李江華

[摘? ?要]隨著高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的不斷推進(jìn)，滲透數(shù)學(xué)文化，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已成為廣大數(shù)學(xué)教師需要面對的課題，文章以《向量的概念及表示》的教學(xué)為例，探討數(shù)學(xué)文化的滲透及核心素養(yǎng)的提升.

[關(guān)鍵詞]靈動(dòng)生成;滲透文化;提升素養(yǎng)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0007-03

2018年1月16日，教育部發(fā)布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）， 《新課標(biāo)》提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概念.在文中指出：“學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及感情、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包含：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.”基于新課標(biāo)對核心素養(yǎng)的要求，本人在設(shè)計(jì)《向量的概念及表示》教案的過程中，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂上的培養(yǎng)得到了充分體現(xiàn).本課的教學(xué)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（蘇教版）第2章“平面向量”第1課時(shí).現(xiàn)將該課教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思向各位同行做個(gè)匯報(bào)，不足之處敬請指正.

一、靈動(dòng)生成

問題情境1

腦筋急轉(zhuǎn)彎：高速公路上，警察開著速度可達(dá)250公里/小時(shí)的寶馬，逃犯開著一輛時(shí)速不超過120公里/小時(shí)的桑塔納，為什么警察沒有能抓到逃犯？

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，情境1的引入，為抽象出數(shù)學(xué)概念做了鋪墊，也滲透了人生哲理，我們學(xué)習(xí)生活亦當(dāng)如此，不僅要努力，還要注意努力的方向。

問題情境2

湖面上有三個(gè)景點(diǎn)O、A、B，一游艇將游客從景點(diǎn)O送至景點(diǎn)A，半小時(shí)后，游艇再將游客送至景點(diǎn)B.從景點(diǎn)O到景點(diǎn)A有一個(gè)位移，從景點(diǎn)A到景點(diǎn)B也有一個(gè)位移.位移和距離這兩個(gè)量有什么不同？

【設(shè)計(jì)意圖】承上啟下，通過情境2，讓學(xué)生感受到方向的重要性，同時(shí)也為情境3的完成做好鋪墊.

問題情境3

請給下面的量分類，分類標(biāo)準(zhǔn)自定：

面積 距離 位移 身高 速度 質(zhì)量 加速度 體積 力 密度 路程

【設(shè)計(jì)意圖】很自然地引入本節(jié)課所學(xué)課題，也為抽象出數(shù)學(xué)模型做好鋪墊.

那么我們用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫位移、速度、加速度、力這樣的量？

二、滲透文化

我們的前人用了近2000年的時(shí)間，才在數(shù)學(xué)界給它起了個(gè)名字——向量.公元前350年，古希臘偉大學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量;18世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家拉格朗日把帶有方向的物理量數(shù)量化，但是他還是沒能給這種數(shù)學(xué)模型起一個(gè)合適的名字;直到19世紀(jì)中葉，德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼才給它起了這個(gè)漂亮的名字.但是人們把向量發(fā)展成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系是在20世紀(jì)初.

【設(shè)計(jì)意圖】通過三個(gè)代表性人物，簡要介紹向量的發(fā)展史，滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活及物理學(xué)科的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模，滲透數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

三、提升素養(yǎng)

師：通過剛才的問題情境以及教師介紹的向量發(fā)展史，你能給向量下個(gè)定義嗎？這里面要注意幾個(gè)要素？我們有沒有學(xué)過既能表示大小又能表示方向的工具？

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，引入向量的幾何表示，水到渠成.體現(xiàn)了發(fā)展學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新的核心素養(yǎng).

師：向量不僅可以用“形”來表示，還可以用字母來表示.字母表示時(shí)，我們很難感受到向量的大小，所以我們還要學(xué)會向量的數(shù)量化.

【設(shè)計(jì)意圖】在滲透數(shù)學(xué)文化中選用的代表人物拉格朗日實(shí)現(xiàn)了向量的數(shù)量化，為這里的數(shù)量化做好鋪墊.

師：向量數(shù)量化之后，發(fā)現(xiàn)模是大于等于0的實(shí)數(shù)，這些大于等于0的實(shí)數(shù)中，有兩個(gè)數(shù)比較特殊，你們覺得是誰？我們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)向量也很特殊，你能給它們分別起個(gè)名字嗎？這是兩個(gè)特殊的向量，而零向量是特殊向

量中的特殊，記為：[0]，它的方向是任意的.

【設(shè)計(jì)意圖】類比代數(shù)，借用代數(shù)的符號來表示向量的模，同時(shí)從數(shù)的特殊性引導(dǎo)出特殊向量，充分體現(xiàn)了類比思想，邏輯推理的核心素養(yǎng)在這里落地生根.

反思1：

（1）向量可以用有向線段來表示，向量和有向線段有區(qū)別嗎？

（2）向量能比較大小嗎？向量的?？梢员容^大小嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對向量概念的理解.

探究：

（1）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)在原點(diǎn)的單位向量，它們終點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

（2）兩個(gè)不重合的點(diǎn)能確定幾個(gè)非零向量？

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的合作探究精神，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【設(shè)計(jì)意圖】類比平幾，給一組向量起名字， 體現(xiàn)了類比、數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

師：請同學(xué)們看圖3中一組向量，你能給它們一個(gè)名稱，再下個(gè)定義嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】體現(xiàn)類比、數(shù)形結(jié)合思想，特殊問題特殊處理的原則.

