卓亦超

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0 引言

歐幾里得幾何原理作為最基本元素構(gòu)成了人類文明史上的絕大部分建筑，哥特式建筑也不例外。在歐氏幾何與非歐氏幾何的發(fā)展中，建筑造型隨著時(shí)間的推移，文化的傳承體現(xiàn)出了不同的地域特征和迥異的風(fēng)格。而老建筑往往比現(xiàn)代建筑更容易讀懂，因?yàn)樗麄兙哂幸曈X深度(A. Crompton, 2008)[1]?；诖耍疚臄M以維度分析法論證可特式建筑的多重分形關(guān)系。

1 概況

哥特式建筑起源于12世紀(jì)的法國，源自羅曼式建筑，在中世紀(jì)時(shí)期的西歐得到盛行和發(fā)展?，F(xiàn)存的絕大部分哥特式建筑為教堂建筑，也是本文分析選材的主要來源。在大部分的研究和觀察中發(fā)現(xiàn)哥特式建筑存在著分形的層級關(guān)系。

“分形”一詞是在20世紀(jì)70年代由美籍?dāng)?shù)學(xué)家曼德爾布羅特(Mandelbrot)提出并用來解釋一系列自然現(xiàn)象，而今分形這個(gè)概念被廣泛應(yīng)用與闡述一系列難以解釋卻擁有規(guī)律的圖形分析[2]。本文的研究方式建立在國外學(xué)者在建筑學(xué)范疇的研究成果上，發(fā)現(xiàn)視覺深度的剖析方法能夠良好地運(yùn)用在層級分析上，并且能夠運(yùn)用在平面的功能分析之中，而非單純地對建筑進(jìn)行簡單的圖形規(guī)律進(jìn)行歸納。分形同時(shí)也作為一座連接了科學(xué)與藝術(shù)的橋梁廣泛運(yùn)用于建筑設(shè)計(jì)的分析中。

分形幾何是在歐幾里得幾何之后最令人振奮的前沿領(lǐng)域之一，它將數(shù)學(xué)和信息技術(shù)的理論基礎(chǔ)呈現(xiàn)出多種多樣的分析方法。分形可以定義為粗糙或者是碎片狀的幾何形態(tài)，并且可以被細(xì)分成不同的部分，每個(gè)部分都是整體的比例縮小的循環(huán)復(fù)制。人們對分形研究的多樣性感到驚訝，分形還能用以研究這些領(lǐng)域：語言學(xué)、宇宙學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、博弈論等方面[3]。以米蘭大教堂的為例，根據(jù)劍橋大學(xué)的論文數(shù)據(jù)(圖1～圖3)可以看出：在歐幾里得幾何體系下的建筑主體結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出以中央大廳為主向兩翼衍生的尖券體系，拱券是構(gòu)成的基本元素，存在一定的分形特征。圖3顯示的是逐步細(xì)分的柱式比例關(guān)系，其平面與立面同樣延續(xù)著這套平面與立面相呼應(yīng)的范式。所有分形都有一種內(nèi)建的遞歸形式[2]。有時(shí)，遞歸在分形的構(gòu)造中是可見的。例如Sierpinski三角形(圖4)，Koch集(圖5)等都是用簡單的遞歸規(guī)則生成的。

圖1 米蘭大教堂主體結(jié)構(gòu)的拱券分析[4]

圖2 米蘭大教堂拱券的主從關(guān)系[5]

圖3 柱式法則[4]

圖4 Sierpinski三角形圖5 Koch集

自相似性是一種屬性也是一種邏輯，通過自相似性，對象可以在任意比例下循環(huán)復(fù)制。分形對象經(jīng)歷了一種維度變化，即結(jié)構(gòu)的維數(shù)都被相同的比例因子改變，那么它就具有自相似性的特征。生成的形狀可以是更大、更小、平移或者旋轉(zhuǎn)的關(guān)系呈現(xiàn)。

相似則意味著形狀的邊和內(nèi)角保持不變，正如《自然界的分形幾何》中所描述的：自相似性是自然界中普遍存在的[2]。美國物理學(xué)家羅伯特·奧本海默(Oppenheimer)使用“分形”一詞與自相似性進(jìn)行交換，并肯定了自相似性的幾何概念成為自然界結(jié)構(gòu)的范式。

