李寶賢
摘 要:函數(shù)的值域在函數(shù)的應(yīng)用中占有非常重要的地位.因此,準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒@得十分重要.本文結(jié)合具體的例題說明了求函數(shù)值域的方法.
關(guān)鍵詞:函數(shù) 值域 方法
函數(shù)的值域在函數(shù)的應(yīng)用中占有非常重要的地位.近年來的高考題中,一般不直接考查函數(shù)的值域,往往作為綜合題的一部分來考查.而求函數(shù)的值域是一個(gè)比較復(fù)雜的問題.因此,準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒@得十分重要.下面舉例說明求函數(shù)值域的方法,供參考.
一、直接法
有點(diǎn)函數(shù)結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜,可以通過基本初等函數(shù)的值域及不等式性質(zhì)直接觀察得出函數(shù)的值域.
例1:求函數(shù) 的值域
解:∵ ∴ ∴ ,即
∴函數(shù) 的值域?yàn)?/p>
二、中間變量法
對(duì)于一些特殊的函數(shù),通過一定的變換,借助于中間變量的范圍來達(dá)到求原函數(shù)的值域.
例2:求函數(shù) 的值域
解:∵
∴
又∵ ,∴ 且
∴ ,∴
∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>
三、換元法
運(yùn)用代數(shù)或者三角代換,將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化成值域容易確定的另一函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域.形如 (a,b,c,d均為常數(shù),且ac≠0)的函數(shù)常用此法求值域
例3:求函數(shù) 的值域
解:
令 ,則 ,
∵ ,∴函數(shù)在[0,+ ∝)上是增函數(shù)
∴當(dāng) 即 時(shí), ,無最大值.
∴所求函數(shù)的值域?yàn)閇1,+ ∝)
例4:求函數(shù) 的值域
解:∵函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
∴令x= ,
則
∵ ,∴
∴ ,
即
∴所求函數(shù)的值域?yàn)?.
四、配方法
對(duì)于二次函數(shù)或可化為形如 的函數(shù)值域問題,均可用配方法.用此法求函數(shù)值域一定要注意定義域.
例5:已知 ,求函數(shù) 的值域
解:
∵ , ∴ .
∴
=
=
=
∵ . ∴當(dāng) 時(shí), ,
當(dāng) 時(shí),
∴所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>
五、不等式法求值域:利用均值不等式
例6:求函數(shù) 的值域
解:∵函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
∴當(dāng) 時(shí),
當(dāng) 時(shí),
∴原函數(shù)的值域?yàn)?/p>
六、判別式法求值域
把函數(shù)轉(zhuǎn)化成 關(guān)于的二次方程 ,通過方程有實(shí)根,判別式△≥0,從而求得原函數(shù)的值域。
形如 不同時(shí)為0)的函數(shù)的值域常用此法。
例7:求函數(shù) 的值域
解:此函數(shù)的定義域?yàn)镽,由 得
①當(dāng) 時(shí), , 符合題意
②當(dāng) 時(shí),△=
∴
綜上所述,原函數(shù)的值域?yàn)?/p>
七、利用函數(shù)的單調(diào)性求值域
確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集上)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法稱為單調(diào)性法.常見的有二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上求值域,對(duì)號(hào)函數(shù)[ ]在某個(gè)區(qū)間上求值域,在利用重要不等式求值域失效(符號(hào)不滿足)的情況下,可采用單調(diào)性求值域.
例8:求函數(shù) 的值域
錯(cuò)解:∵ >0
∴有均值不等式
∴ , ∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>
錯(cuò)因:利用均值不等式時(shí),一定要注意條件“一正二定三相等”,而此題不滿足均值不等式的條件,等號(hào)不能成立
(∵當(dāng) 時(shí). , )
正解:令 ,則 ,
由 在 上單調(diào)遞增
∴當(dāng) 即 時(shí),
∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>
八、數(shù)形結(jié)合法求值域
數(shù)形結(jié)合法就是利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖像來求函數(shù)的值域。
例9:已知實(shí)數(shù)x,y滿足 ,求 的取值范圍
解:將 看成橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)(x,y)
與定點(diǎn)P(0,—4)的連線的斜率,過點(diǎn)P引橢圓的兩條切線PA,PB,設(shè)切線方程為 ,如圖所示
由 得
則△
∴ ,∴ ,
∴所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>
九、函數(shù)的有界性求值域
形如
(或 或 )型函數(shù)常用此法。
例10:求函數(shù) 的值域
解:原函數(shù)可變形為 ,即
∵ ,∴ ,
∴ ∴所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>
此題還可以看成是過定點(diǎn)P(2,2)和圓 上一點(diǎn)的直線斜率,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法,如圖
十、導(dǎo)數(shù)法:多項(xiàng)式函數(shù)在閉區(qū)間上求值域多用此法
例11:求函數(shù) 在區(qū)間 的值域
解:∵ =
令 得
當(dāng) 時(shí), , 為增函數(shù)
當(dāng) 時(shí), , 為減函數(shù)
當(dāng) 時(shí), , 為增函數(shù)
∴ 在 處取得極大值,在 處取得極小值
而 , , ,
∴
∴函數(shù) 在區(qū)間 的值域?yàn)?/p>