曲 揚(yáng)， 羅永峰， 黃青隆， 朱釗辰

(同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092)

近年來(lái)歷次強(qiáng)震都表明，許多結(jié)構(gòu)震害都有豎向地震作用的痕跡，甚至不乏由其直接導(dǎo)致的震害，例如汶川地震中強(qiáng)烈的豎向地震分量對(duì)一些大跨度結(jié)構(gòu)造成了嚴(yán)重破壞[1-4]，因此，在大跨度結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中，必須重視豎向地震作用引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)[5].

在諸多大跨度結(jié)構(gòu)體系中，格構(gòu)拱由于材料利用率高、施工方便等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于火車(chē)站屋蓋等大跨度結(jié)構(gòu)中.目前，格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在罕遇地震下的彈塑性地震反應(yīng)多采用時(shí)程分析(RHA)方法[6]和靜力推覆分析(SPA)方法[7]進(jìn)行計(jì)算，相較于前者，SPA方法既可以考察結(jié)構(gòu)的彈塑性力學(xué)行為，滿足性能化抗震設(shè)計(jì)多階段、多水準(zhǔn)的要求，又能夠大大節(jié)省運(yùn)算成本，因而廣泛應(yīng)用于大跨度結(jié)構(gòu)彈塑性地震反應(yīng)的預(yù)測(cè)和評(píng)估[8-9].

已有國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)靜力推覆分析方法用于評(píng)估大跨度結(jié)構(gòu)在豎向地震作用下動(dòng)力響應(yīng)的適用性進(jìn)行了研究.錢(qián)稼茹等[10]對(duì)國(guó)家體育場(chǎng)大跨度鋼結(jié)構(gòu)進(jìn)行罕遇地震下的推覆分析，指出采用現(xiàn)有SPA方法難以實(shí)現(xiàn)大跨度鋼結(jié)構(gòu)豎向地震響應(yīng)評(píng)估.楊木旺等[11-12]沿用SPA方法的思路，建立了評(píng)估大跨度空間結(jié)構(gòu)豎向抗震性能的Pushdown(推倒)方法，但該方法難以應(yīng)用于格構(gòu)拱一類(lèi)水平和豎向位移耦合顯著的結(jié)構(gòu).相陽(yáng)、羅永峰等[13-14]基于模態(tài)推覆分析方法提出了EMPA方法，該方法初步解決了水平地震作用下格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)的位移耦合問(wèn)題，但未能應(yīng)用于豎向地震作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)評(píng)估，且僅考慮了一階振型的影響.Ohsaki等[15]針對(duì)大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)提出了一種多模態(tài)線性組合的推覆分析方法，雖然考慮了位移耦合和多階振型，但多次組合模態(tài)進(jìn)行推覆分析的方法，既缺乏物理意義解釋?zhuān)矄适Я撕?jiǎn)潔性.因此，關(guān)于大跨度結(jié)構(gòu)在豎向地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)評(píng)估，現(xiàn)有SPA方法仍無(wú)法兼顧解決位移相互耦合顯著、推覆曲線特征節(jié)點(diǎn)難以選取、低估多階振型及其組合方法的影響等問(wèn)題，其根本原因在于原本適用于多高層結(jié)構(gòu)的SPA方法，難以直接應(yīng)用于振型密集且復(fù)雜、位移耦合顯著、荷載-位移關(guān)系不夠直觀的大跨度結(jié)構(gòu).

針對(duì)上述問(wèn)題，本文基于靜力穩(wěn)定分析中特征剛度[16-17]的概念，提出適用于評(píng)估大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在豎向地震作用下動(dòng)力響應(yīng)的改進(jìn)模態(tài)推覆分析(IMPA)方法及其計(jì)算步驟，該方法基于特征剛度建立了等效單自由度體系，避免了推覆曲線選點(diǎn)的問(wèn)題，并推導(dǎo)出推覆荷載公式，通過(guò)兩階段推覆分析考慮位移耦合與多階振型的影響.選取一個(gè)大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)，對(duì)結(jié)構(gòu)分別在硬土和軟土場(chǎng)地若干條豎向地震波激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，并與RHA方法進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證IMPA方法的適用性與實(shí)用性.

1 基于特征剛度的IMPA方法基本理論

1.1 第一階段推覆分析與ESDOF體系

(1)

式中：u(t)為由于豎向地震作用產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)體系動(dòng)力位移向量；M和C分別為結(jié)構(gòu)體系的廣義質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣；lz為豎向影響因子.Fs(t)為結(jié)構(gòu)體系恢復(fù)力向量，與當(dāng)前變形狀態(tài)和加載歷史相關(guān).

將線性體系模態(tài)分解方法引入非線性分析中，假定非線性體系的廣義動(dòng)力位移向量可以分解為

(2)

式中：φl(shuí)和ql(t)分別為第l階振型的振型向量和廣義振型坐標(biāo).

