韓 路，田愛玲，聶鳳明，劉丙才，劉衛(wèi)國

(1.西安工業(yè)大學(xué) 光電工程學(xué)院/陜西省薄膜技術(shù)與光學(xué)檢測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710021；2.中國兵器科學(xué)院寧波分院，寧波 310022)

隨著光學(xué)反射鏡制造技術(shù)在民用、軍用及航空航天等領(lǐng)域的加速發(fā)展，大口徑鏡面物體的面形檢測(cè)需求越來越大?，F(xiàn)有的光學(xué)三維測(cè)量技術(shù)主要針對(duì)漫反射表面[1-2]，難以有效地測(cè)量鏡面物體。條紋反射法作為一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，動(dòng)態(tài)范圍大，測(cè)量精度高，檢測(cè)速度快，同時(shí)無需其他輔助元件便可實(shí)現(xiàn)對(duì)任意形狀鏡面進(jìn)行檢測(cè)的方法[3-5]，越來越受到國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的關(guān)注。

從離散的梯度數(shù)據(jù)到面形高度需用三維面形重建算法進(jìn)行恢復(fù)。面形重建作為條紋反射鏡面測(cè)量研究的一個(gè)關(guān)鍵步驟，其重建精度直接影響最終的測(cè)量精度。傳統(tǒng)的基于梯度數(shù)據(jù)的面形重建算法主要包括三種：十字路徑法、傅里葉變換積分法以及區(qū)域波前重建法[6-8]。其中，十字路徑法操作簡(jiǎn)單，速度快，但抗噪性差，面形恢復(fù)精度不高；傅里葉變換積分法是一種全局積分方法，對(duì)大數(shù)據(jù)量梯度重構(gòu)速度快，但邊界數(shù)據(jù)需滿足周期性延拓條件；區(qū)域波前重建法理論上可以對(duì)任意形狀的面形進(jìn)行擬合，但計(jì)算量大，速度慢。目前，條紋反射面形重建中，主要以傅里葉變換法和Southwell區(qū)域波前重構(gòu)法的應(yīng)用最為廣泛。文獻(xiàn)[9-10]通過仿真模擬分析了經(jīng)由梯度數(shù)據(jù)重建三維面形的主要算法，并對(duì)其重建精度進(jìn)行了對(duì)比研究。結(jié)果表明，區(qū)域波前重構(gòu)法不但對(duì)高頻噪聲有較強(qiáng)的抑制作用，同時(shí)也可以處理復(fù)雜的連通區(qū)域和非等間距分布梯度數(shù)據(jù)的復(fù)雜情況，但該方法在求解過程需消耗大量的時(shí)間，限制了其在快速實(shí)時(shí)測(cè)量系統(tǒng)中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[11-12]基于泰勒定理提出了一種具有高階截?cái)嗾`差的積分算法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在提高重建精度方面的有效性。該方法在研究微小形變區(qū)域時(shí)重建精度較高，但當(dāng)表面有空洞時(shí)，積分時(shí)間較長(zhǎng)；文獻(xiàn)[13]通過引入迭代補(bǔ)償，對(duì)傳統(tǒng)的最小二乘二維積分方法進(jìn)行了改進(jìn)，解決了由于Southwell網(wǎng)格模型不完備而導(dǎo)致重建不準(zhǔn)確的問題，有效提升了積分重建精度，但其處理時(shí)間會(huì)隨著迭代次數(shù)的增加而線性增長(zhǎng)；文獻(xiàn)[14]采用高效、穩(wěn)定的超松弛迭代法對(duì)Southwell模型積分重建進(jìn)行了優(yōu)化，提高了積分精度，但該方法的廣泛應(yīng)用需依賴先進(jìn)的超松弛迭代算法。以上研究主要對(duì)傳統(tǒng)的重建方法進(jìn)行了分析和完善，以提高運(yùn)算時(shí)間及優(yōu)化測(cè)量精度。條紋反射法的誤差主要來源于系統(tǒng)標(biāo)定，引入的面形偏差主要為低頻面形偏差，傳統(tǒng)的基于梯度數(shù)據(jù)的三維面形重建方法均無法給出像差系數(shù)。而Zernike多項(xiàng)式面形擬合法[15-17]可以通過去除低頻面形偏差對(duì)高頻信息進(jìn)行誤差分析以提高條紋反射面形重建精度。

