王宇卓

摘要：集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，集合的思想是構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的莫基石。數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題都涉及到集合，高中的數(shù)學(xué)里面所探討的對(duì)象都能夠視為集合，我們可以用集合的表達(dá)闡述數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)中的集合思想有助于我們解決許多問(wèn)題。文章將簡(jiǎn)要介紹集合的概念、意義和本質(zhì)并列舉集合在幾種數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：集合;數(shù)學(xué);本質(zhì)

一、概念與意義

集合在數(shù)學(xué)中有著至關(guān)重要的地位，是數(shù)學(xué)這棟大廈的基石。所謂集合就是讓一些具有獨(dú)特特征的對(duì)象集合在一起。構(gòu)成集合的獨(dú)特對(duì)象就是元素。集合可以分為并集，交集，全集，差集。所謂并集就是將屬于兩個(gè)或多個(gè)不同的集合組合到一個(gè)集合里面，其實(shí)相同的元素不需要重復(fù)。交集就是將兩個(gè)或多個(gè)不同集合里的相同元素整合到一個(gè)集合里面。全集就是集合里面包含所有的元素。差集就是將兩個(gè)或多個(gè)不同的集合里面的不同元素整合到一個(gè)集合里面。集合具有確定、互異、無(wú)序的特點(diǎn)。

集合語(yǔ)言在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中是非?；A(chǔ)的語(yǔ)言，在高中數(shù)學(xué)課本中，集合是我們學(xué)習(xí)的第一個(gè)的知識(shí)，并且集合貫穿著整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，比如在整數(shù)集，負(fù)數(shù)集等、平面圖片就是許多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，三維圖片可以理解成二維圖形的集合等。集合的符號(hào)也是我們需要掌握的基本符號(hào)，隨著學(xué)習(xí)的逐漸深入，能夠通過(guò)集合與元素的角度來(lái)看待圖形和圖形上的點(diǎn)的關(guān)系。在不等式的學(xué)習(xí)中，利用集合的概念有助于我們對(duì)點(diǎn)集的理解。站在集合的觀(guān)點(diǎn)可幫助我們理解概率論中基本事件和樣本間的關(guān)系，把控互斥事件和獨(dú)立事件間的聯(lián)系。

二、集合與應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，任何一個(gè)板塊都有用到集合的定義以及其思想的地方。函數(shù)就是許多個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的集合，數(shù)列就是許多元素的集合。在邏輯運(yùn)算、不等式計(jì)算、排列組合、解析幾何甚至是三維圖形中都有集合的身影。

（一）在邏輯問(wèn)題中采用集合思想。在某些邏輯問(wèn)題中，題目中的條件對(duì)我們來(lái)講是比較難看出，尤其是其中的充分性與必要性，假設(shè)我們采用集合的方法來(lái)解決問(wèn)題，那么問(wèn)題就能得到解決。例如我們舉個(gè)采用集合的方法解決邏輯條件的例子：把使命題P、4為真的對(duì)象分別看成集合A、B，則有下列結(jié)論：（1）若B等于A，則p、q互為充要條件;（2）若A包含于B，則P是q的充分而非必要條件，q是P的必要而非充分條件;（3）若A不包含于B，則p、q互為既不充分也不必要條件。

（二）集合在排列組合中的運(yùn)用。排列組合的本質(zhì)問(wèn)題就是求得符合題目要求的解所構(gòu)成的集合里的所有元素的個(gè)數(shù)。因此，在排列組合的問(wèn)題上能直接運(yùn)用集合的思想，在排列組合中，容斥原理是一個(gè)典型的應(yīng)用之一。所謂容斥原理就是先把滿(mǎn)足某個(gè)條件的所有元素的數(shù)量先算出來(lái)，接著移除在計(jì)算過(guò)程中重復(fù)計(jì)算的元素的計(jì)算方法。

