陳穎杰 鄧傳光 馬天壽

1. 中國石油西南油氣田公司勘探事業(yè)部 2. “油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程”國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·西南石油大學(xué)

0 引言

井壁失穩(wěn)問題是鉆井工程中非常棘手的井下復(fù)雜或事故，井壁失穩(wěn)通常表現(xiàn)為井壁坍塌和井眼漏失，準(zhǔn)確控制井筒壓力高于坍塌壓力并低于破裂壓力，可以有效避免井壁失穩(wěn)事故，還可以避免誘發(fā)產(chǎn)生的井噴、井漏、井塌、卡鉆等井下復(fù)雜和事故[1-3]。

國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)井壁穩(wěn)定問題已經(jīng)開展了較為深入的研究，建立多種經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、解析模型和?shù)值模擬方法[2-6]。研究的焦點(diǎn)主要集中于本構(gòu)模型和破壞準(zhǔn)則，本構(gòu)模型方面已經(jīng)形成了線彈性解析解、塑性模型、彈塑性模型、孔隙彈性模型、孔隙熱彈性模型、化學(xué)孔隙彈性模型、化學(xué)孔隙熱彈性模型等多種模型[6-17]，破壞準(zhǔn)則方面已經(jīng)形成了Mohr-Coulomb準(zhǔn)則、Drucker-Prager準(zhǔn)則、Mogi-Coulomb準(zhǔn)則、修正Lade準(zhǔn)則、修正Wiebols-Cook準(zhǔn)則、Hoek-Brown準(zhǔn)則等多種準(zhǔn)則[18-20]。但是，由于深部地層地質(zhì)條件的隱蔽性和不確定性，加之地球物理測(cè)井及其解釋方法均存在一定誤差，使得地層地質(zhì)力學(xué)參數(shù)（地應(yīng)力、孔隙壓力）、巖石力學(xué)參數(shù)等呈現(xiàn)出較強(qiáng)的不確定性，進(jìn)行井壁穩(wěn)定分析時(shí)將難以確定準(zhǔn)確的輸入?yún)?shù)。若輸入?yún)?shù)出現(xiàn)一定偏差，將導(dǎo)致井壁穩(wěn)定分析結(jié)果出現(xiàn)偏差，甚至可能出現(xiàn)嚴(yán)重錯(cuò)誤[4-5]。在國外，一些學(xué)者采用定量風(fēng)險(xiǎn)分析方法定量研究了輸入?yún)?shù)不確定性特征，并且明確了輸入?yún)?shù)不確定程度對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響[21-25]；在國內(nèi)，張立松等推導(dǎo)了煤層氣直井坍塌壓力可靠度計(jì)算公式[26]，魏凱等[27-28]建立了直井井壁失穩(wěn)區(qū)域識(shí)別方法，可見國內(nèi)針對(duì)輸入?yún)?shù)不確定性及對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果影響的研究較少，參數(shù)不確定性對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響尚不明確。為此，筆者基于可靠性理論，建立井壁穩(wěn)定風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)方法，定量評(píng)價(jià)直井井壁失穩(wěn)的風(fēng)險(xiǎn)，并進(jìn)行參數(shù)不確定性的影響分析與評(píng)價(jià)，以期為直井井壁穩(wěn)定控制和措施的制定提供理論支撐。

1 井壁穩(wěn)定力學(xué)模型

1.1 井壁應(yīng)力分布

對(duì)于直井而言，在井眼圓柱坐標(biāo)系(r，θ，z)中，井壁處的應(yīng)力可取Kirsch方程中r=rw并整理得到[1-2]：

式中σr，σθ，σz分別表示井周徑向、環(huán)向和軸向應(yīng)力，MPa；σH，σh，σv分別表示最大、最小水平地應(yīng)力和上覆巖層壓力，MPa；pi表示井筒液柱壓力，MPa；v表示泊松比；θ表示井壁任意位置對(duì)應(yīng)的圓周角，( °)。

1.2 坍塌壓力計(jì)算模型

強(qiáng)度準(zhǔn)則的選取是井壁坍塌壓力計(jì)算另一個(gè)非常重要的方面，最常用的強(qiáng)度準(zhǔn)則是Mohr-Coulomb準(zhǔn)則、Drucker-Prager準(zhǔn)則、Hoek-Brown準(zhǔn)則等。實(shí)踐表明，對(duì)于比較堅(jiān)硬的巖石，Mohr-Coulomb準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果比較可靠，此處采用Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，即：

