浙江省紹興市柯橋區(qū)錢(qián)清中學(xué)(312025) 王紅娟

湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué)(435200) 鄒生書(shū)

線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題通常是指在線(xiàn)性約束條件下求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題,其求解方法就是圖解法.根據(jù)二元不等式組的解與坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,將約束條件轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域,然后利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最優(yōu)解和最值.線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題將函數(shù)、方程、不等式和最值融為一體,將代數(shù)與解析幾何有機(jī)聯(lián)合,將函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合和化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想深透到問(wèn)題的解決過(guò)程之中,因此線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題成為考查考生能力和綜合素養(yǎng)的良好載體.其中含有參數(shù)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,對(duì)考生能力方面的要求更高,從而使得問(wèn)題難度大增.筆者通過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)含有參數(shù)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題在高中較為少見(jiàn),但在高考模擬考和聯(lián)考中卻風(fēng)起云涌屢見(jiàn)不鮮,下面主要以模擬考試的題目為例,分類(lèi)解析這類(lèi)問(wèn)題的解法.

圖1

1.約束條件含有參數(shù)

例1在直角坐標(biāo)系xOy中,若不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)___.

解如圖1,y=k(x?1)?1是斜率為k過(guò)定點(diǎn)A(1,?1)的一條直線(xiàn),要不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域,由圖知當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)y=k(x?1)?1與直線(xiàn)y=2x在第一象限有交點(diǎn),故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(?∞,?1)∪(2,+∞).

例2(2015年高考重慶卷)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?且其面積等于則m的值為( )

A.?3 B.1 C.D.3

解不等式組所確定的平面區(qū)域是圖2所示的△ABC.易求得xC=2,xD=?2m,yA=m+1,所以S△ABC=S△ADC?S△BDC=(m+1)2=4,所以(m+1)2=4,又m+1>0,所以m=1,故選B.

圖2

點(diǎn)評(píng)二元一次不等式所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是半個(gè)平面,其確定方法主要有如下兩種方法.

方法一第一步,畫(huà)出二元一次不等式所對(duì)應(yīng)的二元一次方程所表示的直線(xiàn),有等號(hào)畫(huà)成實(shí)線(xiàn),沒(méi)有等號(hào)畫(huà)成虛線(xiàn);第二步,在直線(xiàn)外取一特殊點(diǎn),若這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足不等式,那么這個(gè)點(diǎn)和這條直線(xiàn)所確定的半平面就是這個(gè)二元一次不等式所確定的平面區(qū)域,否則就是另一個(gè)半平面.確定區(qū)域的口訣是:直線(xiàn)定邊界,一點(diǎn)定區(qū)域,合則在,不合則不在.

方法二若二元一次不等式可化為y>kx+b,則其表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn)y=kx+b的上半平面,反之為該直線(xiàn)的下半平面.若二元一次不等式可化為x>my+n,則其確定的平面區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn)y=kx+b的右側(cè)半平面,反之為該直線(xiàn)的左側(cè)半平面.確定區(qū)域的口訣是:縱大則上,橫大則右.這個(gè)方法簡(jiǎn)單實(shí)用.

有了上述二元一次不等式確定平面區(qū)域的方法,二元一次不等式組所確定的平面區(qū)域可象作戰(zhàn)地圖一樣用箭頭包圍法來(lái)確定.

例3(2017年福州市高中畢業(yè)年級(jí)第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)理科第15題)已知x,y滿(mǎn)足若目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為10,則m的最小值為_(kāi)_____.

解把z=10代入z=3x+y得y=?3x+10.在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出三條直線(xiàn)x=2,x+y=4,y=?3x+10,如圖3所示.求得直線(xiàn)y=?3x+10與x=2,x+y=4直線(xiàn)的交點(diǎn)分別為A(2,4),B(3,1).則直線(xiàn)2x?y?m=0必過(guò)點(diǎn)A或點(diǎn)B.當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)求得m=0,當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B時(shí)求得m=5,故m的最小值為0.

點(diǎn)評(píng)解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們:線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的最值如果存在,若最優(yōu)解唯一,則最優(yōu)解必是可行域的某個(gè)頂點(diǎn)即為兩邊界直線(xiàn)的交點(diǎn),并且取得該最值時(shí)的目標(biāo)函數(shù)所表示的直線(xiàn)也經(jīng)過(guò)這個(gè)交點(diǎn),此時(shí)形成三線(xiàn)共點(diǎn)的態(tài)勢(shì).若最優(yōu)解不唯一,則取得該最值時(shí)的目標(biāo)函數(shù)所表示的直線(xiàn)必與某一邊界直線(xiàn)重合.以上兩點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)直取核心在解決線(xiàn)性規(guī)劃的最值等有關(guān)問(wèn)題時(shí)具有很好的指導(dǎo)作用.

圖3

2.目標(biāo)函數(shù)含有參數(shù)

例4已知變量x,y滿(mǎn)足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值,則a的取值范圍是____.

