蒙顯球

[摘? ?要]利用無理數(shù)蘊(yùn)含的歷史文化進(jìn)行教學(xué)，不僅讓學(xué)生體驗(yàn)無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程，而且理解無理數(shù)概念的內(nèi)涵，掌握無理數(shù)概念的外延，特別是感受和諧之美以及圖形之美，實(shí)現(xiàn)情感目標(biāo).

[關(guān)鍵詞]無理數(shù);數(shù)學(xué);概念

[中圖分類號(hào)]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）05-0009-02v

無理數(shù)教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常特別的一節(jié)課.無理數(shù)是數(shù)的一次擴(kuò)充，無理數(shù)概念是數(shù)的概念的重大突破.無理數(shù)艱難的形成過程表明，無理數(shù)概念是數(shù)的教學(xué)難點(diǎn)之一，它不僅是有理數(shù)的擴(kuò)張，也使人們加深了對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，而且還是數(shù)的觀念的更新，直接影響數(shù)學(xué)觀的培養(yǎng).利用無理數(shù)蘊(yùn)含的歷史文化進(jìn)行教學(xué)，不僅讓學(xué)生體驗(yàn)無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程，而且還能幫助學(xué)生理解無理數(shù)概念的內(nèi)涵，掌握無理數(shù)概念的外延，讓學(xué)生感受和諧之美以及圖形之美，實(shí)現(xiàn)情感目標(biāo).

一、回味無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程

古希臘有悠久的歷史，產(chǎn)生了無理數(shù).不可公度量的存在昭示無理數(shù)的存在.通過勾股定理得到[2]，通過與無理數(shù)的趣聞?shì)W事的對(duì)比，體驗(yàn)無理數(shù)的意義，這其中浸潤(rùn)著數(shù)學(xué)家許多的無奈.對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)，西方始于勾股定理.畢達(dá)哥拉斯的信徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)了單位直角邊的直角三角形的斜邊為[2]，并證明了[2]不是整數(shù)或分?jǐn)?shù)，即不是（有理）數(shù).這與古希臘只有整數(shù)、分?jǐn)?shù)，即“萬物皆數(shù)”（有理數(shù)）的數(shù)的觀念不合.

當(dāng)時(shí)，總覺得存在不可公度的量，但并沒有意識(shí)到這是數(shù)，即后來所指的無理數(shù).

二、理解無理數(shù)概念的內(nèi)涵

古希臘希帕索斯的[2]不是有理數(shù)的證明，說明無論用什么單位去度量[2]，都是量不完的，寫出來就是無限不循環(huán)小數(shù).我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽也遇到無限小數(shù)，其中之一就是無限不循環(huán)小數(shù).對(duì)數(shù)的開方，劉徽的《九章算術(shù)》中提到：“若開不盡者，為不可開，當(dāng)以面命之.”“面”即是開方不盡所形成的無限小數(shù).對(duì)無理數(shù)而言，依劉徽的做法，就只能“求其微數(shù)”，也就是用十進(jìn)制小數(shù)來無限逼近它.

很早的時(shí)候已有平方表、立方表，同時(shí)也有了平方根表、立方根表.開方術(shù)在我國(guó)古代是重要的方法，《九章算術(shù)》中記載了此方法.中國(guó)的開方術(shù)也會(huì)產(chǎn)生無理數(shù).如x2 = 2，于是，[2]就是2的算術(shù)平方根.[2]是多少？通過古代的開方術(shù)，開方的結(jié)果卻是小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是無限不循環(huán)的，沒有規(guī)律，沒有循環(huán)節(jié)，[2]=1.41421356237309504880…是無限不循環(huán)小數(shù)……像[2]這樣無限不循環(huán)小數(shù)，不是有限小數(shù)，也不是無限循環(huán)小數(shù)，即是無理數(shù).從開方的結(jié)果中可了解到，有些小數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，其實(shí)這就是無理數(shù)的本質(zhì).像無理數(shù)[2]這樣，既不是有限小數(shù)，也不是無限循環(huán)小數(shù).人們對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)也源于開方.像[2]這樣的無限不循環(huán)小數(shù)有很多，如[3、5、7]等.

無限不循環(huán)小數(shù)不可能寫成整數(shù)比的形式，英語單詞“比”的無理、整數(shù)比兩種含義之一的“無理”就成為無理數(shù)的概念.于是，無理數(shù)名稱采用后就將錯(cuò)就錯(cuò)，一直錯(cuò)下去.這是數(shù)學(xué)歷史上一大有趣的現(xiàn)象.