式中σ1，σ3分別表示最大、最小地應(yīng)力，MPa；Co表示內(nèi)聚力，MPa； 表示內(nèi)摩擦角，( °)。

巖石剪切破壞與否主要取決于所受的應(yīng)力狀態(tài)，最大、最小主應(yīng)力差值越大，則井壁坍塌越容易發(fā)生。通常情況下，井壁處最大、最小主應(yīng)力分別為環(huán)向應(yīng)力和徑向應(yīng)力，即井壁是否坍塌主要取決于于井壁環(huán)向應(yīng)力（σθ）和徑向應(yīng)力（σr）的差值。由式（1）不難看出：當(dāng)井周角θ=±π/2時(shí)，環(huán)向應(yīng)力達(dá)到最大值，而該處的差應(yīng)力（σθ-σr）將達(dá)到最大值，說明井壁坍塌失穩(wěn)的臨界點(diǎn)位于θ=±π/2處，即井壁失穩(wěn)的方位與最小水平地應(yīng)力方向一致。若考慮巖石非線性特性和巖石孔隙中所作用的孔隙壓力（pp），則井壁失穩(wěn)臨界點(diǎn)的最大和最小有效應(yīng)力[2]：

式中α表示Biot系數(shù)；pp表示地層孔隙壓力，MPa；pi表示鉆井液柱壓力，MPa；η表示應(yīng)力非線性修正系數(shù)，一般η=0.95。

于是，將式（3）帶入式（2）得坍塌壓力計(jì)算模型[2]：

式中pc表示坍塌壓力，MPa。

1.3 破裂壓力計(jì)算模型

當(dāng)井內(nèi)的鉆井液柱所產(chǎn)生的壓力高到足以壓裂地層，使其原有的裂隙張開延伸或形成新的裂隙時(shí)的井內(nèi)流體壓力稱為地層的破裂壓力（pf）。地層破裂是由于井內(nèi)鉆井液密度過大使巖石所受的周向應(yīng)力達(dá)到巖石的抗拉強(qiáng)度而造成的，即

式中St表示巖石抗拉強(qiáng)度，MPa。

由式（1）不難看出：當(dāng)井筒壓力增大時(shí)，環(huán)向應(yīng)力變??；當(dāng)井筒壓力增大到一定程度時(shí)，環(huán)向應(yīng)力將變成負(fù)值，即巖石所受周向應(yīng)力由壓縮應(yīng)力變?yōu)槔鞈?yīng)力，當(dāng)拉伸應(yīng)力大到足以克服巖石的抗拉強(qiáng)度時(shí)，地層則產(chǎn)生破裂造成井漏。破裂發(fā)生在環(huán)向應(yīng)力最小處，即井壁破裂的臨界點(diǎn)位于θ= 0°或π處。若考慮巖石孔隙中所作用的pp，則井壁破裂臨界點(diǎn)的最小有效應(yīng)力為：

于是，將式（7）帶入式（6）可得壓裂井壁的臨界壓力值，即破裂壓力[2]：

式中pf表示破裂壓力，MPa。

2 井壁失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)可靠度評(píng)價(jià)方法構(gòu)建

根據(jù)可靠性理論，假設(shè)井壁穩(wěn)定的功能函數(shù)具有如下的一般形式：

將功能函數(shù)（Z）在均值點(diǎn)(稱為中心點(diǎn))處展開成Taylor級(jí)數(shù)并保留至一次項(xiàng)，即

根據(jù)相互獨(dú)立正態(tài)分布隨機(jī)變量線性組合的性質(zhì)，則Z的均值和方差可分別表示如下[29]：

式中μZ表示功能函數(shù)Z的均值；σZ表示功能函數(shù)Z的方差。

根據(jù)可靠度指標(biāo)的定義，由式(13)、(14)可得可靠度指標(biāo)[29]：

式中β表示可靠度指標(biāo)。

上述方法將功能函數(shù)Z在隨機(jī)變量的均值點(diǎn)展開成Taylor級(jí)數(shù)并取一次項(xiàng)，利用X的一階矩（均值）和二階矩（方差）計(jì)算Z的可靠度，所以又稱為均值一次二階矩方法[29]。當(dāng)已知X的均值和方差時(shí)，可用此方法簡(jiǎn)便地估算可靠度指標(biāo)。通常情況下，將功能函數(shù)處于失穩(wěn)狀態(tài)下的概率稱為失穩(wěn)概率，若功能函數(shù)符合正態(tài)分布，則井壁失穩(wěn)的概率和井壁穩(wěn)定的可靠度概率可表示[29]：