Zernike多項(xiàng)式面形擬合是由Fritz Zernike在1934年第一次提出[18]，作為一種常用的光學(xué)波面擬合方法，其具有較高的擬合精度，在整個(gè)面形重構(gòu)過程中具有重要的地位。由于該多項(xiàng)式由一系列在單位圓內(nèi)相互正交的多項(xiàng)式基構(gòu)成，與在光學(xué)系統(tǒng)中觀測(cè)到的像差具有相同的形式，因此可以有效地描述波前參數(shù)。Zernike多項(xiàng)式對(duì)光學(xué)問題中有關(guān)波面的擬合精度最高，且本身的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性使得光學(xué)問題的求解具有很好的收斂性。傳統(tǒng)的 Zernike 面形擬合方法主要是將離散的面形數(shù)據(jù)采用 Zernike 多項(xiàng)式的方式擬合成光滑連續(xù)面形。本文針對(duì)傳統(tǒng)條紋反射三維面形重建算法無法給出像差系數(shù)的問題，提出了一種基于Zernike正交多項(xiàng)式的梯度數(shù)據(jù)面形重建方法。利用Zernike多項(xiàng)式中每一項(xiàng)與光學(xué)系統(tǒng)中波像差一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在獲得面形重建結(jié)果的同時(shí)準(zhǔn)確地給出初級(jí)像差系數(shù)。在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用計(jì)算機(jī)模擬仿真的方法，以連續(xù)光滑雙曲面為例進(jìn)行算法的有效性驗(yàn)證。

1 條紋反射面形重建理論

1.1 條紋反射基本原理

條紋反射檢測(cè)法是基于簡(jiǎn)單的光線反射原理，理論上可實(shí)現(xiàn)對(duì)任意形狀鏡面的面形檢測(cè)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，分別由液晶顯示屏(Liquid Crystal Display，LCD)、相機(jī)(Charge Coupled Device，CCD)和計(jì)算機(jī)(Personal Computer，PC)組成。

圖1 條紋反射檢測(cè)裝置結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic structure of a fringe reflection detection device

計(jì)算機(jī)控制LCD顯示屏顯示具有已知參數(shù)的結(jié)構(gòu)光條紋，經(jīng)光學(xué)元件表面反射，通過CCD相機(jī)拍攝反射面對(duì)已知圖像的調(diào)制。當(dāng)待測(cè)鏡面表面不平整時(shí)，拍攝到的條紋會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的變形。通過對(duì)變形條紋進(jìn)行相位提取，根據(jù)條紋的位相信息確定光線的偏折，利用光線追跡原理，分別向待測(cè)鏡投影水平和豎直方向的結(jié)構(gòu)光條紋，求得其在水平和豎直方向的梯度分布，重建獲得待測(cè)物體的表面三維形貌分布。

本文所采用的液晶顯示屏分辨率為1 440 pixel×900 pixel，像素間距為0.285 mm；CCD相機(jī)分辨率為1 280 pixel×960 pixel，鏡頭焦距為25 mm，標(biāo)稱像元尺寸4.65 μm×4.65 μm。同時(shí)考慮到從CCD獲取高質(zhì)量條紋以減小相位誤差，最終選擇的一維正弦條紋周期為30個(gè)像素，調(diào)制度為0.35；相機(jī)鏡頭F數(shù)為8。

1.2 面形重建數(shù)學(xué)模型

由于通過條紋反射法獲得的是光學(xué)元件面形梯度數(shù)據(jù)，因而在進(jìn)行面形重構(gòu)時(shí)，首先需要對(duì)Zernike多項(xiàng)式進(jìn)行求導(dǎo)，獲得其梯度函數(shù)[19]，進(jìn)而求解Zernike系數(shù)。面形重構(gòu)過程為：