三、了解無理數(shù)概念的外延

豐富對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)，有利于學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念外延的掌握.除了開方得到的無理數(shù)外，還有π也是數(shù)學(xué)中最基本、最重要、最神奇的無理數(shù)，也是初中生最早認(rèn)識(shí)的無理數(shù)，只是第一次被認(rèn)識(shí)到是無理數(shù).對(duì)無理數(shù)π的認(rèn)識(shí)源于圓的周長(zhǎng)、面積的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)到，常數(shù)π是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，它來自于古希臘單詞“圓”的第一個(gè)字母π.學(xué)生學(xué)習(xí)后發(fā)現(xiàn)，很久很久以前，人類用3作為圓周率的近似值，離現(xiàn)在4000年，巴比倫計(jì)算[π=318=3.125].古埃及紙草書上記載，直徑為9的圓周長(zhǎng)大約等于邊長(zhǎng)為8的正方形周長(zhǎng)，由此得到圓周率[π≈25681=3.1604].通過學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)發(fā)展了，古希臘人阿基米德、我國(guó)的祖沖之計(jì)算的圓周率π的位數(shù)比以前更多了.牛頓通過計(jì)算圓周率去消遣，隨便一算，將圓周率算到小數(shù)點(diǎn)后十五位.計(jì)算圓周率近似值越精確，小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)則越長(zhǎng)，人們對(duì)它的認(rèn)識(shí)越深刻.

黃金分割數(shù)0.618……是人類發(fā)現(xiàn)的另一種最早的無理數(shù)，兔子的繁殖、植物的生長(zhǎng)、許多建筑、人們審美都遵照這一規(guī)律.

四、品味文化之美，培養(yǎng)積極情感

追溯無理數(shù)蘊(yùn)含的歷史文化，豐富它的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)情感.無理數(shù)的符號(hào)展示數(shù)學(xué)之美，抽象的根號(hào)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.根號(hào)演變是有故事的.拉丁文radix（根）或英文root（根）的字頭r被數(shù)學(xué)家斯蒂文等人創(chuàng)造性地進(jìn)行變形，變?yōu)榉?hào)“√”，用于表示平方根;為避免混淆，笛卡爾巧妙地在√上面添上一橫線“——”，得到平方根符號(hào)“[]” ，起到括號(hào)作用.好簡(jiǎn)便！符號(hào)“[]”巧妙、簡(jiǎn)潔、漂亮.

特別是人們對(duì)圓周率的認(rèn)識(shí)沉淀了許多的趣聞?shì)W事.我國(guó)著名的橋梁專家茅以升記憶圓周率，用于鍛煉記憶力，曾激勵(lì)許多愛好者背誦圓周率.有些人列舉出圓周率小數(shù)點(diǎn)后一千位，變?yōu)樽鏇_之的心路歷程，也有好事者對(duì)圓周率π=3.1415926535897932384626……編制成一故事，并撰寫了一段順口溜.

私塾先生喜歡上山去找和尚喝酒，總是要求學(xué)生背誦圓周率.圓周率小數(shù)點(diǎn)后面小數(shù)位數(shù)太長(zhǎng)，不好記憶，學(xué)生苦不堪言.后來，有位聰明的學(xué)生想出了巧妙的方法，將圓周率小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字與老師上山喝酒的情景聯(lián)系起來：山巔一寺一壺酒（3.14159），爾樂苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒殺爾（932），殺不死（384），樂爾樂（626）.此故事有地點(diǎn)、有人物、有事件、有結(jié)果.

體驗(yàn)阿基米德螺線的數(shù)學(xué)之美.由開平方得到的線段形成的折線讓人體驗(yàn)到曲線美.對(duì)邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，利用勾股定理能得到斜邊為[2].在作出長(zhǎng)為[2]的線段基礎(chǔ)上作線段[3]……再作線段[4，5，6…]，其中有無理數(shù)，也有許多有理數(shù)，但可構(gòu)造出如圖1所示的螺旋圖形，恰如螺線般，于是，稱之為阿基米德螺線，圖形極其精致、漂亮、入眼.

從無理數(shù)黃金比中體驗(yàn)到幾何圖形美.自古以來，數(shù)學(xué)家就創(chuàng)造數(shù)學(xué)美、欣賞數(shù)學(xué)美.古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯首先對(duì)線段進(jìn)行黃金分割，黃金分割比為[5-12≈0.618].相鄰頂點(diǎn)連接得到的等腰三角形底與腰長(zhǎng)的比為黃金比.勾股定理被開普勒比作金子，黃金分割比堪稱珠玉.人類自古就有愛美之心，畫家達(dá)·芬奇的作品體現(xiàn)黃金比原則.許多圖形與黃金比有關(guān)，盡顯圖形美.

長(zhǎng)和寬之比等于黃金比的黃金矩形，如圖2，在黃金矩形中截出一正方形后，剩下的矩形仍然是黃金矩形，如此下去仍是.若對(duì)正方形畫四分之一個(gè)圓，于是得到等角螺線.黃金矩形比例協(xié)調(diào)，螺線極為圓潤(rùn)漂亮.還有，腰和底之比為黃金比的黃金三角形，短軸與長(zhǎng)軸之比為黃金比的黃金橢圓等，黃金圖形和諧優(yōu)美，賞心悅目.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 張景中.從[2]談起[M].北京：中國(guó)少年兒童出版社，2004.

[2]? 易南軒，王芝平.多元視角下的數(shù)學(xué)文化[M].北京;科學(xué)出版社，2007.

[3]? 陳仁政.說不盡的π[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

[4]? 王青建.數(shù)學(xué)開心辭典[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[5]? 張映姜.領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想? ?體驗(yàn)數(shù)學(xué)美[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2000（3）：6-7.

（責(zé)任編輯 易志毅）