葉星旸

(集美大學(xué)理學(xué)院， 福建 廈門 361021)

0 引言

隨著信息傳播速度的加快和計(jì)算機(jī)的普遍使用，信息安全問題成為了人們關(guān)注的一大熱點(diǎn)，木馬病毒的出現(xiàn)也極大威脅了信息安全。與其他計(jì)算機(jī)病毒相比，木馬病毒更具有“偽裝性”，木馬病毒通常以看起來無害的程序?yàn)檩d體存在于用戶的電腦中，一旦用戶觸發(fā)了相關(guān)的網(wǎng)頁或者軟件等，程序就開始運(yùn)行，然后奪取用戶的控制權(quán)，從而達(dá)到竊取資料的目的。因此，研究木馬病毒的傳播規(guī)律從而找出有效控制木馬病毒傳播的措施，是非常有必要且具有重要的意義。

由于計(jì)算機(jī)病毒與生物病毒高度相似，因此，可以利用經(jīng)典的流行病倉室模型來研究計(jì)算機(jī)病毒的傳播規(guī)律，這方面已有大量的研究結(jié)果[1-8]。例如，文獻(xiàn)[1-2]考慮了計(jì)算機(jī)病毒的SIRS模型，文獻(xiàn)[3-4]研究了具有潛伏期的SEIR模型。然而，上述這些研究結(jié)果都是基于整數(shù)階微分方程模型。

近幾十年來，由于一些學(xué)科新現(xiàn)象新定律的發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階微積分已成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。隨著分?jǐn)?shù)階微分方程的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階模型更加接近實(shí)際情況，能對生物系統(tǒng)進(jìn)行更為細(xì)致深入的研究，越來越多的研究者也開始關(guān)注分?jǐn)?shù)階傳染病模型[9-10]。然而，目前尚無文獻(xiàn)考慮利用分?jǐn)?shù)階方程模型來研究木馬病毒的傳播情況。而且，分?jǐn)?shù)階微分方程在研究一些具有記憶過程、遺傳性質(zhì)、異質(zhì)材料及遠(yuǎn)程擴(kuò)散過程比整數(shù)階方程模型更具有優(yōu)勢。木馬病毒通過將自身偽裝吸引用戶下載執(zhí)行，向施種木馬者提供打開被種主機(jī)的門戶，使施種者可以任意毀壞、竊取被種者的文件，甚至遠(yuǎn)程操控被種主機(jī)。經(jīng)典的整數(shù)階方程如反應(yīng)擴(kuò)散方程就很難準(zhǔn)確地描述木馬病毒的這種遠(yuǎn)程操控和大范圍傳播的擴(kuò)散現(xiàn)象，而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的全局性使得分?jǐn)?shù)階微分方程能更準(zhǔn)確地描述木馬病毒的這種遠(yuǎn)程擴(kuò)散現(xiàn)象。因此，本文通過建立合適的分?jǐn)?shù)階微分方程模型研究木馬病毒的傳播規(guī)律。

1 木馬病毒傳播模型

由于木馬病毒一旦被計(jì)算機(jī)用戶觸發(fā)，則電腦立刻中病毒，因此木馬病毒幾乎沒有潛伏期?；诖?，假設(shè)在木馬病毒傳播范圍內(nèi)的計(jì)算機(jī)用戶有3種類型：1)易感者S，指尚未感染木馬病毒并有可能感染病毒的用戶，在t時(shí)刻其數(shù)量記為S(t)；2)感染者I，指已經(jīng)感染木馬病毒的用戶，在t時(shí)刻其數(shù)量記為I(t)；3)免疫者R，指具有免疫不會(huì)再感染木馬病毒的用戶，在t時(shí)刻其數(shù)量記為R(t)。木馬病毒在計(jì)算機(jī)間的傳播情況如圖1所示。

