程元元 孫四周

[摘 要] “問題是數(shù)學的心臟”. 課本上條件完備的數(shù)學題目把問題固定了，這樣不利于全面培養(yǎng)學生的“問題意識”，提升數(shù)學素養(yǎng). 把數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象，可以讓學生從“數(shù)學事實”開始，先提出問題再解決問題，增強數(shù)學體驗，促進領(lǐng)悟與反思. 那么如何有效地把數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象呢？有哪些價值所在？期間有哪些注意事項？文章嘗試從以上三個角度進行剖析.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學問題；數(shù)學現(xiàn)象；教學策略

什么是數(shù)學現(xiàn)象

先從數(shù)學問題談起. 問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學問題包括條件完備的封閉題和條件不完備的開放題. 在中學的教材和日常教學中，遇到的基本都是封閉題. “條件+任務(wù)”是標準的形態(tài)，這種題目非常有利于“雙基”的教學，因此長期以來成為數(shù)學題的主要形式甚至是唯一形式，并且進一步促成了“問題解決”的教學模式的形式[1]. 但是這種問題形式跳過了從客觀世界到數(shù)學模型的過程，是被加工過的，條件完備并且不多不少的理想化的數(shù)學模型，由條件到需要解決的問題都是明確的，學生因此也錯過了一個數(shù)學化的過程[2]. 比如如何從已知的信息中篩選出解決問題所需要的東西？根據(jù)已知的條件，所選擇的推理方向不同則可以得到不同的數(shù)學結(jié)果. 讓學生經(jīng)歷這個數(shù)學化的過程，才能夠真正培養(yǎng)學生的問題解決能力，促使學生掌握學習的方法，讓學生從自己已有的知識出發(fā)，運用數(shù)學的方法去認知新事物，發(fā)現(xiàn)新東西，這才是我們經(jīng)常提起的——不僅要教給學生知識，更要教給學生學習的方法[3].

現(xiàn)實世界呈現(xiàn)給我們的只是表象，問題及規(guī)律深藏在其背后[4]. 愛因斯坦曾說過“提出問題比解決問題更重要”，一切的研究都是從問題開始. 把客觀事實呈現(xiàn)給學生，作為他們觀察、探究、發(fā)問的素材，這種素材就是數(shù)學現(xiàn)象[5].

如何把數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象

常規(guī)的數(shù)學教學主要包括概念教學、定理教學、例（習）題教學等，其中例題教學幾乎在各種課型中都有所涉及. 如果把封閉的例題適當?shù)馗淖兂尸F(xiàn)方式，還原為數(shù)學現(xiàn)象，那么教學效果則會大大地提升. 那么如何把數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象呢？我們提出以下幾種策略：

1. 隱藏任務(wù)，只呈現(xiàn)條件

案例1：（蘇教版《數(shù)學（必修2）》第43頁）在三棱錐P-ABC中，M，N分別是△PAB和△PBC的重心（圖1），求證：MN∥平面ABC.

采用現(xiàn)象教學的方式，分階段呈現(xiàn)：

（1）先呈現(xiàn)題干：在三棱錐P-ABC中，M，N分別是△PAB和△PBC的重心（圖1）.

（2）讓學生觀察圖1，教師追問：請想象一下MN與其他線面的關(guān)系.

（3）學生活動，發(fā)現(xiàn)了多個線面關(guān)系.

教師進一步追問：你認為MN與平面ABC平行嗎？能否證明？

（4）學生很快就作出圖2，問題也相應(yīng)地解決了. 再強調(diào)一下，形成規(guī)范表達的能力.

（5）還有一對線面平行，你能找出來并證明嗎？（MN∥平面PAC）

學生代表口述證明，其他人評判.

若是一次性呈現(xiàn)例題，解題的目標和思維的指向性非常明確，要證線面平行，根據(jù)線面平行的判定定理，學生會直接在平面ABC中尋找與MN平行的線，作出平行線并不困難，于是問題看似非常完美地解決了，而且速度也是非?？? 但是分階段呈現(xiàn)，學生在不知道線面平行的前提下首先感知空間的線面關(guān)系，并對自己的結(jié)論給出證明. 學生經(jīng)歷了“感知——猜想——論證”這個發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的全過程，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗，培養(yǎng)了問題意識和創(chuàng)新意識.