式中Pf表示井壁失穩(wěn)的概率；Pr表示井壁穩(wěn)定的概率；Φ表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

因此，將式（10）帶入式（12）～（13），計(jì)算井壁坍塌和破裂兩種情況下功能函數(shù)（Z）的均值（μZ）和方差（σZ）；進(jìn)一步，將功能函數(shù)（Z）的均值（μZ）和方差（σZ）帶入式(14)，計(jì)算可靠度指標(biāo)（β）；最后，將可靠度指標(biāo)（β）帶入式（15），可計(jì)算出井壁失穩(wěn)和井壁穩(wěn)定所對(duì)應(yīng)的概率，此二者之和為1，從而可實(shí)現(xiàn)井壁失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)的定量評(píng)價(jià)。

3 應(yīng)用分析

3.1 基礎(chǔ)輸入?yún)?shù)不確定性分析

井壁坍塌壓力和破裂壓力的計(jì)算主要涉及如下輸入?yún)?shù)：井筒壓力、最大水平地應(yīng)力、最小水平地應(yīng)力、孔隙壓力、巖石強(qiáng)度（內(nèi)聚力、內(nèi)摩擦角和抗張強(qiáng)度）、應(yīng)力非線性修正系數(shù)、Biot系數(shù)等，其中，井筒壓力、應(yīng)力非線性修正系數(shù)和Biot系數(shù)基本可以認(rèn)為是確定輸入?yún)?shù)，而最大水平地應(yīng)力、最小水平地應(yīng)力、孔隙壓力、巖石強(qiáng)度(內(nèi)聚力、內(nèi)摩擦角和抗張強(qiáng)度)具有一定的不確定性。描述參數(shù)不確定性的數(shù)學(xué)方法主要有均勻分布、三角分布、正態(tài)分布、Beta分布、Weibull分布、Gamma分布等多種，通常這些參數(shù)基本上能夠滿足正態(tài)分布。

為了分析輸入?yún)?shù)不確定性特征，以四川盆地X井為例進(jìn)行分析，該井須家河組埋深介于4 200～4 500 m，測(cè)井和實(shí)鉆資料表明，該井所在地區(qū)的上覆巖層壓力梯度介于2.27～3.02 MPa/100 m、水平最大地應(yīng)力梯度介于1.85～2.59 MPa/100 m、水平最小地應(yīng)力梯度介于1.55～2.16 MPa/100 m、地層孔隙壓力梯度介于1.17～1.45 MPa/100 m、地層巖石內(nèi)聚力介于14.25～22.25 MPa，巖石內(nèi)摩擦角介于31.25°～35.46°，巖石抗張強(qiáng)度介于4.65～7.48 MPa。根據(jù)測(cè)井解釋結(jié)果給定各參數(shù)的均值，參考現(xiàn)場(chǎng)各種測(cè)試方法計(jì)算相關(guān)參數(shù)可能的誤差范圍[14]設(shè)定各參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值），給定各參數(shù)的不確定性統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示，通過蒙特卡洛模擬得到的地應(yīng)力、巖石強(qiáng)度等參數(shù)分布擬合結(jié)果如圖1所示。不難看出，各參數(shù)的不確定分布規(guī)律滿足正態(tài)分布規(guī)律；變異系數(shù)越高，則樣本數(shù)據(jù)的不確定性越強(qiáng)，參數(shù)的分布越廣泛，對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響將更加顯著；反之亦然?？梢娺@種強(qiáng)烈的參數(shù)不確定性勢(shì)必會(huì)對(duì)井壁穩(wěn)定性分析結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。

表1 輸入?yún)?shù)不確定性特征統(tǒng)計(jì)表

3.2 不同鉆井液當(dāng)量密度下可靠度評(píng)價(jià)結(jié)果

為了計(jì)算不同井筒壓力下井壁穩(wěn)定的可靠度概率，取不同井筒鉆井液當(dāng)量密度值，按第2節(jié)所述的方法計(jì)算了不同鉆井液當(dāng)量密度下防止井壁坍塌和井壁破裂的可靠概率，如圖2所示。