圖1中：γ為t時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)用戶數(shù)量；μ表示易感者因?yàn)榘惭b木馬補(bǔ)丁成為免疫者的比例；β為感染率，指的是在一定時(shí)間內(nèi)，易感者因?yàn)闆]有安裝木馬補(bǔ)丁而感染上木馬病毒，由易感者轉(zhuǎn)變成感染者的計(jì)算機(jī)總數(shù)為βSI；ξ表示感染上木馬病毒的計(jì)算機(jī)在進(jìn)行殺毒后打補(bǔ)丁或升級(jí)系統(tǒng)從而獲得永久免疫的比例?？紤]到計(jì)算機(jī)用戶在關(guān)閉計(jì)算機(jī)之后，木馬病毒不再活躍，因此t時(shí)刻有κ比例的用戶從易感者、感染者、免疫者移出系統(tǒng)。根據(jù)以上假設(shè)，建立如下的木馬病毒傳播的整數(shù)階微分方程模型：

(1)

借鑒文獻(xiàn)[11]的方法，在模型(1)的基礎(chǔ)上引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，得到如下的分?jǐn)?shù)階微分方程模型：

(2)

2 解的有界性及唯一性

為證明本節(jié)的結(jié)論，需要用到下面的幾個(gè)引理。

下面給出主要定理。

證明假設(shè)當(dāng)t=0時(shí)，S(t)=0。首先證明S(t)≥0,?t≥0。假設(shè)S(t)≥0,?t≥0不成立，則存在t1>0,使得當(dāng)0≤t0,當(dāng)t=t1時(shí)，S(t)=0,當(dāng)t>t1時(shí)，S(t)<0。

(3)

3 平衡點(diǎn)

定理3 當(dāng)R0<1時(shí)，模型(2)有唯一一個(gè)未感染平衡點(diǎn)E0(γα/(μα+κα),0,μαγα/[κα(μα+κα)),當(dāng)R0>1時(shí)，模型除了一個(gè)未感染平衡點(diǎn)E0外，還有一個(gè)感染平衡點(diǎn)E*(S*,I*,R*)，其中S*=(ξα+κα)/βα,I*=[βαγα-(ξα+κα)(μα+κα)]/(βα(ξα+κα))=(μα+κα)(R0-1)/βα,R*=(μαS*+ξαI*)/κα。

定理4 當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定，當(dāng)R0>1時(shí)，E0不穩(wěn)定。

證明系統(tǒng)(2)在E0處的Jacobian矩陣為：

(4)

如果Jacobian矩陣J(E0)的所有特征值滿足條件[16]|arg(λ)|>απ/2，那么未感染平衡點(diǎn)E0是漸近穩(wěn)定的。容易求得J(E0)的所有特征值為λ1=-κα<0,λ2=-(κα+μα)<0,λ3=βαγα/(μα+κα)-(ξα+κα)=(ξα+κα)(R0-1),。顯然，當(dāng)R0<1時(shí)，λ3<0,于是，J(E0) 的所有特征值均為負(fù)實(shí)數(shù)，從而條件|arg(λ1)|>απ/2,i=1,2,3滿足，未感染平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，λ3>0，未感染平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定。

定理5 當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定。

(λ+κα)[λ2+(μα+κα)R0λ+(ξα+κα)(μα+κα)(R0-1)]=0。

(5)

易知λ1=-κα<0是J(E*)的一個(gè)特征值，J(E*)的另兩個(gè)特征值λ2和λ3是方程λ2+(μα+κα)R0λ+(ξα+κα)(μα+κα)(R0-1)=0的根。由韋達(dá)定理可知:λ2+λ3=-(μα+κα)R0<0,λ2λ3=(ξα+κα)(μα+κα)(R0-1)。當(dāng)R0>1時(shí)，λ2λ3>0,于是，J(E*)的所有特征值均有負(fù)實(shí)部，從而條件|arg(λi)|>απ/2,i=1,2,3滿足，感染平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。

4 數(shù)值試驗(yàn)

本節(jié)通過對模型(2)的數(shù)值模擬來研究模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性情況。取定初始值為S(0)=40,I(0)=5,R(0)=10。