(3)

(4)

取qn(t)=ΓnDn(t)，考慮到振型參與系數(shù)Γn=Ln/Mn，整理得

(5)

為通過(guò)推覆分析得到An-Dn的關(guān)系，需要建立ESDOF體系.引入結(jié)構(gòu)靜力穩(wěn)定分析中的結(jié)構(gòu)特征剛度k*，該參數(shù)可表征結(jié)構(gòu)的整體剛度，反映結(jié)構(gòu)抵抗變形的能力.在對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行加載分析的過(guò)程中，第j荷載步的特征剛度為

(6)

式中：KT,j、ΔUj和ΔFj分別為第j荷載步切線剛度矩陣、位移增量和荷載增量.

在線彈性階段，與第n階豎向振型相關(guān)的位移響應(yīng)可表示為un(t)=φnΓnDn(t)，相應(yīng)的恢復(fù)力為

(7)

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行第一階段的模態(tài)推覆分析，則第j荷載步的推覆荷載Fn,j可表示為

(8)

(9)

(10)

進(jìn)入非線性階段，由于剛度退化，振型已不同于線彈性階段，但考慮到相互之間耦聯(lián)性較弱，故而推覆分析第j荷載步的推覆荷載和偽加速度增量仍可用式(8)和式(9)表示，此時(shí)定義等效荷載增量ΔFn,j和等效位移增量Δdn,j為

ΔFn,j=mn,eq(An,j-An,j-1)

(11)

(12)

對(duì)比式(10)和式(12)可知，等效位移增量Δdn,j即為振型位移增量ΔDn,j，從而得到了An-Dn關(guān)系.

由于重力已在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生了變形，因此，在豎向地震作用下，結(jié)構(gòu)豎直向上和向下的荷載-位移關(guān)系不同，即在豎直方向的剛度上下不對(duì)稱，因此，需對(duì)結(jié)構(gòu)按照第n階豎向振型分別進(jìn)行豎直向上和向下的推覆分析，得到An+-Dn+和An--Dn-，兩者結(jié)合即為結(jié)構(gòu)在豎直方向上的An-Dn的關(guān)系，從而建立基于特征剛度k*的ESDOF體系，進(jìn)而通過(guò)式(5)求出振型位移響應(yīng)Dn(t)，代入式(2)即可求出結(jié)構(gòu)總動(dòng)力位移響應(yīng)u(t).

1.2 第二階段推覆分析與推覆荷載

僅取前兩階豎向振型為例.通過(guò)對(duì)前兩階豎向振型ESDOF進(jìn)行RHA求解，可得結(jié)構(gòu)總動(dòng)力位移響應(yīng)時(shí)程為

u(t)=φ1q1(t)+φ2q2(t)

(13)

在重力作用下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)為ug，則結(jié)構(gòu)總位移響應(yīng)時(shí)程為

ut(t)=φ1q1(t)+φ2q2(t)+ug

(14)

umax=φ1q1(tmax)+φ2q2(tmax)

(15)

為得到目標(biāo)性能點(diǎn)處的其他響應(yīng)(如單元應(yīng)力等)，在重力作用的基礎(chǔ)上，以u(píng)max為位移模式進(jìn)行第二階段非線性推覆分析.為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，取q1=q1(tmax)，q2=q2(tmax)，則umax=φ1q1+φ2q2.

在線彈性階段，第j荷載步的推覆荷載Pj為

(16)

(17)

(18)

將線彈性階段的推覆荷載推廣到非線性階段，仍取第j荷載步的推覆荷載為

(19)

一般地，取前n階豎向振型進(jìn)行第二階段推覆分析，其中，第j荷載步的推覆荷載為

(20)

1.3 IMPA方法計(jì)算步驟

計(jì)算步驟如下：

(1) 進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)分析，選取主振型，確定各階主振型的荷載空間分布模式；

(2) 根據(jù)各主振型的荷載空間分布模式，對(duì)結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行第一階段非線性模態(tài)推覆分析，得到各主振型荷載模式下的特征剛度變化；

(3) 基于各主振型的特征剛度，建立對(duì)應(yīng)各主振型的等效單自由度(ESDOF)體系；

(4) 針對(duì)對(duì)應(yīng)各主振型的ESDOF進(jìn)行時(shí)程分析，得到各ESDOF的位移響應(yīng)時(shí)程；

(5) 將各ESDOF位移響應(yīng)時(shí)程按振型組合，得到結(jié)構(gòu)整體位移響應(yīng)時(shí)程u(t)；

(6) 取u(t)的最不利位移作為變形模式，以式(20)中的Pj為推覆荷載，對(duì)結(jié)構(gòu)整體進(jìn)行第二階段推覆分析，得到結(jié)構(gòu)在地震作用下的總響應(yīng).

