黃河清

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的一般的思維規(guī)律，是數(shù)學(xué)的靈魂.中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的現(xiàn)狀：一方面從教材內(nèi)容上看，數(shù)學(xué)思想方法的表現(xiàn)形式隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的逐步深化呈現(xiàn)出不同的層次性;另一方面，教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)也因教學(xué)內(nèi)容的不同呈現(xiàn)出一種“零散”的狀態(tài).這使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是孤立的、缺乏聯(lián)系的，常處于“教者有心，學(xué)者無(wú)意”的層面，不能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)與感悟形成一個(gè)“系統(tǒng)”，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)水平的提高.

那么，立足學(xué)生“學(xué)”的層面，如何加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)呢？

一、增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，包括兩個(gè)方面：一是數(shù)學(xué)知識(shí)，二是蘊(yùn)含于知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法.概念、定理、公式等知識(shí)是數(shù)學(xué)的外在表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的內(nèi)在動(dòng)力.知識(shí)是基礎(chǔ)，方法是先導(dǎo).相比掌握知識(shí)而言，方法促進(jìn)的是人的思想，更具有潛在的價(jià)值，更需要我們注重指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)與內(nèi)化.

盡管沒(méi)有嚴(yán)格的劃分，但我們習(xí)慣上把數(shù)學(xué)中那些具體的、操作性較強(qiáng)的解決問(wèn)題的辦法稱為方法，而把那些抽象的、框架性的解決問(wèn)題的辦法稱為思想.中學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法有以下三種基本類型.

（一）技巧型方法

比如，十字相乘法、配方法、代入法、加減消元法、換元法、待定系數(shù)法、等積變換法、向量法和錯(cuò)位相消法等，它們有特定的研究對(duì)象和具體的解題模式，比較容易按既定程序操作.

（二）邏輯型思想方法

包括觀察、類比、歸納、聯(lián)想、演繹、分析、綜合、抽象和概括等.這些方法不能像技巧型方法那樣能進(jìn)行很明確的操作，而是只給出了解決問(wèn)題的一種特定思路，需要學(xué)生去尋找相關(guān)的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較、判斷，才能發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題六法，是一種“推理”“論證”的模式.

（三）全局型的數(shù)學(xué)思想方法

比如，解題的普遍化猜測(cè)（正難則反、特殊到一般）、數(shù)形結(jié)合法、遷移轉(zhuǎn)化法、極限化方法等.它給出的是一種解題的策略、方向、思想，需要學(xué)生去比較、分析、嘗試、構(gòu)造，雖然不像前兩種方法那樣具體，卻是更高格局上的思維引領(lǐng)，是一種戰(zhàn)略性的思維.

二、加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)與運(yùn)用

（一）注重挖掘隱藏于知識(shí)中的思想方法

數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法是有機(jī)結(jié)合的，二者你中有我、我中有你.教材對(duì)知識(shí)的編排是按邏輯系統(tǒng)的思想來(lái)處理的，加上教材本身的特點(diǎn)需要，它不可能把知識(shí)的整個(gè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)都全部呈現(xiàn)出來(lái).因此，教材中的定理和公式，我們只能看到漂亮的結(jié)論和嚴(yán)格的證明，卻不能看到數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)定理、公式的艱苦探索過(guò)程和所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法;教材中的例題，我們看到的是“它怎么解”，而看不到“它為什么這么解”.換句話說(shuō)，解題過(guò)程中解題者整個(gè)探索推理的心智活動(dòng)過(guò)程我們都沒(méi)法了解，更不用說(shuō)他們是如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法了.因此，在教學(xué)中一定要讓學(xué)生注重去發(fā)現(xiàn)和感悟知識(shí)中的思想方法，從具體事例中抽象，從大量事實(shí)中概括.

1.分析教材解法特點(diǎn)

教材中的推理依據(jù)：“兩非負(fù)實(shí)數(shù)之和為1，則每一項(xiàng)小于或等于1.”這是實(shí)數(shù)運(yùn)算中的一個(gè)基本事實(shí).類似例子還有很多，如a[ > ]b[ > ]c且[a+b+c=0]，則a[ > ]0，c [< ]0.由此我們能體會(huì)到的思想方法為：數(shù)論中的客觀事實(shí)可以作為我們解題的出發(fā)點(diǎn).