圖4

解不等式組所確定的平面區(qū)域是如圖4所示的△ABC,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)就是(3,0).目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值,即直線(xiàn)y=?ax+z僅在點(diǎn)A處時(shí)的截距z取得最大值,由圖知當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)斜率解得故a的取值范圍是.

例5(2016東北三校聯(lián)考題)已知變量x,y滿(mǎn)足約束條件若使z=y+ax取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè),則實(shí)數(shù)a的取值集合是( )

A.{?3,0} B.{3,?1} C.{0,1} D.{?3,0,1}

解不等式組所表示的平面區(qū)域是如圖5所示的△ABC.由z=y+ax得y=?ax+z,z就是直線(xiàn)l:y=?ax+z在y軸上的截距,?a是該直線(xiàn)的斜率,要使z取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè),由圖知此時(shí)直線(xiàn)l應(yīng)與直線(xiàn)AB或AC重合,則斜率?a=kAB=1或?a=kAC=?3,解得a=?1或a=3,故選B.

圖5

例6當(dāng)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足時(shí),1ax+y4恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

法1不等式組所確定的平面區(qū)域是如圖6所示的△ABC.求得A(1,0),BC(2,1),因?yàn)?ax+y4恒成立,所以三點(diǎn)坐標(biāo)也應(yīng)該滿(mǎn)足不等式,于是有1a4,112a+14,解得故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

圖6

法2設(shè)z=ax+y,則y=?ax+z,由圖知當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí),截距z=a最小,當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C時(shí),截距z=2a+1最大.又因?yàn)?z4,所以有1a4且12a+14,解得故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

例7(2017年?yáng)|北三省四市第一次聯(lián)合考試第15題)若函數(shù)y=ex?a的圖象上存在點(diǎn)(x,y),滿(mǎn)足約束條件則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

解不等式組所確定的平面區(qū)域是如圖7所示的△ABC.設(shè)曲線(xiàn)f(x)=ex?a與直線(xiàn)x?y=0相切于點(diǎn)(x0,y0),則有即解得易求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(?1,5),當(dāng)曲線(xiàn)y=ex?a過(guò)點(diǎn)C時(shí)求得a=e5+1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,e5+1].

例8(太原市高三第二次模擬考試第7題)設(shè)x,y滿(mǎn)足不等式組若z=ax+y的最大值為2a+4,最小值為a+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

A.[?2,1] B.[?1,2] C.[?3,?2] D.[?3,1]

圖7

解不等式組所確定的平面區(qū)域是如圖8所示的△ABC.因?yàn)閦=ax+y,當(dāng)z=a+1時(shí),直線(xiàn)z=ax+y過(guò)點(diǎn)A(1,1);當(dāng)z=2a+4時(shí),直線(xiàn)z=ax+y過(guò)點(diǎn)B(2,4).注意到點(diǎn)A,B分別在直線(xiàn)3x?y?2=0和x+y?6=0上.由圖知,要直線(xiàn)y=?ax+z分別在點(diǎn)A,B時(shí)截距z取得最小值和最大值,則其斜率?a滿(mǎn)足0?akAC=2或0>?akBC=?1,解得?2a1,故選A.

點(diǎn)評(píng)直線(xiàn)斜率與截距的幾何意義在上述解題過(guò)程中發(fā)揮得淋漓盡致,其中斜率幾何意義理解不透徹是解題受阻或失敗的重要原因.斜率的幾何意義要注意如下兩點(diǎn),一是符號(hào),二是絕對(duì)值.斜率大于零,函數(shù)遞增直線(xiàn)上升,斜率小于零,函數(shù)遞減直線(xiàn)下降.絕對(duì)值越大,直線(xiàn)越陡峭,絕對(duì)值越小,直線(xiàn)越平緩.斜率幾何意義全面透徹的理解與應(yīng)用是解決求最值問(wèn)題的關(guān)鍵.

圖8

3.目標(biāo)函數(shù)含有雙參數(shù)

例9設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,則的最小值為( )

A.B.C.4 D.5

解不等式組所確定的平面區(qū)域是如圖9所示的四邊形OABC.因?yàn)閦=ax+by,a>0,b>0,所以此直線(xiàn)斜率由圖知,當(dāng)此直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B(4,6)時(shí)截距取得最大值從而z=12最大,此時(shí)有4a+6b=12即2a+3b=6.于是有

圖9

故選A.

圖10

4.約束條件和目標(biāo)函數(shù)均含有參數(shù)

例10設(shè)m>1,在約束條件下,目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值小于2,則m的取值范圍為( )

A.(1,1+B.(1+√+∞) C.(1,3) D.(3,+∞)

解不等式組所確定的平面區(qū)域是圖9所示的△OAB.由z=x+my得由m>1得由圖知當(dāng)直線(xiàn)z=x+my經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),截距最大,從而最大,依題意得即m2?2m?1<0,也就是(m?1)2<2,又m>1,解得故選A.