馮 飛， 羅 波， 張 策， 朱紅民

(中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

前輪擺振，是飛機(jī)地面滑行過程中出現(xiàn)的常見現(xiàn)象[1]。盡管已被研究近一個世紀(jì)，現(xiàn)代飛機(jī)在研制和使用過程中仍無法完全避免擺振問題。自Broulhiet最早在汽車領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)該問題后，前輪擺振在學(xué)術(shù)界普遍被認(rèn)為是一種包含輪胎變形、支柱扭轉(zhuǎn)變形與側(cè)向變形等在內(nèi)的多自由度耦合振動穩(wěn)定性問題[2-3]。von Schlippe等[4-6]，提出了輪胎的點接觸模型與張線模型，奠定了擺振輪胎理論的基礎(chǔ)，指出了輪胎參數(shù)對擺振穩(wěn)定性的影響。20世紀(jì)50年代起在美國Langley研究中心[7]開展的大量地面滑行試驗，為擺振的理論發(fā)展提供了基礎(chǔ)，起落架的結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響被學(xué)者廣泛研究。至20世紀(jì)80年代，起落架擺振的線性模型發(fā)展趨于完善，研究更多地關(guān)注了起落架與機(jī)體彈性、起落架與機(jī)身的聯(lián)接等因素的影響。此后，以平方阻尼、庫倫摩擦、結(jié)構(gòu)間隙為代表的等非線性參數(shù)，成為前輪擺振研究的熱點[8-12]。Somieski指出，線性模型在精確預(yù)測起落架前輪系統(tǒng)的擺振行為時是無力的。21世紀(jì)起，隨著應(yīng)用分岔理論(Applied Bifurcation Method)的逐漸完善，Thota等[13-15]提出了擺振分岔分析的基本步驟，采用分岔理論對非線性模型進(jìn)行擺振分析成為前沿研究方向[16-17]。

本文提出了較為完善的擺振分岔分析方法，對包含輪胎變形、支柱扭轉(zhuǎn)、支柱側(cè)向彎曲等自由度在內(nèi)的雙輪起落架非線性模型進(jìn)行了研究，并分析了輪間距、雙輪共轉(zhuǎn)對擺振穩(wěn)定性的影響。研究成果可用于指導(dǎo)飛機(jī)前起落架設(shè)計。

1 擺振動力學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系與自由度

如圖1所示，一個垂向承載Fz的雙輪前起落架。安裝點離地高度Lg，起落架跟隨機(jī)身以恒定速度V，通過半徑為R、間距為D的兩個機(jī)輪在跑道上直線滑行。

圖1 雙輪起落架擺振模型示意圖Fig.1 Schematic of a dual-wheel aircraft landing gear

滑行方向的反向定義為起落架坐標(biāo)軸的X軸，水平向右為Y軸，垂向向上為Z軸。起落架支柱扭轉(zhuǎn)的平衡位置為中立，故不考慮機(jī)身的側(cè)向運動。在平穩(wěn)滑行過程中，飛機(jī)沒有垂向位移，且起落架緩沖器的行程是不變的，故不考慮起落架的垂向位移。

(1)起落架支柱可繞定向軸S轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)角為θ。

(2)繞X軸方向，起落架支柱存在側(cè)向彎曲變形ψ。

(3)左右兩個輪胎的側(cè)向位移λ1和λ2用于描述輪胎的變形。

(4)輪軸扭轉(zhuǎn)變形的自由度ξ，用于共轉(zhuǎn)雙輪之間的相互作用。如將輪軸扭轉(zhuǎn)變形ξ至零，則表征雙輪不共轉(zhuǎn)。

1.2 動力學(xué)方程

雙輪共轉(zhuǎn)的擺振動力學(xué)方程，可表述為式(1)～式(5)。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式(1)和式(2)分別為起落架支柱扭轉(zhuǎn)與側(cè)向彎曲自由度的平衡方程；式(3)和式(4)為基于von Schlippe的張線理論的輪胎變形協(xié)調(diào)方程；式(5)為輪軸扭轉(zhuǎn)變形自由度的平衡方程。

在后文方程的描述中，為便于書寫，略去表征左右輪胎的下角標(biāo)i。

1.2.1起落架支柱扭轉(zhuǎn)方程

Mkθ=kθ·θ

(6)

(7)