2. 尋找多種解法

3. 從方法中提煉思想

將這三種解法的共性做比較可以發(fā)現(xiàn)，由“等式”是可以推出“不等式”的，這種將“不等式”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究“等式”問(wèn)題的轉(zhuǎn)化意識(shí)，就是十分重要的數(shù)學(xué)思想.同樣聯(lián)想，研究“等式”問(wèn)題能否也可以轉(zhuǎn)化為研究“不等式”問(wèn)題呢？這就建立了“等”與“不等”二者相互依存、相互聯(lián)系并在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的聯(lián)系，這就上升到了哲學(xué)思想層面.可見(jiàn)，認(rèn)真思考、挖掘教材內(nèi)容，我們是能夠?qū)W習(xí)、體會(huì)到很多數(shù)學(xué)思想方法是怎樣應(yīng)用的，它對(duì)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)是有很大促進(jìn)作用的.

（二）要以掌握基本數(shù)學(xué)思想作為重點(diǎn)

中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法也有層次性，有一些數(shù)學(xué)思想，它們滲透于各類知識(shí)之中，對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)影響廣泛、深遠(yuǎn)，我們稱之為基本數(shù)學(xué)思想.掌握了這些基本數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用方法，就抓住了中學(xué)數(shù)學(xué)思維方法的重點(diǎn)和精髓，這是需要高度重視的.中學(xué)數(shù)學(xué)有哪些基本數(shù)學(xué)思想呢？以下做簡(jiǎn)要說(shuō)明.

1. 轉(zhuǎn)化的思想

從直觀上講，轉(zhuǎn)化就是化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化未知為已知，化陌生為熟悉.

由已知得[sinπ2-α>sin β]，此時(shí)[π2-α]與β都是銳角，而對(duì)于銳角而言，正弦函數(shù)遞增，從而[π2-α>β，α+β<π2]（當(dāng)然α+β > 0）.將已知中的不同名函數(shù)變?yōu)橥恼液瘮?shù)，這一轉(zhuǎn)化對(duì)問(wèn)題的解決起了關(guān)鍵的作用.

聯(lián)想是轉(zhuǎn)化的橋梁，轉(zhuǎn)化需要廣泛的聯(lián)想.廣泛的聯(lián)想和轉(zhuǎn)化的實(shí)現(xiàn)都需要有豐富、扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法.轉(zhuǎn)化意識(shí)的自覺(jué)性不僅來(lái)源于做習(xí)題，更來(lái)源于對(duì)習(xí)題典型解法的總結(jié)、回味與“提煉”.

這是圓錐曲線焦點(diǎn)弦問(wèn)題，一種常見(jiàn)的題型.從圖形看，最容易想到的方法就是采取“底乘以高的一半”的樸素算法.

解法1雖然思路較容易想到，但把線段AB當(dāng)作底邊，把坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離當(dāng)作高，計(jì)算量較大且較難算，當(dāng)方程含參或更復(fù)雜時(shí)運(yùn)算會(huì)很困難.還有無(wú)其他辦法呢？

轉(zhuǎn)化1：換一個(gè)角度來(lái)選擇“新的三角形的底邊和高”.以O(shè)F為底邊，則△AOF和△BOF的高之和恰好就是A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差，可得解法2.

可見(jiàn)，合理地選擇底邊和高，不僅在圓錐曲線的解題中能夠大大降低計(jì)算量，在立體幾何等其他題型中也常常能夠使用并取得良好的效果.

轉(zhuǎn)化2：向定值問(wèn)題轉(zhuǎn)化.

定值問(wèn)題，指當(dāng)一部分元素按某種規(guī)律在一定范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí)，與它有關(guān)的某些量始終保持不變的問(wèn)題.定值問(wèn)題一般分為“定量”和“定形”兩類.在圓錐曲線中，蘊(yùn)含著許多結(jié)構(gòu)新穎、獨(dú)特，內(nèi)容豐富多彩的定值問(wèn)題，它們涉及圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等.圓錐曲線的定值問(wèn)題有如下幾個(gè)特征：角度定值、長(zhǎng)度定值、曲線或直線過(guò)定點(diǎn)、坐標(biāo)之和或之積為定值、曲線所圍圖形面積為定值等.解這些定值問(wèn)題時(shí)一般要借助于圓錐曲線的基本性質(zhì)，要設(shè)出一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)（比如直線的斜率k），在已知條件下，通過(guò)基本運(yùn)算，達(dá)到或證明其值的目的，需要在變當(dāng)中尋找不變.適當(dāng)記住一些定值問(wèn)題的結(jié)論也是非常重要的.