認(rèn)為被檢光學(xué)元件表面光滑且連續(xù)，其面形可以表示為

w(x,y) =a1Z1(x,y)+a2Z2(x,y)+…+anZn(x,y)

(1)

式中：w(x,y)為面形函數(shù)；Zk(x,y)為平面直角坐標(biāo)系下的澤尼克多項(xiàng)式；ak為澤尼克多項(xiàng)式的系數(shù)；n為澤尼克項(xiàng)數(shù)。根據(jù)式(1)分別對(duì)x，y求導(dǎo)可得：

(2)

(3)

(4)

a=(ATA)-1(ATS)

(5)

由式(5)確定Zernike多項(xiàng)式系數(shù)后，代入式(1)即可重構(gòu)出待測(cè)面的面形。該方法不能給出系數(shù)a1，但該項(xiàng)代表平移項(xiàng)，其大小并不影響待測(cè)表面的形狀，可以不予考慮。

2 仿真結(jié)果與分析

本文利用計(jì)算機(jī)模擬仿真的方法驗(yàn)證所述算法在實(shí)際測(cè)量實(shí)驗(yàn)中的有效性。考慮到雙曲面屬于二次曲面，可作為一種非球面狀態(tài)進(jìn)行研究，從面形的復(fù)雜度及特殊性出發(fā)，選擇連續(xù)光滑雙曲面作為最終的仿真測(cè)量面形。利用 Matlab軟件，通過已知參數(shù)的設(shè)置直接生成仿真面形，然后對(duì)面形各點(diǎn)分別求得沿水平和垂直方向的梯度數(shù)據(jù)，作為算法檢驗(yàn)所需的初始數(shù)據(jù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)面形重構(gòu)。

2.1 Zernike多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的選取

Zernike多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)選取的不同會(huì)對(duì)波面精度造成一定的影響。理論上來說，Zernike多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)越多，擬合精度越高，越能真實(shí)的反映波面。目前，有研究學(xué)者發(fā)現(xiàn)Zernike多項(xiàng)式擬合波面并非項(xiàng)數(shù)越高越好，對(duì)于一般非球面檢測(cè)中遇到的實(shí)際波面，采用36項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式已經(jīng)完全可以進(jìn)行描述[17]。

在項(xiàng)數(shù)選定后，采樣點(diǎn)的數(shù)目會(huì)影響擬合精度。采樣點(diǎn)過少，會(huì)導(dǎo)致擬合后的波面與真實(shí)波面存在較大偏差，過多則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量大和擬合時(shí)間較長(zhǎng)。有學(xué)者對(duì)Zernike擬合精度與采樣點(diǎn)數(shù)目之間的關(guān)系進(jìn)行了探討，文獻(xiàn)[16]通過建立不同的測(cè)試函數(shù)，采用不完全歸納法研究了采樣點(diǎn)數(shù)目與Zernike多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，結(jié)果表明：當(dāng)Zernike項(xiàng)數(shù)少于30項(xiàng)時(shí)，采樣點(diǎn)的數(shù)目可以取為10倍Zernike多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)；當(dāng)Zernike項(xiàng)數(shù)為30～100項(xiàng)時(shí)，采樣點(diǎn)的數(shù)目可以取為6～10倍Zernike多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，其中采樣點(diǎn)的數(shù)目與所選取的項(xiàng)數(shù)為反變化關(guān)系；當(dāng)Zernike項(xiàng)數(shù)為100～300項(xiàng)時(shí)，采樣點(diǎn)的數(shù)目可取4～ 6倍Zernike多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)。

為研究Zernike多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的選取對(duì)本文算法的影響，分別選取前9，16，25，36和49項(xiàng)進(jìn)行仿真測(cè)量分析。假定模擬雙曲面方程為

(6)

利用Matlab軟件生成如圖2所示的模擬雙曲面。根據(jù)式(6)對(duì)高度z分別求取水平、垂直兩個(gè)方向的梯度，得到如圖3所示的梯度分布，作為后續(xù)面形重建算法所需的初始數(shù)據(jù)。

