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求函數(shù)的值域方法種種

2019-04-09 03:29李寶賢
新教育時(shí)代·教師版 2019年2期
關(guān)鍵詞:值域函數(shù)方法

李寶賢

摘 要:函數(shù)的值域在函數(shù)的應(yīng)用中占有非常重要的地位.因此,準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒@得十分重要.本文結(jié)合具體的例題說明了求函數(shù)值域的方法.

關(guān)鍵詞:函數(shù) 值域 方法

函數(shù)的值域在函數(shù)的應(yīng)用中占有非常重要的地位.近年來的高考題中,一般不直接考查函數(shù)的值域,往往作為綜合題的一部分來考查.而求函數(shù)的值域是一個(gè)比較復(fù)雜的問題.因此,準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒@得十分重要.下面舉例說明求函數(shù)值域的方法,供參考.

一、直接法

有點(diǎn)函數(shù)結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜,可以通過基本初等函數(shù)的值域及不等式性質(zhì)直接觀察得出函數(shù)的值域.

例1:求函數(shù) 的值域

解:∵ ∴ ∴ ,即

∴函數(shù) 的值域?yàn)?/p>

二、中間變量法

對(duì)于一些特殊的函數(shù),通過一定的變換,借助于中間變量的范圍來達(dá)到求原函數(shù)的值域.

例2:求函數(shù) 的值域

解:∵

又∵ ,∴ 且

∴ ,∴

∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>

三、換元法

運(yùn)用代數(shù)或者三角代換,將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化成值域容易確定的另一函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域.形如 (a,b,c,d均為常數(shù),且ac≠0)的函數(shù)常用此法求值域

例3:求函數(shù) 的值域

解:

令 ,則 ,

∵ ,∴函數(shù)在[0,+ ∝)上是增函數(shù)

∴當(dāng) 即 時(shí), ,無最大值.

∴所求函數(shù)的值域?yàn)閇1,+ ∝)

例4:求函數(shù) 的值域

解:∵函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

∴令x= ,

∵ ,∴

∴ ,

∴所求函數(shù)的值域?yàn)?.

四、配方法

對(duì)于二次函數(shù)或可化為形如 的函數(shù)值域問題,均可用配方法.用此法求函數(shù)值域一定要注意定義域.

例5:已知 ,求函數(shù) 的值域

解:

∵ , ∴ .

=

=

=

∵ . ∴當(dāng) 時(shí), ,

當(dāng) 時(shí),

∴所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

五、不等式法求值域:利用均值不等式

例6:求函數(shù) 的值域

解:∵函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

∴當(dāng) 時(shí),

當(dāng) 時(shí),

∴原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

六、判別式法求值域

把函數(shù)轉(zhuǎn)化成 關(guān)于的二次方程 ,通過方程有實(shí)根,判別式△≥0,從而求得原函數(shù)的值域。

形如 不同時(shí)為0)的函數(shù)的值域常用此法。

例7:求函數(shù) 的值域

解:此函數(shù)的定義域?yàn)镽,由 得

①當(dāng) 時(shí), , 符合題意

②當(dāng) 時(shí),△=

綜上所述,原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

七、利用函數(shù)的單調(diào)性求值域

確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集上)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法稱為單調(diào)性法.常見的有二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上求值域,對(duì)號(hào)函數(shù)[ ]在某個(gè)區(qū)間上求值域,在利用重要不等式求值域失效(符號(hào)不滿足)的情況下,可采用單調(diào)性求值域.

例8:求函數(shù) 的值域

錯(cuò)解:∵ >0

∴有均值不等式

∴ , ∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>

錯(cuò)因:利用均值不等式時(shí),一定要注意條件“一正二定三相等”,而此題不滿足均值不等式的條件,等號(hào)不能成立

(∵當(dāng) 時(shí). , )

正解:令 ,則 ,

由 在 上單調(diào)遞增

∴當(dāng) 即 時(shí),

∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>

八、數(shù)形結(jié)合法求值域

數(shù)形結(jié)合法就是利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖像來求函數(shù)的值域。

例9:已知實(shí)數(shù)x,y滿足 ,求 的取值范圍

解:將 看成橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)(x,y)

與定點(diǎn)P(0,—4)的連線的斜率,過點(diǎn)P引橢圓的兩條切線PA,PB,設(shè)切線方程為 ,如圖所示

由 得

則△

∴ ,∴ ,

∴所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

九、函數(shù)的有界性求值域

形如

(或 或 )型函數(shù)常用此法。

例10:求函數(shù) 的值域

解:原函數(shù)可變形為 ,即

∵ ,∴ ,

∴ ∴所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

此題還可以看成是過定點(diǎn)P(2,2)和圓 上一點(diǎn)的直線斜率,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法,如圖

十、導(dǎo)數(shù)法:多項(xiàng)式函數(shù)在閉區(qū)間上求值域多用此法

例11:求函數(shù) 在區(qū)間 的值域

解:∵ =

令 得

當(dāng) 時(shí), , 為增函數(shù)

當(dāng) 時(shí), , 為減函數(shù)

當(dāng) 時(shí), , 為增函數(shù)

∴ 在 處取得極大值,在 處取得極小值

而 , , ,

∴函數(shù) 在區(qū)間 的值域?yàn)?/p>

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