2. 分階段的呈現(xiàn)條件

案例2：在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且tanB=2，tanC=3，c=3. 求角A的大小并求邊b的長.

在條件的呈現(xiàn)過程中，首先呈現(xiàn)tanB=2，接著教師問學生：這個條件實際上告訴了我們什么？可以求什么？這時學生根據(jù)“知一求二”的思想，大都能想到求出sinB和cosB，然后教師接著呈現(xiàn)tanC=3，這時學生不難類比可求角C的另外兩個三角函數(shù)值，此時角A的求解就順理成章了. 然后教師適時追問：三個角確定的三角形可以明確地畫出來嗎？引導學生聯(lián)想相似三角形的理論，產(chǎn)生疑惑，激發(fā)繼續(xù)探究的興趣. 當學生一致認為三角形有多個，不能唯一確定的時候，就有一個強烈的欲望，要確定一邊b，還缺邊長的條件，這時教師再呈現(xiàn)條件c=3，學生的疑惑解除，能夠非常順利地完成解答.

整個過程層層遞進，每個條件的呈現(xiàn)都激發(fā)學生已有的認知，和原有的知識之間產(chǎn)生聯(lián)系，培養(yǎng)了發(fā)散思維. 在隱藏了一個邊長條件的時候，三角形不能確定，無法確定邊長b，和學生心目中完美的題目（每個題目都是可解的）產(chǎn)生碰撞，激發(fā)求知欲，讓他們敢于懷疑題目的完整性，敢于質(zhì)問，敢于挑戰(zhàn)所謂的“權(quán)威”. 只有不盲目地接受教師教的東西，不盲目地相信課本，敢于懷疑，善于思考，才是一個真正有思想的人.

3. 只呈現(xiàn)任務(wù)和部分條件

比如案例1中，先把條件“N是△PBC的重心”拿掉，當N點不確定的時候，MN就變成了一個動線段，此時MN和平面ABC的位置關(guān)系就不確定了，引導學生反過來去研究，要使得MN∥平面ABC，需要尋找到特殊的N點的位置. 這樣把一個靜態(tài)的問題轉(zhuǎn)變成一個動態(tài)的問題去研究，對學生的能力提升就大有裨益了. 培養(yǎng)了學生的逆向思維、特殊化思想.

4. 漸進式呈現(xiàn)解答

案例4：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=3an+1-1（n∈N*），且a1=2，求{an}的通項公式.

避免教師直接呈現(xiàn)題目的解答，首先呈現(xiàn)“若Sn=3an+1-1（n∈N*），且a1=2”，然后問學生：我們能知道什么？學生基本上會動手計算a2，a3，a4，進而再去求an. 在這個過程中，學生可能會碰壁多次，比如忽視n≥2，就認為數(shù)列是等比數(shù)列（其實不是等比數(shù)列）；比如由a2，a3，a4的值直接猜想an的通項公式，使用不完全歸納；比如最后的結(jié)果不寫成分段的形式，等等. 雖然一波三折，困難重重，但是學生不斷地碰壁、不斷地試錯，直至問題由模糊到清晰，親歷了先錯后對的解題過程，才真正內(nèi)化成為自己的知識.

把數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象的教學價值所在

傳統(tǒng)的問題教學固然有它的優(yōu)勢所在，可以讓學生在短時間內(nèi)聚焦所要解決的問題，執(zhí)果索因或者由因及果，快速而準確地實現(xiàn)問題的達成，但是弊端也逐漸地凸顯. 純粹的具體的例題（習題）教學，學生所解決的都是一個個獨立的個體，題目與題目之間的聯(lián)系，本質(zhì)上的區(qū)分就沒有那么明顯，學生知其然而不知其所以然，這也就直接導致一個常見的現(xiàn)象：教師抱怨“一道題目講了好多遍，下次碰到還是錯”；學生出現(xiàn)“一聽就會，一做就錯”. 但是現(xiàn)象教學恰好地彌補了這個不足. 在教學過程中呈現(xiàn)給學生的是數(shù)學現(xiàn)象，學生面對現(xiàn)象時就可以產(chǎn)生不同的解讀，不同結(jié)構(gòu)形式的數(shù)學化，從不同的角度可以衍生出不同的結(jié)論，這個過程是一個探究的過程、體驗的過程、發(fā)現(xiàn)的過程，也是一個審美的過程. 每一個孩子都可以是一個發(fā)現(xiàn)者、一個發(fā)明者，試問：讓學生自己主動探究所得，和把學生當作被動接受知識的機器，二者相比，哪個更加是我們需要的教育呢？答案不言而喻.