圖2 模擬雙曲面Fig.2 The simulated hyperboloid

圖3 模擬雙曲面梯度分布圖Fig.3 Gradient distribution of the simulated hyperboloid

采用面形重建算法模型，分別選取Zernike多項(xiàng)式前9，16，25，36和49項(xiàng)進(jìn)行重建，重建結(jié)果見表1。從表1可以看出，對(duì)于模擬雙曲面，隨著Zernike 項(xiàng)數(shù)的增加，重建精度逐漸提高，當(dāng)項(xiàng)數(shù)達(dá)到25項(xiàng)以上時(shí)，面形偏差峰谷值(Peak to Valley,PV)很小(10-15量級(jí))且基本不變，均方根值(Root Mean Square,RMS)在36項(xiàng)達(dá)到最小，但在49項(xiàng)出現(xiàn)了增大的趨勢(shì)?？紤]到算法的復(fù)雜性，本文最終選擇Zernike多項(xiàng)式前36項(xiàng)系數(shù)、采樣點(diǎn)數(shù)為300進(jìn)行面形重構(gòu)，認(rèn)為此時(shí)算法的理論精度較高，重建效果圖如圖4所示。

表1 采用不同Zernike多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的面形重建結(jié)果

圖4 模擬雙曲面重建結(jié)果Fig.4 Reconstruction results of the simulated hyperboloid

為進(jìn)一步說明本文算法在測(cè)量精度方面的優(yōu)越性，基于文獻(xiàn)[13]的Southwell模型迭代補(bǔ)償區(qū)域波前重構(gòu)基本思想進(jìn)行了算法編寫，并與Zernike重建算法進(jìn)行對(duì)比分析。考慮到實(shí)際過程中算法迭代次數(shù)的增多會(huì)引起噪聲的擴(kuò)散及處理時(shí)間的線性增長(zhǎng)，本文進(jìn)行了3次迭代。圖5為面形重建誤差圖，其中圖5(a)為基于迭代補(bǔ)償?shù)膮^(qū)域波前重構(gòu)誤差分布，圖5(b)和圖5(c)分別為選擇Zernike前9項(xiàng)和Zernike前36項(xiàng)的算法重建誤差圖。

由仿真結(jié)果可知，對(duì)于一個(gè)初始面形PV=0.007 5 mm，RMS=0.001 1 mm的雙曲面，選擇迭代補(bǔ)償區(qū)域波前法，擬合面形殘差PV=1.675 8e-09 mm，RMS=6.830 4e-11 mm；選擇Zernike前36項(xiàng)，擬合面形殘差PV=2.664 5e-15 mm，RMS=4.661 6e-16 mm；兩種方法的處理時(shí)間(矩陣大小均為300×300)分別為2.503 6 s，2.979 6 s。仿真結(jié)果表明，本文所提出的算法在幾乎不增加處理時(shí)間的情況下，一定程度地提高了積分精度，有效驗(yàn)證了該算法的優(yōu)越性，且在36項(xiàng)以內(nèi)，Zernike項(xiàng)數(shù)越多，擬合精度越高。表2為重建面形的36位Zernike多項(xiàng)式系數(shù)。

圖5 面形重建誤差圖Fig.5 Surface reconstruction errors

表2 重建面形的36位Zernike多項(xiàng)式系數(shù)Tab.2 36 bit Zernike polynomial coefficients for the surface reconstruction

從表2可以看出，本文所提出的面形重構(gòu)方法是利用Zernike多項(xiàng)式中每一項(xiàng)與光學(xué)系統(tǒng)中波像差一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在獲得面形重建結(jié)果的同時(shí)能夠準(zhǔn)確地給出初級(jí)像差系數(shù)。該方法不能給出平移系數(shù)，但該項(xiàng)并不影響待測(cè)表面的形狀，因此可以忽略。其次，由于條紋反射法的誤差主要來源于系統(tǒng)標(biāo)定，引入的面形偏差主要是低頻面形偏差，該方法還可以進(jìn)一步去掉澤尼克低階項(xiàng)后對(duì)中高頻誤差進(jìn)行分析比較，為復(fù)雜的鏡面條紋反射測(cè)量提供參考。