由圖2可知，隨著井筒鉆井液當(dāng)量密度的增加，井壁坍塌條件所對(duì)應(yīng)的可靠概率逐漸增加，而井壁破裂條件所對(duì)應(yīng)的可靠概率逐漸降低。這充分說明，隨著井筒鉆井液當(dāng)量密度的增加，一方面井壁坍塌的風(fēng)險(xiǎn)逐漸降低，因而井壁保持穩(wěn)定的概率逐漸增加；另一方面井壁破裂的風(fēng)險(xiǎn)又逐漸增加，使得井壁被壓漏的概率逐漸增加。因此，需要尋找一個(gè)合適的井筒鉆井液當(dāng)量密度，使得防止井壁坍塌和漏失的可靠概率均保持在較高的概率。通常情況下，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線都會(huì)存在一個(gè)交點(diǎn)，該交點(diǎn)的意思是井壁坍塌和井壁破裂為等概率事件，在低于該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的概率情況下將能夠找到一個(gè)合適的安全窗口、而高于該交點(diǎn)將不存在安全窗口。圖2中標(biāo)出了3種典型的情況，這3種情況可以分為兩類，第一類是要求比較高的可靠概率(90%)，由于井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點(diǎn)出現(xiàn)在當(dāng)量密度為1.65 g/cm3，而此時(shí)對(duì)應(yīng)的坍塌壓力和破裂壓力當(dāng)量密度分別為1.78 g/cm3和1.45 g/cm3，這二者之間并沒有安全窗口，說明此時(shí)難以在該類地層中實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)；第二類為了能夠在較為安全的概率下成功鉆穿該地層，可以適當(dāng)?shù)倪x擇恰當(dāng)?shù)目煽扛怕?，比如將可靠概率定?0%或70%，這兩種情況對(duì)應(yīng)的安全窗口分別介于1.58～1.73 g/cm3和1.45～1.92 g/cm3，可靠概率80%對(duì)應(yīng)的安全窗口明顯小于可靠概率70%的情形，這說明適當(dāng)?shù)剡x擇工程上可以接受的概率范圍，可以在更寬的安全窗口內(nèi)設(shè)計(jì)井筒鉆井液密度。但是，工程上通常需要將可靠概率控制在80%以上，這樣鉆穿該地層的成功率將會(huì)達(dá)到比較理想的效果。

3.3 輸入?yún)?shù)不確定程度的影響

3.3.1 地應(yīng)力的影響

地應(yīng)力不確定性對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響可以分為兩個(gè)主要的方面，一方面是最大水平地應(yīng)力的影響，另一方面是最小水平地應(yīng)力的影響。為了明確這兩方面因素的影響規(guī)律，計(jì)算了最大和最小水平地應(yīng)力在變異系數(shù)分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4這5種情況下不同當(dāng)量密度所對(duì)應(yīng)的井壁穩(wěn)定可靠度概率，結(jié)果如圖3所示。

圖1 基本輸入?yún)?shù)正態(tài)分布特征圖

由圖3可知，①隨著水平地應(yīng)力變異系數(shù)的增加，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點(diǎn)下降，②圖3-a顯示出現(xiàn)的位置基本上在當(dāng)量密度為1.65 g/cm3，5種情況下交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的可靠概率下降，分別為93.3%、90.2%、83.5%、78.0%和73.5%；③圖3-b顯示交點(diǎn)出現(xiàn)的位置隨變異系數(shù)的增加而逐漸向左移動(dòng)，且5種情況下交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的可靠概率也逐漸降低，分 別 為 85.7%、80.5%、73.4%、68.5% 和 64.8%；④圖3-b還顯示井壁坍塌可靠概率曲線受到的最小水平地應(yīng)力變異系數(shù)影響較小。綜上所述，地應(yīng)力不確定性對(duì)井壁穩(wěn)定影響顯著，其中，最大水平地應(yīng)力不確定程度對(duì)井壁坍塌和井壁破裂均有顯著影響，而最小水平地應(yīng)力不確定程度主要影響井壁破裂。井壁穩(wěn)定分析中需要準(zhǔn)確確定地應(yīng)力的大小，不確定程度越低，則井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的可信度越高，所確定的井壁穩(wěn)定安全窗口也將更加準(zhǔn)確。

3.3.2 孔隙壓力的影響

地層孔隙壓力對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果也具有顯著的影響，為了明確這方面因素的影響規(guī)律，計(jì)算了孔隙壓力在變異系數(shù)分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4這5種情況下不同當(dāng)量密度所對(duì)應(yīng)的井壁穩(wěn)定可靠度概率，結(jié)果如圖4所示。

圖2 不同當(dāng)量密度下的井壁穩(wěn)定可靠度概率圖

由圖4可知，隨著孔隙壓力變異系數(shù)的增加，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點(diǎn)出現(xiàn)的位置出現(xiàn)在1.64～1.66 g/cm3，但這5種情況下交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的可靠概率略微降低，分別為87.5%、86.6%、85.7%、83.5%和82.5%，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線反映出對(duì)井壁穩(wěn)定安全窗口不如地應(yīng)力的影響顯著，但對(duì)于一些窄安全密度窗口地層，其影響將不容忽視。

