xué)文化；鋪墊；指引；剖析；深化；突破

數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)課程中以單獨板塊的形式出現(xiàn)引起了人們對它極大的關(guān)注與新的審視. 數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的滲透能使學(xué)生更好地感受社會文化與數(shù)學(xué)概念之間的互動并因此真切體會到數(shù)學(xué)的文化品位.

鋪墊概念教學(xué)

重解題技巧而輕概念生成的教學(xué)使學(xué)生在很大程度上將概念看成了簡單的記憶和背誦，不求甚解的機(jī)械記憶導(dǎo)致學(xué)生在解題中只會簡單地模仿，題目稍做變化就會令學(xué)生感覺困難萬分，這都是概念理解不夠透徹而造成的.

僅僅停留于概念的記憶而不去理解概念的背景和形成的學(xué)習(xí)理念與方式往往導(dǎo)致學(xué)生對概念引出的必要性、本質(zhì)、功能都缺乏深刻的認(rèn)識與理解. 事實上，《課程標(biāo)準(zhǔn)》對概念教學(xué)所提出的要求遠(yuǎn)不止這些，因此，教師在概念的實際教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念形成真正的領(lǐng)會與把握，應(yīng)不惜時間與精力幫助學(xué)生對概念的來龍去脈、概念的本質(zhì)建立真正的理解. 比如，教師在函數(shù)的概念教學(xué)中如果能夠?qū)瘮?shù)的內(nèi)涵、外延進(jìn)行深入的剖析與研究，看似會花費很多的時間在概念上，但學(xué)生真正理解了函數(shù)概念的本質(zhì)以后對靈活解答各類函數(shù)問題卻是很有價值的.

指引概念教學(xué)

“就事論事”的概念教學(xué)只會令學(xué)生“見木不見林”，滲透于概念教學(xué)中的數(shù)學(xué)文化卻能夠引領(lǐng)學(xué)生準(zhǔn)確尋得概念的核心并依此建立知識體系，因此，教師在具體的概念教學(xué)中應(yīng)著眼于概念的核心來開展學(xué)生的學(xué)習(xí)探索活動，使學(xué)生能夠圍繞這一核心進(jìn)行有意義的探索、辨析、感悟與應(yīng)用并因此逐步提升數(shù)學(xué)思維、完善知識體系、構(gòu)建數(shù)學(xué)思想，只有這樣，學(xué)生終身發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)生要達(dá)到的最佳發(fā)展目的才會早日擁有和實現(xiàn).

比如，復(fù)數(shù)和虛數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了一個悠長而久遠(yuǎn)的發(fā)展歷史背景，虛數(shù)與復(fù)數(shù)表示的量在人們的實際生活中也很難找到，學(xué)生對這一無法呈現(xiàn)生活原型的概念往往很難理解. 因此，教師在這兩個抽象概念的教學(xué)中可以首先介紹數(shù)的發(fā)展史、虛數(shù)和復(fù)數(shù)的出現(xiàn)歷程以消除學(xué)生對這兩個概念的陌生感. 自然數(shù)——分?jǐn)?shù)——圓周率——無理數(shù)——負(fù)數(shù)——虛數(shù)——負(fù)數(shù)，數(shù)的漫長發(fā)展史牢牢地吸引著學(xué)生注意力的同時也使學(xué)生對新的概念輕松掌握了.

教師在概念教學(xué)的設(shè)計之前應(yīng)該先采用一些問題令自己反思：（1）有沒有厘清概念的來源？（2）我明白概念的內(nèi)涵與外延嗎？（3）與之相關(guān)的概念之間存在怎樣的關(guān)系？（4）概念的文化作用有哪些？教師在搞清楚概念的這些本質(zhì)內(nèi)容之后再根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容與要求進(jìn)行課的設(shè)計：引導(dǎo)學(xué)生在實際模型的觀察、分析、思考中抽象出概念，然后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對其性質(zhì)展開研究并建立模型、解決問題，數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展在這一過程中清晰展現(xiàn)使學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解得以加強(qiáng).

剖析概念教學(xué)

獲得的知識如果是孤立的、是不與其他結(jié)構(gòu)聯(lián)系的，那么，它終將很快被人遺忘，因此，教師在具體的概念教學(xué)中應(yīng)將其納入一定的結(jié)構(gòu)中并體現(xiàn)其應(yīng)用性以促成學(xué)生的真正理解與掌握.

從概念的基礎(chǔ)問題入手并展開層層深入、循序漸進(jìn)的概念教學(xué)能夠使學(xué)生更好地了解概念的由來與發(fā)展，使學(xué)生對概念的脈絡(luò)產(chǎn)生更好的層次性理解以及概念本質(zhì)的探尋與把握. 比如，筆者在增函數(shù)的概念教學(xué)中就設(shè)計過這樣幾個層層深入的問題：

問題1：投影我市十年來的經(jīng)濟(jì)發(fā)展變化示意圖并引導(dǎo)學(xué)生觀察后描述經(jīng)濟(jì)隨時間變化的情況.