（三）集合在解析幾何中的應(yīng)用。在解析幾何中，其探討的對(duì)象是一維或者二維的圖形，而這些一維或者二維的圖形都能夠視為點(diǎn)的集合，這種點(diǎn)的集合都是可以用不等式或者是二維坐標(biāo)的方程。

（四）集合在立體幾何中的應(yīng)用立體幾何就是三維圖形，這些圖形是符合一定條件的點(diǎn)集，若我們采用集合的思想來(lái)思考某些問(wèn)題，有些問(wèn)題就能迎刃而解。

三、集合的數(shù)學(xué)本質(zhì)

一般來(lái)講，數(shù)學(xué)的集合論由集合的基本概念和有序?qū)虾瘮?shù)兩個(gè)部分。集合貫穿于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奠基石。整個(gè)數(shù)學(xué)大部分的概念都可以用集合的表達(dá)方式來(lái)敘述，因此數(shù)學(xué)能夠在集合上構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立的科學(xué)系統(tǒng)。事實(shí)上根據(jù)集合和有序?qū)现g的關(guān)系就能夠發(fā)現(xiàn)整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的構(gòu)成搭建過(guò)程。

第一我們要明確集合這部分內(nèi)容是數(shù)字化的過(guò)程：對(duì)象（集合）、運(yùn)算（集合運(yùn)算）、運(yùn)算律（集合恒等式）、演算、應(yīng)用（計(jì)數(shù)、證明恒等式、實(shí)際應(yīng)用等）。此處在標(biāo)準(zhǔn)型上少了一部分，事實(shí)上集合的計(jì)算過(guò)程是能夠有標(biāo)準(zhǔn)型的，只不過(guò)此處的標(biāo)準(zhǔn)型比不上邏輯計(jì)算的范式重要而已。根據(jù)集合的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)能夠了解集合與命題邏輯在內(nèi)容上有著非常多相似的地方。

因?yàn)槎x了集合這個(gè)基本語(yǔ)言，就能夠定義了含有有序?qū)系恼Z(yǔ)言，然后就是對(duì)關(guān)系的計(jì)算和他們計(jì)算的性質(zhì)，這些都是進(jìn)行代數(shù)處理的辦法，接著是對(duì)等價(jià)關(guān)系、偏序關(guān)系以及函數(shù)的理解。等價(jià)關(guān)系即集合上的一種特殊的二元關(guān)系，并且分類(lèi)是等價(jià)關(guān)系的意義所在，這不僅是數(shù)學(xué)最基本的思想方法之一，也是挖掘數(shù)據(jù)中經(jīng)常碰到的工作，與等價(jià)關(guān)系不同的是，“排序”才是偏序關(guān)系的意義所在，這也是計(jì)算機(jī)科學(xué)中經(jīng)常研究的對(duì)象。

將函數(shù)賦予定義之后，就能對(duì)分析學(xué)展開(kāi)研究。當(dāng)使用函數(shù)將二元計(jì)算進(jìn)行定義之后，就能鋪好代數(shù)學(xué)的基石。這樣分析學(xué)、代數(shù)學(xué)就都涵蓋進(jìn)來(lái)了，于是整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的框架就差不多構(gòu)建完成了。

集合涵蓋在集合論之中，集合論是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與根本。整個(gè)數(shù)學(xué)體系中，從基本的集合到各種關(guān)系、再到函數(shù)與計(jì)算，這些都是組成整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的基礎(chǔ)部分，同時(shí)也是集合的本質(zhì)所在。

四、結(jié)語(yǔ)

貫穿于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，每一個(gè)數(shù)學(xué)思想都值得我們認(rèn)真學(xué)習(xí)，比如集合思想，函數(shù)與方程結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合的思想等等，其中集合思想是最基本的思想方法，集合思想為數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系搭起了橋梁。文章從不同方面剖析集合問(wèn)題，旨在經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)，就能讓我們了解、熟練代數(shù)的核心所在。

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