師：請同學(xué)們再看圖4中的一組向量，名稱？定義？[0]？

師：從向量的兩要素出發(fā)，我們類比幾何和代數(shù)，得到三種向量的關(guān)系，也充分說明向量是數(shù)與形的結(jié)合體，即向量是數(shù)形結(jié)合的載體.

反思2：

（1）[-（-a）]的意義是什么？

（2） 將一向量平移后所得的向量與原向量有什么關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】解決向量問題緊扣向量的兩要素，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

練習(xí)：

1.下列結(jié)論中，正確的是____.

（1）若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合;

（2）模相等的兩個(gè)平行向量是相等的向量;

（3）若[a與b]都是單位向量，則[a=b];

（4）兩個(gè)相等向量的模相等.

2.設(shè)O是正[△ABC]的中心，則向量[AO，BO，CO]是? ? ?（? ? ? ?）.

A.相等向量? ? ? ? ? ? B.模相等的向量

C.平行向量? ? ? ? ? ? D.共起點(diǎn)的向量

3.三個(gè)不重合的點(diǎn)能確定? ? ? ? ? ?個(gè)非零向量？

【設(shè)計(jì)意圖】練習(xí)考查了概念，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論思想.

師：我們發(fā)現(xiàn)任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫作共線向量.

反思3：

向量中的“平行”“共線”與幾何中的“平行”“共線”含義相同嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】反思3加強(qiáng)對平行（共線）向量的理解，避免學(xué)生對概念的理解出現(xiàn)混亂.

概念辨析：

（1）若[AB//CD]，則[AB//CD].

（2）若[AB//CD]，則[AB//CD].

（3）非零向量[a與b]平行，則向量[a與b]的方向相同或者相反.

（4）兩個(gè)向量共線，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)也不同.

（5）若[a與b]共線，[b與c]共線，則[a與c]也共線.

（6）向量[AB與CD]是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D一定共線.

（7）任一向量與它的相反向量都不相等.

（8）長度相等的共線向量，是相等向量.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生基本能直接正確口答，教師點(diǎn)評過程中提醒學(xué)生緊扣概念，還要注意特殊的向量[0]，加強(qiáng)對概念的理解和辨析，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)語言的理解.

四、數(shù)學(xué)運(yùn)用

[例1]已知O為正六邊形ABCDEF的中心， 在圖5所標(biāo)出的向量中：

（1）試找出與[FE]共線的向量;

（2）確定與[FE]相等的向量;

（3）[OA]與[BC]相等嗎？

（學(xué)生直接口答）

變式訓(xùn)練：[OA]與[BC]有什么關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】例1讓學(xué)生自主解答，教師適當(dāng)引導(dǎo).通過變式訓(xùn)練，進(jìn)一步加深對向量概念的理解.

[例2]在如圖6所示的4×5方格紙中有一個(gè)向量[AB]， 分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量， 其中與[AB]相等的向量有多少個(gè)？ 與[AB]長度相等的共線向量有多少個(gè)？ （[AB]除外）

【設(shè)計(jì)意圖】在教師引導(dǎo)下，學(xué)生回答.本題考查了向量的概念，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

變式探究：如圖7，在以1×3方格紙中（設(shè)小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有非零向量中，有多少種大小不同的模？有多少種不同的方向？

【設(shè)計(jì)意圖】本題難度較大，學(xué)生討論之后回答.體現(xiàn)了分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想，可培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

五、課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些新知識？

（1）向量的概念：定義、模、零向量、單位向量.

表示方法. （四個(gè)定義，兩種表示）

（2）向量的關(guān)系：平行向量（共線向量）、相等向量、相反向量. （三個(gè)關(guān)系）

2.本節(jié)課你體會到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

（1）數(shù)學(xué)建模;（2）數(shù)形結(jié)合;（3）類比;（4）分類討論.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從知識和思想方法兩方面完成自主小結(jié)，訓(xùn)練學(xué)生的概括思維能力，鍛煉了學(xué)生的口頭表達(dá)能力，實(shí)現(xiàn)了語文、數(shù)學(xué)學(xué)科間的整合.

六、課后作業(yè)（略）

七、教學(xué)反思

1.讓數(shù)學(xué)文化滲透到課堂教學(xué)中

在學(xué)科教學(xué)中要融入學(xué)科文化和學(xué)科發(fā)展史，介紹了向量的三種形式，拓寬了學(xué)生的眼界，豐富了課堂內(nèi)容;選取了在向量發(fā)展史上有代表性的三個(gè)人物，簡單說明了向量的發(fā)展史，培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新、執(zhí)著追求和為科學(xué)獻(xiàn)身的精神.

2.讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂上落地生根

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立又相互交融，是一個(gè)有機(jī)整體.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要融入整個(gè)課堂，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成.開始的引入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，類比、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想貫穿在整個(gè)教學(xué)過程中，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).只有讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂上落地生根，才能讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維分析世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

3.讓學(xué)科教育承載“立德樹人”的育人功能

“人者，德為先”，高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，先要落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù).本節(jié)課的引入，教育學(xué)生在生活和學(xué)習(xí)中不僅要努力，還要注意方向，培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)意識.

（責(zé)任編輯 易志毅）