式中：MF為輪胎作用于支柱扭轉(zhuǎn)自由度的組合力矩，包含輪胎非線性扭轉(zhuǎn)回正力矩Mkδ和輪胎非線性側(cè)向回復(fù)力Fkλ產(chǎn)生的力矩，如式(8)

MF=Mkδ+Fkλ·eeff

(8)

輪胎非線性扭轉(zhuǎn)回正力矩Mkδ用式(9)進(jìn)行描述。在輪胎的側(cè)滑極限δm范圍內(nèi)，回正力矩Mkδ隨側(cè)偏角δ按正弦規(guī)律變化；在側(cè)滑極限δm范圍外，輪胎發(fā)生了側(cè)滑，回正力矩Mkδ等于零。

(9)

輪胎非線性側(cè)向回復(fù)力Fkλ根據(jù)實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可表達(dá)為輪胎側(cè)向剛度系數(shù)kλ、側(cè)偏角δ和垂向載荷FZ的函數(shù)，如式(10)所示

Fkλ=kλarctan(7.0 tanδ)cos(0.95arctan(7.0 tanδ))FZ(10)

(11)

(12)

定向軸S與Z軸之間的前傾角φ，使得機(jī)輪的轉(zhuǎn)向角ζ并不嚴(yán)格等于起落架支柱的扭轉(zhuǎn)角θ，而是滿足式(13)所述的關(guān)系

ζ=θcos(φ)

(13)

定向軸S距離機(jī)輪的輪心存在機(jī)械穩(wěn)定距e。前傾角φ的存在產(chǎn)生了幾何穩(wěn)定距eeff，使得等效穩(wěn)定距滿足式(14)

eeff=ecosφ+(R+esinφ)tanφ

(14)

(15)

在起落架滑行過程中，左右機(jī)輪承受的垂向載荷FZ1和FZ2并不相等。根據(jù)力矩平衡關(guān)系[19]，可按式(16)進(jìn)行計算

(16)

式中：kv為輪胎的垂向壓縮剛度；γ為支柱前傾角導(dǎo)致的輪盤平面?zhèn)葍A角，可表達(dá)為式(17)

γ=θsin(φ)

(17)

1.2.2起落架支柱側(cè)向彎曲變形方程

Mkψ=kψ·ψ

(18)

(19)

式中：Mλψ為輪胎非線性側(cè)向回復(fù)力產(chǎn)生的力矩，如式(20)所示

Mλψ=FkλLgcos(ζ)cos(φ)

(20)

(21)

1.2.3輪胎變形協(xié)調(diào)方程

起落架支柱的扭轉(zhuǎn)與側(cè)向彎曲變形，通過輪胎的側(cè)向力進(jìn)行耦合作用。機(jī)輪的輪胎模型基于張線理論建立，以輪胎觸地點中心線的側(cè)向位移λ和側(cè)偏角δ作為輪胎變形量。其中，輪胎的側(cè)偏角δ被定義為輪胎觸地點中心線的側(cè)向位移λ和輪胎松弛長度σ的函數(shù)，可表達(dá)為式(22)

δ=arctan(λ/σ)

(22)

輪胎相關(guān)的其余力和力矩見1.2.1節(jié)，不再贅述。

1.2.4輪軸扭轉(zhuǎn)變形自由度的平衡方程

式(5)描述了考慮雙輪共轉(zhuǎn)條件下的輪軸扭轉(zhuǎn)變形。如將變量ξ至零，則表征雙輪不共轉(zhuǎn)。

1.3 參數(shù)取值與延拓范圍

文中參數(shù)的含義與取值參見表1[20]。參數(shù)取值基于A320的前起落架數(shù)據(jù)?？紤]到參數(shù)分岔圖像的完整性，部分參數(shù)的選取，如前向滑行速度等，可能超過實際的取值范圍。

表1 參數(shù)取值表Tab.1 Value of parateters

2 擺振分岔分析方法

擺振動力學(xué)方程組，可以改寫為式(23)的形式

(23)

擺振分岔分析步驟如下：

步驟1確定平衡點。

在不考慮轉(zhuǎn)彎的前向滑行擺振分析中，希望出現(xiàn)的系統(tǒng)平衡狀態(tài)為各狀態(tài)變量中立的零平衡狀態(tài)，即起落架支柱無扭轉(zhuǎn)角與側(cè)向彎曲變形，輪胎觸地點中心線無側(cè)向位移等。故在擺振分岔分析中，僅分析零平衡狀態(tài)下的穩(wěn)定性及相應(yīng)Hopf分岔(及周期振蕩解)的分岔特性。