分形幾何應(yīng)用于建筑中的討論可能會導(dǎo)致領(lǐng)域不明確[6]。但值得一提的是，一個(gè)建筑元素僅僅是近似分形的，因?yàn)樗豢赡軗碛袩o限小的細(xì)節(jié)，因此，并不能單獨(dú)談?wù)摲中谓ㄖW(xué)，而更希望使用分形組件對建筑進(jìn)行分析。

2 理論模型

本文在視覺深度的分析方法上進(jìn)行更詳細(xì)的參數(shù)化研究，并融入圖片分形維度的分析方法，分別從建筑的水平和豎向兩個(gè)維度對建筑的平面、立面、圖案等元素進(jìn)行分層次剖析。

水平方向上，以建筑的平面圖為數(shù)據(jù)，垂直方向以建筑的實(shí)景照片為數(shù)據(jù)。針對建筑平面、立面的分析方法解決要點(diǎn)是將相關(guān)圖紙或圖形在Wolfram Mathematica應(yīng)用中進(jìn)行二值化(binarize)后按照像素點(diǎn)進(jìn)行繪制分析，通過生成的圖片結(jié)果進(jìn)行判別、取值等。同時(shí)，借助計(jì)盒法(box counting)得出圖片的分形維度。圖6～圖8中顯示的是計(jì)盒法在以英國海岸線分形維度計(jì)算的模擬結(jié)果。通過不同大小的正方形沿著多段線進(jìn)行等距陣列從而得到不同視覺深度下的圖形，側(cè)面佐證了分形的經(jīng)典案例——英國的海岸線有多長[2]。

圖6 計(jì)盒法第一階段下的英國海岸線

圖7 計(jì)盒法第三階段下的英國海岸線

圖8 計(jì)盒法第四階段下的英國海岸線

研究的第一步，是從所有被研究的案例中盡可能多提取圖形文件。主要資料來源于WolframAlpha中的大數(shù)據(jù)以及多種主流搜索引擎下的資料。然而，計(jì)盒法在視覺深度的分析上有其局限性，即多用于邊界分析，而無法對整張完整的圖片進(jìn)行分層次的、像素化的分析。故對此分析方法進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，主要手段有“邊界檢測”功能：通過調(diào)節(jié)“閥值”和像素點(diǎn)的“范圍”對導(dǎo)入的圖片進(jìn)行重新繪制，以得到純粹的黑白線圖(二進(jìn)制圖片)。如此，一是提高了二次導(dǎo)入數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，避免彩色圖片和灰度圖片對成果產(chǎn)生不必要的干擾；二是簡化了CAD人工繪圖的工序(圖13、圖15、圖17)，通過“邊界檢測”功能極大地削減了人工繪圖時(shí)間，從而提高了數(shù)據(jù)分析效率。

“圖像維度”，同樣在本文的實(shí)驗(yàn)中得到運(yùn)用，該步驟是維度分析的核心，并最終成為繪圖的重要數(shù)據(jù)源。最終，將生成的數(shù)據(jù)進(jìn)行繪圖(代碼：Fit[Log[data], {1, x}, x])，得到如圖10～圖12、圖14、圖16、圖18所示的對數(shù)點(diǎn)陣坐標(biāo)圖。以此為例，對不同視覺深度下的圖片進(jìn)行多輪次分析和數(shù)據(jù)表達(dá)。

本文所示的方法，在平面分析上基本客觀準(zhǔn)確，但在立面的分析上存在一定的局限性和主觀性，即針對立面的分形分析方法在“邊界檢測”階段便產(chǎn)生了一定的認(rèn)為主觀判斷因素，從而導(dǎo)致了每次的分析成果是隨機(jī)的，是存在區(qū)間性的。由于篇幅限制，無法將區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)據(jù)詳細(xì)展示。

3 分析對象及方法

在建筑規(guī)模和文化傳承上科隆大教堂、米蘭大教堂、巴黎圣母院，是歐洲哥特式建筑的經(jīng)典，分別代表了德國、意大利、法國的經(jīng)典哥特式建筑，本文挑選以上幾座哥特式建筑作為分析對象。為確保數(shù)據(jù)運(yùn)算的準(zhǔn)確性，作者采用該理論模型對文中的Koch集圖形進(jìn)行分形維度分析，結(jié)果如圖10所示。形成的點(diǎn)陣圖并非直線，而是根據(jù)圖像的細(xì)分程度和分形維度分別呈現(xiàn)出非線性的變化和走勢度。

