，

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266590；2.山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院， 山東 青島 266590)

圖1 憶阻器伏安特性曲線Fig.1 Current-voltage characteristic of memristor

1971年，電路理論學(xué)家蔡少棠根據(jù)概念的對稱性首次提出用憶阻器來描述電荷與磁鏈之間的關(guān)系[1]。2008年，美國惠普公司實(shí)驗(yàn)室首次實(shí)現(xiàn)了具有記憶功能的TiO2納米級憶阻器[2]。如圖1所示，憶阻器展示了“8”字型伏安特性曲線，其憶導(dǎo)值依賴于電壓或電流的作用時(shí)間。與傳統(tǒng)電阻相比，憶阻器具有記憶特性。因此，越來越多的學(xué)者用憶阻器代替?zhèn)鹘y(tǒng)的電阻元件來模擬大腦神經(jīng)元突觸，用以構(gòu)建基于憶阻的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。相較于傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠更好地應(yīng)用于神經(jīng)元學(xué)習(xí)、聯(lián)想記憶和人工智能[3-6]。

近年來，憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為如穩(wěn)定性[7]、耗散性[8]、鎮(zhèn)定[9]同步等研究受到越來越多研究人員的重視。文獻(xiàn)[7]通過平均駐留時(shí)間和李雅普諾夫泛函方法研究了憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[8]基于李雅普諾夫理論得到了憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的耗散性條件；文獻(xiàn)[9]考慮執(zhí)行器飽和情況下憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鎮(zhèn)定問題。而憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步因其在保密通信等領(lǐng)域的潛在應(yīng)用，更成為研究的熱點(diǎn)[10-14]。值得注意的是，由于憶阻連接權(quán)重直接依賴于系統(tǒng)的狀態(tài)，并且由其定義可以看出其不連續(xù)特性，這使得憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)上為一類切換系統(tǒng)。因此，相較于傳統(tǒng)的連續(xù)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制實(shí)現(xiàn)起來更加困難。文獻(xiàn)[10]通過設(shè)計(jì)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)耦合控制器研究了時(shí)滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步；文獻(xiàn)[11]基于“Stop and Go”自適應(yīng)控制策略研究了帶有不確定參數(shù)的時(shí)滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的漸近同步；文獻(xiàn)[12]通過設(shè)計(jì)新的切換控制器研究了憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步；文獻(xiàn)[13]基于新的魯棒性分析方法研究了時(shí)滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步；文獻(xiàn)[14]基于區(qū)間矩陣法研究了時(shí)滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的完全同步。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以由超大規(guī)模集成電路實(shí)現(xiàn)。然而，在憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)硬件電路實(shí)現(xiàn)中，由于不可避免地存在參數(shù)攝動(dòng)、外部干擾等因素，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的電路參數(shù)之間不可避免地存在不匹配現(xiàn)象。文獻(xiàn)[10-14]得到的同步結(jié)果都是基于驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)之間參數(shù)完全相同的理想條件下得到的，其同步判據(jù)并不能被直接應(yīng)用到實(shí)際中。目前，關(guān)于參數(shù)不匹配時(shí)滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制鮮少有相關(guān)研究結(jié)果。

基于以上分析，研究了參數(shù)不匹配時(shí)滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題。主要內(nèi)容如下：①通過微分包含和集值映射理論，將不連續(xù)的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為帶有區(qū)間參數(shù)的不確定性系統(tǒng)；②根據(jù)憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的切換特性和參數(shù)不匹配情況，設(shè)計(jì)了新的切換控制器；③基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，構(gòu)建了李雅普諾夫泛函，通過不等式放縮技術(shù)得到了確保驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)完全同步的充分性條件；④仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。

1 模型與問題描述

基于文獻(xiàn)[10-14]，考慮驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)分別為下面一類時(shí)滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

(1)

(2)

其中，1≤i≤n，n表示神經(jīng)元的數(shù)量；xi(t)，yi(t)分別表示第i個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài)；τ表示時(shí)間延遲；fj(·)表示激活函數(shù)，且滿足fj(0)=0；ui(t)表示所要設(shè)計(jì)的控制器；

表示憶阻連接權(quán)重，其表達(dá)式分別為

，

ui(t)，

其中：

基于可測選擇定理[17]，存在ηi(xi(t))∈co[ci(xi(t))]，γij(xj(t))∈co[aij(xj(t))]，ρij(xj(t))∈

使得

(3)

(4)

將式(3)、(4) 表示為向量形式

為了保證驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)(1)～(2)解的存在性，激活函數(shù)fj(·)滿足如下假設(shè)：