2 數(shù)值算例

為驗(yàn)證提出的IMPA方法的適用性，采用ANSYS對(duì)一個(gè)大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)進(jìn)行推覆分析和時(shí)程分析，以節(jié)點(diǎn)位移、最不利單元應(yīng)力以及計(jì)算耗時(shí)作為對(duì)比參數(shù)，分析IMPA方法的誤差和效率.

2.1 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)模型

結(jié)構(gòu)跨度36 m，矢高12 m，拱厚度1 m，矢跨比1/3，外環(huán)節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量0.5 t，內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量0.2 t，兩端固定鉸支座，桿件截面如圖1所示，材料為Q235鋼，采用雙線性隨動(dòng)強(qiáng)化模型，彈性模量206 GPa，屈服強(qiáng)度235 MPa，屈服后彈性模量0.8 GPa.拱結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)編號(hào)為外環(huán)節(jié)點(diǎn)順時(shí)針1～33，內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)順時(shí)針34～65.本算例研究結(jié)構(gòu)在豎向地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)，其豎向主振型信息見(jiàn)表1，振型圖如圖2所示.

圖1 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)模型及桿件截面(單位：m)Fig.1 Structural layout and member sections of the arch (Unit: m)表1 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)豎向主振型信息Tab.1 Information of vertical fundamental modes of the arch

振型階數(shù)24511周期/s0.280.140.100.04振型參與系數(shù)52.5104.648.944.8質(zhì)量參與系數(shù)/%12.248.210.68.9

2.2 ESDOF體系

為兼顧IMPA方法的準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)潔性，本算例選取前兩階豎向主振型進(jìn)行模態(tài)推覆分析.依據(jù)振型參數(shù)得到荷載的空間分布模式，對(duì)格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力非線性推覆分析，得到各ESDOF體系每一荷載步的特征剛度k*、等效荷載增量ΔF和振型位移增量ΔD，進(jìn)而可得各ESDOF體系的A-D曲線.圖3給出了各ESDOF體系的A-D曲線和k*-D曲線.

a 2階振型

b 4階振型

c 5階振型

d 11階振型圖2 格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)豎向主振型

Fig.2Fundamentalverticalvibrationmodesofthelatticedarch

a 第2階豎向主振型ESDOF體系A(chǔ)-D關(guān)系b 第2階豎向主振型ESDOF體系k?-D關(guān)系c 第4階豎向主振型ESDOF體系A(chǔ)-D關(guān)系d 第4階豎向主振型ESDOF體系k?-D關(guān)系

圖3前兩階豎向主振型A-D和k*-D關(guān)系曲線

Fig.3A-Dandk*-DcurvesforthemodalESDOFs

2.3 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

2.3.1地震動(dòng)輸入

結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析選用日本地球科學(xué)與防災(zāi)技術(shù)研究所(NIED)的K-NET、KiK-net強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫(kù)中硬土和軟土場(chǎng)地各12條地震波的豎向分量作為地震動(dòng)輸入，其偽加速度反應(yīng)譜見(jiàn)圖4.為保證結(jié)構(gòu)在地震作用下進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，本算例將全部24條地震波的峰值加速度調(diào)幅至2.0 g.

2.3.2節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)

采用IMPA方法和RHA方法計(jì)算，得到格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)如圖5所示.由圖可見(jiàn)，與水平地震動(dòng)輸入時(shí)格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)由第一階水平主振型主導(dǎo)[11]不同的是，部分豎向地震動(dòng)輸入(如地震波spectrum-FS3、spectrum-SS5等)時(shí)，格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)由第二階豎向主振型主導(dǎo)，故而只考慮第一階豎向主振型顯然低估了結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng).計(jì)算結(jié)果表明，采用IMPA方法計(jì)算得到的目標(biāo)性能點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)與RHA方法計(jì)算結(jié)果比較接近且具有以下特征：兩者計(jì)算結(jié)果的位移值隨節(jié)點(diǎn)號(hào)的分布規(guī)律和變化趨勢(shì)基本相同，表明兩者在目標(biāo)性能點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)整體變形模式基本一致；與RHA方法的計(jì)算結(jié)果相比，IMPA方法在X方向最大位移節(jié)點(diǎn)處位移計(jì)算值的平均誤差為16.6%，Z方向最大位移節(jié)點(diǎn)處位移計(jì)算值的平均誤差為10.5%，絕大部分節(jié)點(diǎn)誤差在30%以內(nèi)，表明IMPA方法的計(jì)算精度滿足工程要求.

a 硬土場(chǎng)地

b 軟土場(chǎng)地圖4 地震波偽加速度反應(yīng)譜Fig.4 Pseudo acceleration response spectra of the selected seismic waves

a 硬土場(chǎng)地節(jié)點(diǎn)位移對(duì)比

b 軟土場(chǎng)地節(jié)點(diǎn)位移對(duì)比圖5 IMPA方法和RHA方法節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Nodal displacement responses given by IMPA and RHA