打個比方，如果我們想給孩子傳遞一個信息——奔流而下的滔滔黃河，有兩種方式，一種是電視機上聲音加圖片的播放，直接給孩子視覺、聽覺的輸入，這樣的就是奔流而下、波瀾壯闊的黃河；另外一種是書本上文字的描述，波浪滾滾，奔騰而下，隨著地勢的落差，滾滾黃河水帶著巨大的聲響沖向下面，濺起水花多多……這樣在文字展現(xiàn)的同時，孩子自己自然會在腦海中進行再加工，才能體現(xiàn)出文字所描述的壯觀景象，這種文字展現(xiàn)的方式也就是現(xiàn)象的呈現(xiàn)，而電視的展示就是知識的直接輸出. 所以有學者提出：看電視可以使孩子變笨，而讀書可以使孩子變聰明. 這個道理和我們所提的現(xiàn)象教學確實有異曲同工之處.

需要注意的問題

1. 不是所有的問題都需要還原為數(shù)學現(xiàn)象

雖然我們提出現(xiàn)象教學的種種益處，但是并不是對傳統(tǒng)問題教學的否定，而是一種升華. 我們不否認問題教學的種種優(yōu)勢，相反在課堂教學中更是需要經(jīng)常使用. 在問題的設(shè)計中，在呈現(xiàn)方式上，以及在解答過程中，若是能夠結(jié)合現(xiàn)象教學，才能真正落實當下中學階段的教育目標，為學生繼續(xù)進一步的學習打下基礎(chǔ)，教會他們學習的方法，使得學生具備終生學習的能力.

2. 數(shù)學問題還原成怎樣的數(shù)學現(xiàn)象需要“因地制宜”

既然我們的教學面對的是學生，那么不同的學生就有不同的口味、不同的基礎(chǔ)、不同的能力，因此在教學素材的準備上就要因地制宜、因生制宜. 受客觀條件的限制，現(xiàn)在普遍實行班級化教學，起碼不同的班級，要有不同的考慮. 程度比較好的學生，在把數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象的時候，可以更加的靈活化. 比如案例1中的問題，教師可以引導：在這個三棱錐模型中，我們可以研究哪些位置關(guān)系？然后讓學生自己提出問題，這時學生的產(chǎn)出就多樣化了，有可能從線面位置關(guān)系、面面位置關(guān)系、線面角、面面角，甚至表面積、體積等角度研究，然后教師再逐步縮小研究的范圍. 有了這個研究過程，如果后面改變?nèi)忮F的擺放位置，相信學生也能夠輕而易舉地完成. 相反的，如果程度稍微差一些的學生，教師的線就可以收緊一些了，比如直接提出：想象一下，MN與其他線面的位置關(guān)系. 對于思維沒有那么開放、靈活的學生，防止問題過于松散，學生一臉霧水，不知從何說起，最佳的設(shè)計應(yīng)該是在學生的最近發(fā)展區(qū)做文章.

總之，如何把數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象，是一個實踐性的課題，需要教師在實踐中逐步摸索，把握好度，以實現(xiàn)更完整的教學.

參考文獻：

[1] 弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學[M]. 上海：上海教育出版社，1995.

[2] 徐章韜，梅全雄. 論基于課堂教學的數(shù)學探究性學習[J]. 數(shù)學教育學報，2013（6）.

[3] 祁平. 基于探究的數(shù)學教學的哲學思索[J]. 數(shù)學通報，2014，53（8）：22-28.

[4] 聶必凱，鄭耀庭等. 美國現(xiàn)代數(shù)學教育改革[M]. 北京：人民教育出版社，2010.

[5] 弗賴登塔爾. 數(shù)學教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，1999.