2.2 噪聲等級(jí)變化分析

考慮到實(shí)際測(cè)量過程中不可避免的存在各種噪聲干擾，抗噪性能也是檢驗(yàn)算法可行性的必要考察手段。在仿真模擬時(shí)向水平和豎直兩個(gè)方向的梯度數(shù)據(jù)中加入不同等級(jí)的噪聲，分析算法對(duì)噪聲的敏感程度。由于添加噪聲進(jìn)行仿真是基于數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)的方法，單次的運(yùn)算誤差不能說明方法的正確性。本文分別向仿真測(cè)量時(shí)得到的水平和豎直兩個(gè)方向的梯度數(shù)據(jù)加入1%～20%不同大小的噪聲，并對(duì)每一次添加噪聲后的面形偏差進(jìn)行50次的循環(huán)統(tǒng)計(jì)。圖6為添加5%噪聲后的面形偏差分布圖。從圖6可以看出，經(jīng)過50次的循環(huán)統(tǒng)計(jì)，相對(duì)運(yùn)算誤差分別為0.8%和1.4%，對(duì)算法的影響很小可以忽略。表3為添加不同大小隨機(jī)噪聲的面形重建結(jié)果，其中PV和RMS值為50次循環(huán)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的平均值。

圖6 添加5%噪聲后的面形偏差分布圖Fig.6 The distribution of the surface deviation after the addition of 5% noise

表3 添加不同大小噪聲的重建結(jié)果Tab.3 Reconstruction results with different sizes of noise

從表3可以看出，隨著添加噪聲的不斷增大，重建后的面形偏差PV和RMS值也不斷增大，當(dāng)噪聲≤15%時(shí)，PV和RMS值很小，即噪聲對(duì)算法的影響較??；當(dāng)噪聲達(dá)到20%時(shí)，PV和RMS值有較明顯變化，此時(shí)相對(duì)面形偏差達(dá)到1%和0.4%左右，算法受噪聲影響增大。因此，該算法在噪聲大小為15%以內(nèi)有很好的適用性。

3 結(jié) 論

本文提出了一種基于Zernike正交多項(xiàng)式的面形重建方法，通過理論推導(dǎo)，建立了面形重建數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論為

1) 分析了Zernike多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)與采樣點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，分別選取前9，16，25，36，49項(xiàng)進(jìn)行仿真測(cè)量，研究Zernike項(xiàng)數(shù)對(duì)本文算法的影響。結(jié)果表明：在36項(xiàng)以內(nèi)，Zernike 項(xiàng)數(shù)越多，擬合精度越高；當(dāng)項(xiàng)數(shù)達(dá)到49項(xiàng)時(shí)，面形偏差PV值基本不變，但RMS值出現(xiàn)了增大的趨勢(shì)。

2) 以雙曲面為例對(duì)基于迭代補(bǔ)償?shù)膮^(qū)域波前重構(gòu)法(迭代3次)與Zernike重建算法進(jìn)行分析對(duì)比。本文所提出的算法在幾乎不增加處理時(shí)間的情況下，一定程度地提高了積分精度，有效驗(yàn)證了該算法的優(yōu)越性，并給出了重建面形的36項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式系數(shù)，其中離焦項(xiàng)較大，但該項(xiàng)是由系統(tǒng)擺放誤差造成，后續(xù)可將其去除并對(duì)面形高頻誤差進(jìn)行對(duì)比分析。

3) 通過對(duì)梯度數(shù)據(jù)添加1%～20%不同大小的噪聲，并對(duì)每一次添加噪聲后的面形偏差進(jìn)行50 次的循環(huán)統(tǒng)計(jì)，以進(jìn)行算法的抗噪性能檢驗(yàn)。當(dāng)噪聲不大于15%時(shí)，算法有很好的適用性。