圖9 科隆大教堂不同視覺深度下的立面測繪圖

圖10 本文中Koch集的分形維度

圖11 科隆大教堂較少細(xì)節(jié)的立面分形維度

圖12 科隆大教堂較多細(xì)節(jié)的立面分形維度

從分析中得出，科隆大教堂的較多(較深的視覺深度)和較少(較淺的視覺深度)兩種情況下的分形維度計(jì)算結(jié)果分別為：14.8488+2.03718x和12.5964+1.65322x，平面的分形維度為：10.0828+1.53433x。根據(jù)點(diǎn)陣圖的走勢分析得出：具有更多細(xì)節(jié)視覺深度的立面與平面的視覺深度的分形維度基本接近，說明同一建筑的平面與立面是相對統(tǒng)一而且和諧的，也側(cè)面說明了同一建筑的多重分形結(jié)構(gòu)。

圖13 科隆大教堂平面

圖14 科隆大教堂平面分形維度

圖15 米蘭大教堂的立面測繪圖

圖16 米蘭大教堂的立面分形維度

4 理論總結(jié)

人工繪圖導(dǎo)入分析的優(yōu)勢在于精準(zhǔn)的繪制特定大小的“盒子”，并可以進(jìn)行矢量化的操作，如：計(jì)數(shù)、面積統(tǒng)計(jì)、周長計(jì)算、數(shù)據(jù)索引等。然而人工繪圖的方法需要建立在大量的測繪數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上，從數(shù)據(jù)的獲取上存在較大難度，難以短期內(nèi)收集完整的資料，且繪制計(jì)算機(jī)矢量圖的過程中也伴隨著數(shù)據(jù)的損失和人工判別的過程。事實(shí)上，人工繪圖的成果是經(jīng)歷了一輪非理想狀態(tài)的編制，而二值化的圖形“圖像維度”分析法不僅在繪制時(shí)間上超越了人工繪圖。但“圖像維度”分析法在計(jì)算機(jī)生成的成果為位圖圖像，通過將來的研究或許可以得到進(jìn)一步改進(jìn)，如：在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方面的優(yōu)勢上形成互補(bǔ)。

圖像維度的分析方法在哥特式建筑中的運(yùn)用，所展示的多重分形關(guān)系是本文所探討的重點(diǎn)。通過對比圖11、圖12、圖14的分形維度點(diǎn)陣圖的走勢分析不難得出：科隆大教堂在不同細(xì)分程度上的分形維度呈現(xiàn)出不同的點(diǎn)陣圖走勢，視覺深度越高則展示出更高的迭代次數(shù)；米蘭大教堂的圖像分形維度則顯得更為均勻，且呈階梯式上升的趨勢；巴黎圣母院的分形維度更接近圖10中的Koch集經(jīng)典分形圖形的點(diǎn)陣走勢。

圖17 巴黎圣母院的立面測繪圖

圖18 巴黎圣母院的立面分形維度

5 討論

圖像維度分析是建立在典型分形幾何模式下的非經(jīng)典分形圖形的理論模型，它不同于經(jīng)典分形幾何中的整數(shù)迭代分形，在分析手段、研究對象、數(shù)據(jù)成果中仍有較大的發(fā)展和進(jìn)步空間。特別是在參數(shù)化設(shè)計(jì)的評定方面具有較大潛質(zhì)，可作為參數(shù)化設(shè)計(jì)的理論依據(jù)亦可作為分形幾何與歐氏幾何的橋梁。

6 結(jié)語

通過上述針對哥特式建筑立面為主的分析，輔以分析可見，該視覺深度的理論模型在圖像維度計(jì)算中能夠快速地取得所需數(shù)據(jù)，并從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中繪制出與實(shí)際情況相稱的點(diǎn)陣圖，而且能夠直觀地對分析成果進(jìn)行剖析和解讀。將建筑之美通過數(shù)學(xué)分析方法進(jìn)行佐證和總結(jié)。以此為藍(lán)本，該分析方法或許也可以運(yùn)用在版面設(shè)計(jì)、圖形設(shè)計(jì)的理論分析上。