轉(zhuǎn)化3：運(yùn)用極坐標(biāo)求解.

極坐標(biāo)系下，圓錐曲線問(wèn)題往往通過(guò)建立以焦點(diǎn)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系，使其極坐標(biāo)方程適用于橢圓、雙曲線、拋物線，它相對(duì)于傳統(tǒng)方法在處理圓錐曲線問(wèn)題中具有優(yōu)越性和普遍性.

極坐標(biāo)形式的焦半徑及焦點(diǎn)弦形式，本質(zhì)上是圓錐曲線的第二定義，橢圓、雙曲線與拋物線這三種圓錐曲線的焦半徑、極坐標(biāo)形式是相同的.

2. 分類討論的思想

分類討論思想是數(shù)學(xué)研究的基本邏輯方法，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的思維方法.如集合的分類、指數(shù)及對(duì)數(shù)對(duì)底的分類討論、二次函數(shù)圖像的開口方向與二次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系、方程有無(wú)實(shí)數(shù)根、含參數(shù)問(wèn)題的討論等，都需要分類討論才能完整求解.掌握分類討論思想，學(xué)會(huì)將研究對(duì)象按其屬性或特征分為不同的類別，用相應(yīng)的有針對(duì)性的方法去解決，這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方法.

一般情況下，分類要注意以下問(wèn)題.

（1）何時(shí)需要分類討論

在下述幾種情況下，分類討論一般是難以避免的.

①某種運(yùn)算可否實(shí)施情況不定.

如：除法運(yùn)算中除數(shù)不為零的條件得不到保證;開偶次方時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)的條件得不到保證（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）;取對(duì)數(shù)時(shí)，真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1的條件得不到保證……

②式子變形的條件能否具備情況不定.

如：不等式兩邊所乘（或除）的同一個(gè)數(shù)的正、負(fù)不定;需要兩邊同時(shí)乘方的不等式是否為正值不等式情況不定;化去式中絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)式子的非負(fù)情況不定（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）等.

③函數(shù)的某種性質(zhì)是否具備情況不定.

如：對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)由于底a的取值范圍不定而導(dǎo)致的函數(shù)的增、減不定;二次函數(shù)[y=ax2+bx+c（a≠0）]，由a的正、負(fù)不定而導(dǎo)致的開口方向的不定;由a、b值的不定而導(dǎo)致的對(duì)稱軸位置的不定……

④立體幾何中某種位置關(guān)系不能確定;解析幾何中曲線的方程類型不定.

（2）分類必須遵循“不重不漏”的基本原則

要做到分類時(shí)的不重不漏，必須注意以下幾點(diǎn).

①對(duì)每一個(gè)基本公式、基本性質(zhì)的適用范圍及每一種運(yùn)算的實(shí)施條件都能夠準(zhǔn)確地把握.

②思考問(wèn)題時(shí)，切忌極端和片面，力爭(zhēng)統(tǒng)觀全局.

③在分類討論的全過(guò)程中，要堅(jiān)持同一個(gè)分類的標(biāo)準(zhǔn).

3.數(shù)形結(jié)合的思想

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個(gè)對(duì)象，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題的一種重要的思想方法.在代數(shù)中，通過(guò)數(shù)軸、坐標(biāo)系的建立，將“數(shù)”或“實(shí)數(shù)對(duì)”與平面或空間上的“點(diǎn)”建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，將“方程”與“曲線”建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而可以借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系.反之，也可以借助“數(shù)”的精確性來(lái)闡明“形”的某些屬性.通過(guò)數(shù)形結(jié)合，能減少運(yùn)算的難度和降低純幾何形式論證的難度.數(shù)形結(jié)合思想滲透于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的教材之中，是數(shù)學(xué)解題最重要的思想方法之一.

以下僅就解析幾何中數(shù)形結(jié)合的幾種基本形式舉例說(shuō)明.

借形解題，要注意盡量準(zhǔn)確地描繪圖形，必要時(shí)還需對(duì)圖形的直觀分析給出嚴(yán)密的推理，減少錯(cuò)誤.

從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)的紐帶，學(xué)習(xí)掌握好數(shù)學(xué)思想方法，能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更深刻，也能讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中有更開闊的思路和行之有效的解決辦法.堅(jiān)持學(xué)習(xí)、感悟、運(yùn)用，我們的學(xué)生數(shù)學(xué)能力就會(huì)不斷提高.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）