王麗娜 趙興宇

(伊犁師范學院物理科學與技術學院 新疆 伊寧 835000)

1 引言

帶電平面的電場場強是電磁學中的一個重要問題，帶電平面是理論和實際問題中的一個重要理想模型，也是處理平行板電容器、導體和介質表面附近電場的重要基礎[1～4]，對均勻帶電平面及其相關問題的研究仍在繼續(xù)[5～7].均勻圓形帶電平面(帶電圓面)在其軸線上產生的場強可通過積分求出，任意形狀帶電平面附近的場強可通過高斯定理求得[3].當分別滿足一定條件時，帶電圓面可簡化為無窮大帶電平面或點電荷問題，但是究竟場點到圓面的距離比圓面尺寸小到多少時，才可以把帶電平面在其軸線上產生的場強看成無限大均勻帶電平面的結果，究竟大到多少時可以簡化為圓心處等量點電荷.而且，當場點到均勻帶電面的距離趨近于零時，面上的一些電荷到場點的距離將趨近于零，由點電荷的場強公式可知，該點的場強將會是無窮大；然而此時，無論是帶電圓面在其軸線上的場強公式，還是無限大均勻帶電平面的場強公式，都相同地給出了一個與距離無關的有限值，這與由點電荷的觀點得出的結論是相矛盾的；造成這種矛盾的原因又是什么呢？這一矛盾將直接影響面附近場強問題的處理.

為了增強對帶電平面問題的理解，便于場強公式的選擇運用，本文將采用數值計算的方法對上述問題進行研究，給出定量標準下公式的適用范圍，分析產生矛盾的原因.

2 帶電圓面模型的構建與理論

在微觀上，電荷的分布是離散的、不連續(xù)的，所以建立模型時，在微觀尺度上電荷是以離散形式進行分布的.假設有一個圓面位于z=0的平面內，圓心位于坐標原點，如圖1所示.

由點電荷場強公式可知，格點(ia,ja,0)上的電荷在P(x,y,z)點產生的場強為

(1)

式中ε0為真空的介電常數，π為圓周率，rij為格點(ia,ja,0)到P點的距離，erij為格點(ia,ja,0)指向P點的單位矢量.依據幾何關系可以得到

(2)

由場強的疊加原理可知，場點P(x,y,z)處的場強ES(x,y,z)為

(3)

(4)

(5)

(6)

3 計算結果與分析

3.1 帶電圓面軸線上場強公式的適用范圍

在考察z→0，P(0,0,z)處點電荷公式的直觀結果與式(4)、(5)結果相矛盾情況時，考慮到微觀上電荷分布不連續(xù)，分別模擬計算了n為奇數[軸線過格點(0,0,0)]和n為偶數[軸線過格點(-0.5a,-0.5a,0)和(0.5a,0.5a,0)連線的中點]的兩種情況，以便觀察微觀上電荷分布不連續(xù)所產生的影響.

圖2所示的是模擬結果ES和理論結果EI隨z的變化情況，(a)和(b)分別是n為奇數和偶數的情況，主圖是局部放大的結果，插圖是全部結果.

圖2 模擬結果ES和理論結果EI隨z的變化

圖3 相對偏差隨z的變化

從圖2中可以看出，在模擬的所有體系中，在z較小時，ES和EI的差別都比較明顯，但是隨著z的增加，ES和EI逐漸趨于一致.

為了探究圖2(a)中在z較小時，引起較大偏差的原因，這里將n為奇數時，格點(0,0，0)的電荷在P(0,0,z)點所產生的場強EO進行單獨計算，并與由式(3)計算所得的整個圓面所產生的場強進行對比，如圖4所示.可以看出在z較小時，EO幾乎與EI一樣，這說明此時其他電荷在P點所產生的場強要遠遠小于EO，也就是說格點(0,0，0)處電荷的貢獻超過其他電荷的總和，EI被格點(0,0，0)處電荷的個體性所主導，而帶電圓面的整體性被淹沒了.

圖4 ES和EO隨z的變化

圖5 相對偏差隨z的變化

所以，ES和EI之間的差別是由微觀尺度下電荷的離散分布和單個電荷對場強的貢獻過大造成的.通常情況下，所說的“均勻”帶電，實際上指的是宏觀均勻.以99%相對精度為例，式(4)在z≥a的空間尺度內適用，在z≥1.1a的尺度下可認為電荷是連續(xù)均勻分布的；當z=2a時，EI的精度高達99.99%，z在宏觀尺度時，式(4)的結果可認為是精確的.

3.2 帶電圓面軸線上場強可簡化為無限大均勻帶電平面場強的條件

(7)

圖6 相對偏差隨的變化

3.3 帶電圓面可以簡化為圓心處等量點電荷的條件

(8)

圖7 相對偏差隨的變化

通過對以上兩個方向的分析可看出，為了方便，這里可取場點到圓面圓心的距離大于10R時，將帶電圓面產生的電場看成是圓心處等量點電荷，其場強的相對精度可達到99%以上.

圖8 相對偏差隨x的變化

4 結論

通過計算分析表明，當場點到圓面的距離在電荷間距的尺度下時，帶電圓面軸線上場強公式的相對偏差較大，但隨著距離的增加快速減小，逐漸與精確值一致，偏差是由微觀尺度下電荷的離散分布和單個電荷對場強的貢獻過大造成的.以99%的相對精度為例，場點到圓面的距離大于電荷間距時，帶電圓面軸線上場強公式可以適用；場點到圓面的距離大于1.1倍的電荷間距時，可以認為電荷是均勻連續(xù)分布的；場點到圓面的距離大于1.1倍的電荷間

距且小于圓面半徑的1%時，帶電圓面軸線上場強公式可以簡化為無限大帶電平面的場強公式；場點到圓心的距離大于圓面半徑的10倍時，帶電圓面可簡化為圓心處等量點電荷的結果.本文計算場強的方法和思路，可以推廣運用到帶電圓面在任意點所產生場強的計算.