步驟2尋找Hopf分岔點。

在確定平衡狀態(tài)后，固定包含第二個控制參數(shù)β在內(nèi)的其余所有參數(shù)不變，連續(xù)地變換第一個控制參數(shù)α的取值，計算控制參數(shù)α不同取值情況下，系統(tǒng)零平衡狀態(tài)的所有特征值。

若Jacobi矩陣的所有特征值λ1，λ2，…,λn滿足Reλ<0，零平衡狀態(tài)則是穩(wěn)定的。隨著控制參數(shù)α的連續(xù)變化，所有特征值λ1,λ2,…,λn也連續(xù)變化。若發(fā)現(xiàn)控制參數(shù)在某個取值α=αH時，某一對特征值出現(xiàn)了Reλi,j=0情況，則系統(tǒng)出現(xiàn)了Hopf分岔。并稱控制參數(shù)α=αH為系統(tǒng)零平衡狀態(tài)的Hopf分岔點，簡稱為Hopf分岔點。

步驟3Hopf分岔點的單參數(shù)延拓。

選取任一Hopf分岔點，仍僅連續(xù)變換第一個控制參數(shù)α的取值，采用延拓算法，對各特征量隨控制參數(shù)的變化進(jìn)行計算。

圖2為采用前向滑行速度為控制變量進(jìn)行單參數(shù)延拓的計算結(jié)果。

步驟4Hopf分岔點的雙參數(shù)延拓。

在獲得第一個控制參數(shù)α的Hopf分岔點α=αH的基礎(chǔ)上，增加第二個控制參數(shù)β，求解二維控制參數(shù)(α,β)平面內(nèi)的Hopf分支線。

圖2 Hopf分岔特征量隨滑行速度的變化曲線Fig.2 Curves of characteristic parameter varying with forward speed

圖3為采用前向滑行速度和垂向載荷為控制變量進(jìn)行雙參數(shù)延拓的計算結(jié)果。觀察可得：兩條Hopf分岔曲線交于2點，稱為雙Hopf分岔點，圖中表示為“HH”；其中，一條封閉的Hopf分岔點上出現(xiàn)了2個Bautin分岔點，圖中表示為“B”。Bautin分岔點意味著在當(dāng)前點Hopf分岔曲線發(fā)生了分岔。分岔出的一分支(圖2中兩個Bautin分支點之間上方的曲線)為不穩(wěn)定的極限環(huán)的邊界，擺振分岔分析并不關(guān)心；另一支為穩(wěn)定的極限環(huán)的邊界，表征擺振穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū)的邊界，有待進(jìn)一步求解[21]。

圖3 以垂向載荷、滑行速度為控制變量的分岔圖(1)Fig.3 Bifurcation map in vertical load-forward speed plane(1)

步驟5Bautin分岔點的雙參數(shù)延拓。

以Bautin分岔點為起點，延拓計算Hopf分支線分岔后的穩(wěn)定分支。

如圖4所示，新計算獲得的分支線即擺振穩(wěn)定區(qū)的邊界。由此，擺振分岔計算的二維相圖完成；獲得了擺振穩(wěn)定與非穩(wěn)定區(qū)域圖，詳見圖5。如圖5所示，起落架擺振在相圖上可直觀地進(jìn)行分辨，包括以支柱扭轉(zhuǎn)為主體的扭轉(zhuǎn)擺振和以支柱側(cè)向彎曲變形為主體的側(cè)向彎曲擺振(簡稱側(cè)向擺振)。

圖4 以垂向載荷、滑行速度為控制變量的分岔圖(2)Fig.3 Bifurcation map in vertical load-forward speed plane(2)

本章僅給出擺振分岔計算的基本流程，不給出分岔計算的具體理論[21]。

圖5 典型的擺振分岔圖Fig.5 Typical bifurcation map of shimmy analysis

3 擺振參數(shù)分析

3.1 輪間距對擺振穩(wěn)定區(qū)的影響

圖6和圖7給出了輪間距D從0～0.4 m內(nèi)不同取值的扭轉(zhuǎn)與側(cè)向擺振區(qū)域。

圖6 輪間距對扭轉(zhuǎn)擺振區(qū)域的影響Fig.6 Effect of tyre-distance on torsional shimmy bifurcation area