表1 α取不同值時(shí)模型(2)的基本再生數(shù)和平衡點(diǎn) Tab.1 The basic reproduction number andequilibriums of model (2) for several ααR0E0E?1227.27(545.45,0,54.545)(2.4,497.8,99.8)0.864.859(144.09,0,22.836)(2.2216,128.81,35.896)0.617.735(37.117,0,9.3233)(2.0928,31.738,12.609)0.59.0928(18.61,0,5.885)(2.0467,15.064,7.3841)

例1 選取參數(shù)γ=60,β=0.05,μ=0.01,κ=0.1,ξ=0.02。表1列出了α=1,0.8,0.6,0.5時(shí)相應(yīng)的基本再生數(shù)R0、未感染平衡點(diǎn)E0和感染平衡點(diǎn)E*。由定理5知，表1中的感染平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。在圖2中繪出了模型(2)的解隨時(shí)間的變化情況，從圖2中可以看出，模型(2)的解最終收斂于感染平衡點(diǎn)E*。例2 選取參數(shù)γ=60,β=0.001,μ=0.09,κ=0.2,ξ=0.1。當(dāng)α=0.6和0.8時(shí)，通過計(jì)算可得相應(yīng)的基本再生數(shù)為R0=0.474 54,0.575。由定理4知，模型(2)只存在唯一穩(wěn)定的未感染平衡點(diǎn)。圖3繪出了模型(2)的解隨時(shí)間的變化情況，從圖3中可以看出，模型(2)的解最終收斂于未感染平衡點(diǎn)E0。

5 結(jié)語

研究了一類基于分?jǐn)?shù)階微分方程的木馬病毒傳播模型，得到：當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時(shí)，模型僅存在唯一的局部穩(wěn)定的未感染平衡點(diǎn)E0，此時(shí)病毒得到消除；當(dāng)基本再生數(shù)R0>1時(shí)，模型除了未感染平衡點(diǎn)E0外，還存在一個(gè)感染平衡點(diǎn)E*，且此時(shí)感染平衡點(diǎn)是局部穩(wěn)定的，病毒將擴(kuò)散。

為了控制木馬病毒的傳播，應(yīng)想辦法減少基本再生數(shù)的值。注意到基本再生數(shù)的形式R0=βαγα/((ξα+κα)(μα+κα))，可以通過減少γ,β的值或者增加ξ,κ,μ的值使基本再生數(shù)的值減小。由于γ表示t時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)用戶數(shù)量，κ表示t時(shí)刻有κ比例的計(jì)算機(jī)用戶移出系統(tǒng)，所以通常情況下比較難控制γ和κ的值。因此，為減小基本再生數(shù)的值，關(guān)鍵在于減小傳染率β的值并增加ξ和μ的值。

結(jié)合參數(shù)的實(shí)際意義，給出如下建議：1)對計(jì)算機(jī)定期掃描系統(tǒng)檢查漏洞，并及時(shí)安裝木馬補(bǔ)丁，由此可以增加ξ和μ的值，從而減少感染計(jì)算機(jī)的數(shù)目；2)感染計(jì)算機(jī)及時(shí)退出計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，等到系統(tǒng)漏洞修復(fù)完畢之后再聯(lián)網(wǎng)操作，由此可以減少感染者的數(shù)目，從而降低感染率。

此外，由前述數(shù)值模擬的結(jié)果可以看到分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α對模型解的影響。當(dāng)其他參數(shù)固定不變時(shí)，α的值越小，基本再生數(shù)的值也越小。由定理4和定理5可以看到，當(dāng)基本再生數(shù)從R0>1變化到R0<1時(shí)，模型最終的平衡狀態(tài)將由穩(wěn)定的感染平衡點(diǎn)變化為穩(wěn)定的未感染平衡點(diǎn)，由此可以推測分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α是模型的一個(gè)分岔值。然而，如何從理論上來證實(shí)這一推測，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)在模型中的實(shí)際意義又是什么，這些問題有待在后續(xù)的研究工作中進(jìn)一步探討。