3.3.3 巖石強(qiáng)度的影響

地層巖石強(qiáng)度對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果也具有一定的影響，為了明確這方面因素的影響規(guī)律，計(jì)算了巖石內(nèi)聚力、內(nèi)摩擦角和抗張強(qiáng)度在變異系數(shù)分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4這5種情況下不同當(dāng)量密度所對(duì)應(yīng)的井壁穩(wěn)定可靠度概率，巖石強(qiáng)度參數(shù)不確定程度對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響如圖5所示。

圖3 最大、最小水平地應(yīng)力不確定程度對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響圖

圖4 孔隙壓力不確定程度對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響圖

1）對(duì)于巖石內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角而言，①隨著內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角變異系數(shù)的增加，井壁坍塌可靠概率曲線受到了一定程度的影響，其受影響程度與地應(yīng)力相比較小，但井壁破裂可靠概率曲線并未受到影響；②在巖石內(nèi)聚力變異系數(shù)由0增加至0.4的過程中，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點(diǎn)出現(xiàn)的位置隨變異系數(shù)的增加而逐漸向右移動(dòng)，但基本上都在當(dāng)量密度為1.62～1.65 g/cm3的范圍內(nèi)，而且這5種情況下交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的可靠概率也略微降低，分別為84.8%、84.7%、84.6%、84.5%和83.9%；③在巖石內(nèi)摩擦角變異系數(shù)由0增加至0.4的過程中，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點(diǎn)出現(xiàn)的位置也隨變異系數(shù)的增加而逐漸向右移動(dòng)，但基本上都在當(dāng)量密度為1.62～1.68 g/cm3的范圍內(nèi)，而且這5種情況下交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的可靠概率也略微降低，分別為84.6%、84.6%、83.8%、83.5%和82.7%。

圖5 巖石強(qiáng)度參數(shù)不確定程度對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響圖

2）對(duì)于巖石抗張強(qiáng)度而言，①隨著抗張強(qiáng)度變異系數(shù)的增加，井壁破裂可靠概率曲線受到了一定程度的影響，其受影響程度與地應(yīng)力相比較小，但井壁坍塌可靠概率曲線并未受到影響；②在巖石抗張強(qiáng)度變異系數(shù)由0增加至0.4的過程中，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點(diǎn)出現(xiàn)的位置隨變異系數(shù)的增加而逐漸向左移動(dòng)，但基本上都在當(dāng)量密度為1.63～1.66 g/cm3的范圍內(nèi)，而且這5種情況下交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的可靠概率也略微降低，分別為84.3%、84.3%、84.2%、84.0%和83.5%。因此，巖石強(qiáng)度的不確定性對(duì)井壁穩(wěn)定的安全窗口分析結(jié)果具有一定影響，盡管對(duì)井壁穩(wěn)定安全窗口分析結(jié)果影響并不顯著，但對(duì)于一些窄安全密度窗口地層，其影響將不容忽視。

4 結(jié)論

1）給出了以Kirsch方程、Mohr-Coulomb準(zhǔn)則和最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的井壁穩(wěn)定力學(xué)模型，建立了基于可靠度理論的井壁失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)方法。

2）各輸入?yún)?shù)的不確定分布規(guī)律基本滿足正態(tài)分布規(guī)律，變異系數(shù)越高，則樣本參數(shù)的不確定性越強(qiáng)，參數(shù)的分布越廣泛，對(duì)井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響將更加顯著。因此，輸入?yún)?shù)不確定性對(duì)井壁穩(wěn)定性分析結(jié)果具有重要的影響。

3）井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線交點(diǎn)以下將能夠找到一個(gè)合適的安全窗口、而高于該交點(diǎn)將不存在安全窗口，在允許的概率范圍內(nèi)適當(dāng)降低可靠概率有助于優(yōu)化更寬的安全窗口。

4）不確定性分析結(jié)果看，地應(yīng)力、孔隙壓力、巖石強(qiáng)度3個(gè)因素不確定性對(duì)井壁穩(wěn)定影響大小的順序?yàn)榈貞?yīng)力＞孔隙壓力＞巖石強(qiáng)度。因此，建議準(zhǔn)確地確定地應(yīng)力的大小，以降低其不確定程度的影響，從而提高對(duì)井壁穩(wěn)定性評(píng)價(jià)的準(zhǔn)確性。