2.3.3單元最不利應(yīng)力響應(yīng)

圖6a為采用IMPA(圖6a)和RHA(圖6b)計(jì)算得到的單元最不利應(yīng)力云圖.由圖可見(jiàn)，兩種方法計(jì)算得到單元最不利應(yīng)力結(jié)果比較接近且具有以下特征：兩者應(yīng)力分布和變化趨勢(shì)基本相同，表明兩者在性能點(diǎn)處的單元應(yīng)力狀態(tài)基本一致；對(duì)比RHA方法結(jié)果，IMPA方法單元最不利應(yīng)力計(jì)算值平均誤差為33.2%，大部分單元誤差在35%以內(nèi).

a 硬土場(chǎng)地單元最不利應(yīng)力云圖對(duì)比

b 軟土場(chǎng)地單元最不利應(yīng)力云圖對(duì)比圖6 IMPA方法和RHA方法單元最不利應(yīng)力計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.6 The most unfavorable stresses of elements given by IMPA and RHA

2.4 振型截取階數(shù)的精度影響

針對(duì)所選取的24條地震波，分別截取前一、二、三、四階豎向主振型進(jìn)行算例模型IMPA分析，并與RHA方法對(duì)比，其豎向最大節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算值的相對(duì)誤差平均值取絕對(duì)值見(jiàn)表2.由表可見(jiàn)，隨著振型截取階數(shù)的增加，節(jié)點(diǎn)位移隨節(jié)點(diǎn)號(hào)的變化趨勢(shì)與RHA計(jì)算結(jié)果的一致性有所提高，并且計(jì)算精度也有所提高.需要指出的是，部分豎向地震動(dòng)輸入(如spectrum-FS3、spectrum-SS5等)采用第一階振型進(jìn)行IMPA分析，由于結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)由第二階豎向主振型主導(dǎo)，導(dǎo)致誤差會(huì)超過(guò)30%，因此，采用一階IMPA方法可能會(huì)嚴(yán)重低估格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)的豎向位移響應(yīng).限于篇幅，結(jié)構(gòu)單元最不利應(yīng)力響應(yīng)計(jì)算精度對(duì)比不再贅述.

2.5 計(jì)算耗時(shí)對(duì)比

與對(duì)格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)直接進(jìn)行RHA分析相比，截取不同階主振型進(jìn)行IMPA分析的計(jì)算耗時(shí)占比列于表3.綜合表2和表3可見(jiàn)，在保證精計(jì)算精度的前提下，IMPA方法計(jì)算耗時(shí)比RHA明顯減少；隨著振型截取階數(shù)的增加，IMPA方法計(jì)算耗時(shí)也逐漸增加，但相比RHA方法仍然優(yōu)勢(shì)顯著.

表2 不同階IMPA與RHA計(jì)算精度對(duì)比Tab.2 Comparison of computation precision by IMPAs and RHA

表3 不同階IMPA與RHA計(jì)算耗時(shí)對(duì)比Tab.3 Comparison of computation consumption by IMPAs and RHA

3 結(jié)論

基于特征剛度的概念，提出適用于評(píng)估大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)在豎向地震作用下動(dòng)力響應(yīng)分析的改進(jìn)模態(tài)推覆分析(IMPA)法，并給出了IMPA方法的理論公式和計(jì)算步驟，通過(guò)兩種場(chǎng)地條件下的數(shù)值算例與RHA方法進(jìn)行對(duì)比分析，得到以下結(jié)論：

(1) 提出的IMPA方法克服了傳統(tǒng)模態(tài)推覆分析方法對(duì)能力譜的推導(dǎo)依賴于選取某個(gè)特征節(jié)點(diǎn)的缺點(diǎn)，便于建立能夠反映結(jié)構(gòu)整體剛度的等效單自由度體系，并推導(dǎo)出第二階段推覆荷載公式，通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行兩階段推覆分析，避免了SRSS組合方式帶來(lái)的方法誤差；

(2) 研究表明，無(wú)論硬土還是軟土場(chǎng)地，采用IMPA方法計(jì)算豎向地震作用下大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)具有較好的適用性，節(jié)點(diǎn)兩方向位移平均誤差為16.6%和10.5%，單元最不利應(yīng)力平均誤差為33.2%，計(jì)算精度較高；

(3) 理論推導(dǎo)和算例分析都表明，隨著豎向振型截取階數(shù)的增加，IMPA方法的計(jì)算精度將進(jìn)一步提高，但計(jì)算效率有所下降；

(4) IMPA方法對(duì)于大跨度格構(gòu)拱結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析具有普適性，可推廣至水平地震作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)評(píng)估，且該方法概念清晰，便于程序化.