問題2：從左向右看函數(shù)y=x，y=x2呈現(xiàn)了怎樣的趨勢呢？

問題3：已知a

問題4：假如區(qū)間[a，b]上存在無數(shù)個值x1

問題5：f（x1），f（x2）和x1，x2之間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系才能使y在區(qū)間[a，b]上隨自變量x的增大而增大呢？（任意兩點都必須滿足條件）

深化概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念的表達(dá)形式或許是冷冰冰的，但這些形式化的定理、公式背后卻隱藏著極其生動的數(shù)學(xué)原始思維，概念教學(xué)中如果能夠引領(lǐng)學(xué)生探觸到這些生動思維并形成理解，學(xué)生在概念的應(yīng)用上也就更有心得了. 因此，教師在具體的概念教學(xué)中可以將概念的形成過程作為促進(jìn)學(xué)生掌握概念的策略，使學(xué)生在掌握概念發(fā)生與發(fā)展的過程中循序漸進(jìn)地對概念的本質(zhì)產(chǎn)生深刻的理解. 同時，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生在觀察、思維、遷移的活動中讓手、眼、口、腦綜合運(yùn)動起來深化概念的理解.

比如，對學(xué)生思維能力發(fā)展能起到積極意義的函數(shù)知識分不同認(rèn)識階段來看，以“變量說”定義函數(shù)的初中階段主要是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，這幾類與生活經(jīng)驗密切相關(guān)的函數(shù)能夠使學(xué)生在直觀體驗中體會函數(shù)的意義、建立函數(shù)解決實際問題的經(jīng)驗. 以“對應(yīng)說”定義函數(shù)的高中階段引進(jìn)了數(shù)字以外的符號（y=f（x）中，“f”不代表數(shù)，與x，y的含義特別不一樣）對函數(shù)進(jìn)行表示，明確函數(shù)表示法的同時借助函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)將研究函數(shù)性質(zhì)的方法與過程一一展現(xiàn)出來，學(xué)生在體驗函數(shù)基本數(shù)學(xué)模型價值的過程中也掌握了函數(shù)概念研究問題的具體方法. 從函數(shù)的研究方法上來看，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等具體函數(shù)的研究與日益穩(wěn)固的函數(shù)本質(zhì)的理解實現(xiàn)了“基本初等函數(shù)”的研究. 因此，教師在函數(shù)的具體教學(xué)中應(yīng)首先建立一般意義的函數(shù)概念并因此對其抽象符號的意義產(chǎn)生理解，然后對函數(shù)中的問題、內(nèi)容與方法進(jìn)行了解并因此形成研究函數(shù)問題的基本規(guī)范，這對于函數(shù)的教學(xué)來說是最為核心的任務(wù).

突破概念教學(xué)

教師在概念形成之后還應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生對某一類對象進(jìn)行研究，得出該類對象共同本質(zhì)屬性的同時將具備此類本質(zhì)屬性的對象統(tǒng)籌起來繼續(xù)研究并因此獲得概念的內(nèi)涵和外延，從某種層面上來講，這就是對概念的理解. 值得教師注意的是，概念的內(nèi)涵與外延得到理解之后就應(yīng)該盡量避免抽象化與形式化的例子，不僅如此，教師在實際教學(xué)中還應(yīng)將一些與生活密切聯(lián)系的例題引進(jìn)課堂，使學(xué)生能夠在這些問題的解答中理解概念的本質(zhì)，學(xué)生能夠在生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動中對概念的本質(zhì)進(jìn)行認(rèn)識與體驗正說明概念的生成已經(jīng)成熟了. 激發(fā)學(xué)生興趣與積極思維的熟悉情景與鮮活素材潤物細(xì)無聲地融入教學(xué)也是對學(xué)生潛移默化的教育教學(xué). 學(xué)生在應(yīng)用概念解決實際問題時也會更加靈活、獨到而準(zhǔn)確，學(xué)生體驗到成功樂趣的同時也會因此產(chǎn)生更加持久的學(xué)習(xí)動力，并因此對概念的提煉、理解、完善投入更多的精力與思考.

比如，求根公式、韋達(dá)定理等結(jié)論在“方程”這一概念的復(fù)習(xí)研究中獲得；化分式為整式（分母不為零）的經(jīng)驗在分式方程的研究中獲得；無理方程的研究必須考慮有理化及其存在的意義等都是本質(zhì)屬性的獲得. 同解變形這一解方程的本質(zhì)在這些結(jié)論的對比分析中順利得出，學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作研究的過程中所獲得的這些本質(zhì)屬性對于學(xué)生來說是原發(fā)性的、持續(xù)性的、創(chuàng)造性的. 教師在概念教學(xué)的過程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在獲得的結(jié)論中進(jìn)行合理的篩選，將形式簡潔、表征合理并具備應(yīng)用與推廣價值的結(jié)論提煉出來進(jìn)行更加深入的剖析與理解. 可以著眼于結(jié)論的內(nèi)涵并討論結(jié)論成立所應(yīng)具備的充分必要條件以及可能形成的新結(jié)論；也可以著眼于結(jié)論的應(yīng)用以促進(jìn)學(xué)生對結(jié)論的記憶以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意義的體會.

總之，數(shù)學(xué)文化于教材、課堂、教學(xué)等諸多環(huán)節(jié)中的滲透會令學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的平易近人，通過文化層面引領(lǐng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生理解與熱愛之情才能使學(xué)生真正投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之中去，數(shù)學(xué)教師在實際教學(xué)中一定要融入數(shù)學(xué)文化并揭示數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵以促進(jìn)擺脫數(shù)學(xué)孤立主義的陰影.