圖7 輪間距對扭轉(zhuǎn)擺振區(qū)域的影響Fig.7 Effect of tyre-distance on lateral shimmy bifurcation area

如圖6和圖7所示，隨著輪間距的增大，扭轉(zhuǎn)擺振區(qū)域產(chǎn)生了一定的增加，側(cè)向擺振區(qū)域則趨于減小。輪間距的增大，變相提高了支柱的側(cè)向彎曲剛度，進(jìn)而對側(cè)向擺振起到抑制作用，對扭轉(zhuǎn)擺振則剛好相反。

除輪間距小于0.1 m時帶來的差異幾乎可以忽略外，輪間距變化導(dǎo)致擺振區(qū)域的差異是很明顯的。并且，輪間距其取值越大，其等幅增量引起的變化越為顯著。輪間距為0.4 m時的扭轉(zhuǎn)擺振區(qū)域面積是零輪間距情況的約2.5倍，側(cè)向擺振區(qū)域面積約為2倍。

在維持中低速和中低垂向載荷區(qū)域穩(wěn)定性不變的同時，扭轉(zhuǎn)擺振區(qū)域隨著輪間距的增大，向高速高垂向載荷區(qū)域延伸擴(kuò)展。側(cè)向擺振區(qū)域則向高垂向載荷區(qū)域拓展。

圖8 輪間距對擺振區(qū)域的影響Fig.8 Effect of tyre-distance on shimmy bifurcation area

圖8給出了輪間距為0.5 m時的擺振區(qū)域。相比不大于0.4 m的情況，其擺振區(qū)域截然不同。如圖8所示，輪間距為0.5 m的情況下，扭轉(zhuǎn)擺振與側(cè)向擺振的Hopf分支線完全融合。原有的兩組Hopf分岔曲線組成一條自相交的復(fù)雜曲線，表征了擺振的發(fā)生區(qū)域。在整條曲線的右上方，包含曲線左端的封閉區(qū)域，均會發(fā)生擺振現(xiàn)象。由于拓?fù)湫问降母淖?，擺振類型無法嚴(yán)格地進(jìn)行劃分。

3.2 雙輪共轉(zhuǎn)對擺振穩(wěn)定區(qū)的影響

為綜合考察雙輪共轉(zhuǎn)對擺振區(qū)域的影響，計算輪間距分別為0.1 m，0.2 m和0.3 m時，采用雙輪共轉(zhuǎn)的擺振區(qū)域圖，與相應(yīng)的不共轉(zhuǎn)情況進(jìn)行對比，如圖9所示。

圖9 雙輪共轉(zhuǎn)對擺振穩(wěn)定區(qū)的影響Fig.9 Effect of co-rotation wheels on shimmy bifurcation area

如圖9所示，在輪間距0.1 m的情況下，采取雙輪共轉(zhuǎn)的擺振穩(wěn)定區(qū)與不共轉(zhuǎn)幾乎完全重合；隨著輪間距的逐漸增大，雙輪共轉(zhuǎn)一定程度上減小了高滑行速度下的扭轉(zhuǎn)擺振非穩(wěn)定區(qū)，對于側(cè)向擺振區(qū)域則幾乎沒有影響。

4 結(jié) 論

本文建立了包含輪胎變形、支柱結(jié)構(gòu)變形等自由度的雙輪起落架非線性擺振動力學(xué)模型，給出了一套采用分岔分析方法進(jìn)行非線性擺振穩(wěn)定性研究的方法，并對輪間距、雙輪共轉(zhuǎn)對擺振穩(wěn)定性的影響進(jìn)行了詳細(xì)分析。

(1)輪間距的增加變相提高了支柱的側(cè)向彎曲剛度，能減小側(cè)向擺振的發(fā)生區(qū)域，增大扭轉(zhuǎn)擺振區(qū)域。當(dāng)輪間距超過某一臨界值時，輪間距會導(dǎo)致擺振區(qū)域拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變。

(2)采用雙輪共轉(zhuǎn)，對起落架的扭轉(zhuǎn)防擺在一定程度上起到積極的作用。在采用相對較大的輪間距時，雙輪共轉(zhuǎn)對扭轉(zhuǎn)擺振區(qū)域的影響更為明顯。對小輪距的起落架，雙輪共轉(zhuǎn)的作用是很有限的。