賈軍

【摘要】 筆者有幸參加了2018年南京市“一師一優(yōu)課、一課一名師”市級錄課活動，執(zhí)教的是蘇教版全日制普通高中教科書（數(shù)學(xué)選修1-1）的§3.3.3最大值與最小值一課.課標(biāo)要求本節(jié)課：能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)在給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值，體會導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系.這節(jié)課集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、概括類比等重要的數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)重點(diǎn)是求閉區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的最值，教學(xué)難點(diǎn)是搞清函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系.因此，筆者把教學(xué)目標(biāo)定為：理解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系;掌握用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最大值與最小值的方法和步驟;培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，獲得“四基”、發(fā)展“四能”.

【關(guān)鍵詞】 主導(dǎo);主體;主線;主心

根據(jù)皮亞杰的建構(gòu)主義認(rèn)識論，本節(jié)課始終貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為主心”的教學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生主動參與到課堂教學(xué)全過程中.為突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，這節(jié)課主要選擇以合作探究式教學(xué)法組織教學(xué).對求函數(shù)的最值，高二學(xué)生已經(jīng)具備了良好的知識基礎(chǔ)，教學(xué)設(shè)計中注意激發(fā)起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，使得他們能積極主動地觀察、分析、歸納，以形成認(rèn)識，參與到課堂活動中，充分發(fā)揮他們作為認(rèn)知主體的作用.本節(jié)課的教學(xué)，大致按照“創(chuàng)設(shè)情境，鋪墊導(dǎo)入——合作學(xué)習(xí)，探索新知——指導(dǎo)應(yīng)用，鼓勵創(chuàng)新——?dú)w納小結(jié)，反饋回授”四個環(huán)節(jié)進(jìn)行組織.

課前筆者準(zhǔn)備了兩題測試題，就函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問題讓學(xué)生做一個知識的回顧.本節(jié)課，筆者首先設(shè)置一個問題情境：一道2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）文科第10題：函數(shù)y= x 2 -2sinx的圖像大致是（? ）.給出了四個選項，讓學(xué)生選擇.教者通過函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性等方面，和學(xué)生一起得到本題的解答.以一個高考真題引發(fā)思考，層層設(shè)問，有利于激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決高考問題的意識，同時營造出寬松、和諧、積極主動的課堂氛圍，激發(fā)起學(xué)生的探究熱情.

接著提出問題：如果不是通過函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來篩選圖形，而是讓你大致畫出一個非初等函數(shù)的圖像，那又該怎么辦？比如，你能大致作出函數(shù)f（x）= x 2 +sinx的圖像嗎？提出問題后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：用以前學(xué)習(xí)過的知識暫時不能解決問題，由此引出新課，使學(xué)生深感繼續(xù)學(xué)習(xí)新知識的必要性，為進(jìn)一步的研究做好鋪墊.再由此引出課題：投影分析大家嘗試所作的畫圖，可以看出，以前學(xué)過的畫圖方法在這里較難奏效（疊加法），相信有了本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家對函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和圖像就會做出很精準(zhǔn)的判斷了.

引入復(fù)習(xí)階段，和學(xué)生一起回顧了函數(shù)極值的定義，討論總結(jié)出四點(diǎn)注意事項，在此基礎(chǔ)上得到求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x）;（2）求方程f′（x）=0的根;（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，求出極大值和極小值.通過對已有函數(shù)極值的定義、注意事項和求函數(shù)f（x）的極值的步驟等相關(guān)知識的回顧和深入分析，自然地提出問題：先前提到的函數(shù)能求出其在閉區(qū)間內(nèi)的極值嗎？兩個端點(diǎn)值是什么？由此引入閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)最大值和最小值的問題，又如，何能求得最大值和最小值？以問題制造懸念，引領(lǐng)著學(xué)生來到新知識的生成場景中.

對取得最大值和最小值的兩種可能位置的結(jié)論，為使學(xué)生形成更深刻的印象，更好地進(jìn)行發(fā)現(xiàn)，教學(xué)中通過改變區(qū)間位置，引導(dǎo)學(xué)生觀察各種區(qū)間內(nèi)圖像上最大值最小值取得的位置變化，形成感性認(rèn)識，進(jìn)而上升到理性的高度.為新知的發(fā)現(xiàn)奠定基礎(chǔ)后，提出教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂，既明確了學(xué)習(xí)目的，又激發(fā)起學(xué)生的求知熱情.學(xué)生在合作交流的探究氛圍中思考、質(zhì)疑、傾聽、表述，體驗到成功的喜悅，學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會合作.

在要求學(xué)生畫出函數(shù)f（x）= x 2 +sinx，x∈[0，2π]的大致圖像前，通過對極值和端點(diǎn)值的求解，自然而然引入最值的概念.再媒體輔助，通過運(yùn)用幾何畫板演示，畫出了上述函數(shù)的圖像，增強(qiáng)直觀性，幫助學(xué)生迅速準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)相關(guān)的數(shù)量關(guān)系.在整個新知形成過程中，教師的身份始終是啟發(fā)者、鼓勵者和指導(dǎo)者，以提高學(xué)生抽象概括、分析歸納及語言表述等基本的數(shù)學(xué)思維能力.啟發(fā)探究，探索出最大值和最小值存在的可能位置后，求法便呼之欲出，這時可以讓學(xué)生給出求解步驟，既鍛煉了他們的表達(dá)能力，更培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)思維能力.

“問起于疑，疑源于思”，數(shù)學(xué)最積極的成分是問題，提出問題并解決問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂.小試牛刀環(huán)節(jié)的兩道小題，其目的是優(yōu)化導(dǎo)數(shù)法求最大、最小值的解題過程，使得問題的解決更簡單明快，更易于操作.特別是把區(qū)間進(jìn)行了變化，讓學(xué)生的應(yīng)用能力得到鍛煉，讓其感受數(shù)學(xué)變化之美、能力要求之高.這一環(huán)節(jié)旨在培養(yǎng)學(xué)生的探究意識及創(chuàng)新精神，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.通過合作交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)并掌握極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，感受領(lǐng)會從數(shù)到形的探究過程.對學(xué)生完成聯(lián)系情況進(jìn)行評價，使所有學(xué)生都體驗到成功或得到鼓勵，并據(jù)此調(diào)控教學(xué).這樣，很順暢地得到利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上最值的步驟.

例題的解決與本課的引例前后呼應(yīng)，繼續(xù)鞏固用導(dǎo)數(shù)法求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值，同時也讓學(xué)生體會到現(xiàn)實生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息，培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)的意識和能力.注意引導(dǎo)學(xué)生對照有關(guān)步驟，能正確表達(dá)、規(guī)范書寫，同時結(jié)合圖像，直觀認(rèn)識所得的結(jié)論.最后通過課堂小結(jié)，深化對知識理解，完善認(rèn)識結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟思想方法，強(qiáng)化情感體驗，提高認(rèn)識能力.課后環(huán)節(jié)，通過三道有關(guān)測試題對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一個總結(jié)與反思，鞏固舊知、提升能力、感悟方法、形成思維品質(zhì).