假設(shè)1.1激活函數(shù)fj(·)滿足李普希茲條件和有界性假設(shè)，即存在Lj>0，Mj>0，1≤j≤n，

使得對任意的u∈R，v∈R，有

|fj(u)-fj(v)|≤Lj|u-v|，

|fj(u)|≤Mj。

假設(shè)1.2驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)滿足混沌的有界性假設(shè)，即存在Ni>0，1≤i≤n，使得

|xi(t)|

ei(t)=yi(t)-xi(t)。

切換控制器設(shè)計(jì)

ui(t)=-kiei(t)-qisign(ei(t))。

(5)

由式(3)～(5)可得誤差系統(tǒng)方程：

(6)

其中，φj(ej(t))=fj(yj(t))-fj(xj(t))，φj(ej(t-τ))=fj(yj(t-τ))-fj(xj(t-τ))。

誤差系統(tǒng)的初始值為

ei(s)=φi(s)，-τ≤s≤0。

其中，φi(s)=ωyi(s)-ωxi(s)∈C([-τ，0]，R)。

由于驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)之間存在參數(shù)不匹配情況，定義參數(shù)誤差：

2.1 實(shí)驗(yàn)組前哨淋巴結(jié)檢測結(jié)果 試驗(yàn)組有30例前哨淋巴結(jié)均在中央?yún)^(qū)找到，快速冰凍結(jié)果轉(zhuǎn)移陽性，加做單側(cè)頸淋巴結(jié)清掃(Ⅱ～Ⅳ區(qū))。試驗(yàn)組均出現(xiàn)甲狀腺均勻黑染，Ⅵ區(qū)淋巴結(jié)呈結(jié)節(jié)樣黑染，未出現(xiàn)片狀黑染，喉返神經(jīng)未出現(xiàn)黑染，無納米碳外溢影響術(shù)野現(xiàn)象發(fā)生，見圖1A至圖1C。

定義1.1誤差系統(tǒng)(6)在控制器(5)作用下是指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在θ≥1，β>0，滿足以下條件：

其中，ωx(s)=[ωx1(s)，ωx2(s)，…，ωxn(s)]T，ωy(s)=[ωy1(s)，ωy2(s)，…，ωyn(s)]T。

2 主要結(jié)果

定理2.1如果假設(shè)1.1和假設(shè)1.2成立，且存在常數(shù)ri>0,1≤i≤n，滿足以下兩個(gè)條件：

證明：構(gòu)造如下李雅普諾夫泛函：

(7)

對V(t)求導(dǎo)可得：

根據(jù)定理2.1的條件(i)和(ii)可得

即V(t)為單調(diào)不增的，故

其中R=diag(r1,r2,…,rn),L=diag(L1,L2,…,Ln),λmax(·)表示矩陣的最大特征值,λmin(·)表示矩陣的最小特征值。

因此，由方程(7)可得

即

顯然

根據(jù)定義1.1可得，誤差系統(tǒng)(6)取得指數(shù)穩(wěn)定，即驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)(1)～(2)實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步。

3 仿真結(jié)果

考慮二維驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，fj(xj)=tanh(xj)，j=1，2，τ=1，ωx(s)=(0.8，-0.5)T，s∈[-1，0]，憶阻連接權(quán)重為：

考慮二維響應(yīng)系統(tǒng)，fj(yj)=tanh(yj)，j=1，2，τ=1，ωy(s)=(-0.6，0.8)T，s∈[-1，0]，憶阻連接權(quán)重為：

圖2 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)混沌吸引子Fig.2 Chaotic attractor of the drive system

圖3 響應(yīng)系統(tǒng)混沌吸引子Fig.3 Chaotic attractor of the response system

圖4 不加控制器時(shí)時(shí)域圖形 Fig.4 Time response of without controller

圖5 施加控制器時(shí)e1(t)、e2(t)時(shí)域圖形Fig.5 Time response of e1(t)，e2(t)when the controller is applied

同理，當(dāng)q1≥1.362，q2≥1.67時(shí),滿足定理2.1中條件(ii)，其中Δγ11=0.2，Δρ11=0.2，Δγ12=0.3，Δρ12=0.3，Δη1=0.2；Δγ21=0.2，Δρ21=0.3，Δγ22=0.3，Δρ22=0.3，Δη2=0.3。

則根據(jù)定理2.1，在所設(shè)計(jì)的切換控制器條件下，驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)能夠取得完全同步。如圖5所示，在控制器的作用下，e1(t)、e2(t)隨著時(shí)間逐漸趨于0。如圖6所示，驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)隨著時(shí)間的推移相軌跡完全重合，即驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了指數(shù)同步。

4 結(jié)論

討論了兩個(gè)時(shí)滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在參數(shù)不匹配情況下的指數(shù)同步問題。設(shè)計(jì)了切換控制器，消除了系統(tǒng)參數(shù)不匹配帶來的額外誤差。選取相應(yīng)的李雅普諾夫泛函，利用不等式放縮技巧得到了指數(shù)同步的充分條件。仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論的正確性。