廣東省廣東北江中學(xué)(512026) 陳繼平

一、以小見大,比值換元為一元問題

問題1已知實數(shù)x,y 滿足x2+(y?2)2=1, 則的取值范圍是( )

A.B.[1,2] C.(0,2] D.

筆者所在學(xué)校的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體水平還不錯,但給出這個題目后大部分同學(xué)還是很難想到怎么處理,更別提用最簡單的幾何意義來處理了,但我們立足于通法,發(fā)現(xiàn)過程本質(zhì)是比值換元為一元函數(shù)問題,把取值范圍問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問題則自然得多.

由于x2+(y?2)2=1 表示的圓恒在的上方, 結(jié)合線性規(guī)劃知識可知于是ω =設(shè)則設(shè)結(jié)合圖形,由線性規(guī)劃知識易知或于是t2 或t?4.當t2 時,則當t?4時,< 0,1f(t) < 3,則特別的x=0,y=1 或3,則綜上:1ω2,故選B

二、由此及彼,比值換元處理綜合問題

從上面一個選擇題以小見大,發(fā)現(xiàn)比值換元后轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)是我們很熟悉的問題,也避免多元變量對我們的干擾,起到化繁為簡的目的,下面利用上面的處理策略,由此及彼的解決函數(shù)不等式的綜合問題,以求立足基本通法,更加進一步的理解換元過程的本質(zhì).

問題2設(shè)函數(shù)f(x)=x2,g(x)=a ln x+bx(a > 0)．設(shè)G(x)=f(x)+2?g(x)有兩個零點x1,x2,且x1,x0,x2成等差數(shù)列,試探究G′(x0)值的符號．

解析G′(x0)的符號為正.理由如下:

因為G(x)=x2+2?a ln x?bx 有兩個零點x1,x2, 則有兩式相減得?b(x2?x1)=0,即x2+x1?b=于是

①當01,且G′(x0)=設(shè)則則u(t) =在(1,+∞) 上為增函數(shù)．而u(1)=0, 所以u(t)>0,即ln又因為a>0,x2?x1>0,所以G′(x0)>0.

②當00.

綜上所述: G′(x0)的符號為正.

由以上分析總結(jié)不難發(fā)現(xiàn),對于二元變量x1,x2的處理是該問題的關(guān)鍵,通過兩邊提取x2?x1,經(jīng)過換元將G′(x0)的符號的判定問題轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)u(t)的符號的判定問題.

問題3已知函數(shù)f(x)=2 ln x?x2(x > 0),如果函數(shù)g(x)=f(x)?ax 的圖像與x 軸交于兩點A(x1,0),B(x2,0),且0 < x1< x2,求證: g′(px1+qx2) < 0(其中正常數(shù)p,q滿足p+q =1,q >p).

解析因為f(x)?ax=0 有兩個實根x1,x2, 所以兩式相減得2(ln x1?ln x2)?所以因為于是

因為p < q, 所以2p < p+q=1, 并且0 < x1< x2,所 以(2p?1)(x2?x1) < 0.要 證: g′(px1+qx2) <0, 只 需 證:只需證:即

三、觸類旁通,差值換元為一元問題

題目4已知函數(shù)

(1) 若函數(shù)f(x) 的圖象在x=0 處的切線方程為y =2x+b,求a,b 的值;

(2)若函數(shù)f(x)在R 上是增函數(shù),求實數(shù)a 的取值范圍;

解析(1)(2)略.

從以上問題可以看出一個共同點, 不論問題怎么變化,都使用了整體打包x1?x2進行換元為t 的方式,追根溯源其本質(zhì)是一種消元的轉(zhuǎn)化意識.

四、類比推廣,和值或積值換元為一元問題

事實上立足于這種思想, 我們能找到或編制有關(guān)于x1+x2和x1x2這類和值或積值換元嗎? 答案是太多太多.尤其在解幾中會經(jīng)常碰到,例如: 過橢圓2x2+y2=2 的焦點的直線交橢圓A,B 兩點,求△AOB 面積的最大值.簡析:設(shè)過焦點(0,1)的直線方程為y=kx+1 與2x2+y2=2聯(lián)立,消去y, 得(2+k2)x2+2kx?1=0,其中兩根x1,x2為A,B 橫坐標.將△AOB 看作△AOF 與△BOF 組合而成 ,|OF|是公共邊 ,它們在公共邊上的高為|x1?x2|.故

(當k =0 時取等√號),即當直線為y =1 時, 得到△AOB 的面積最大值為不難發(fā)現(xiàn)解幾中利用韋達定理整體打包x1+x2和x1x2的本質(zhì)都是一類和值或積值換元.

通過以上諸如此類問題的思考,我們有理由相信立足于基本通法,理解過程是換元的本質(zhì),回歸到基本方法這個流程上來,就不會掉入就題論題的陷阱.這樣即幫助學(xué)生達到做一題,通一類,會一片的效果,同時也對教師的高效課堂提供了一種有效途徑.