東喬天 張淼

【摘 要】湍流是世界復(fù)雜問(wèn)題之一，目前還沒(méi)有方法準(zhǔn)確的描述湍流。研究通過(guò)多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析（MFDFA）流體力學(xué)中基本的圓柱繞流問(wèn)題，通過(guò)CFD計(jì)算獲得四個(gè)不同雷諾數(shù)速度場(chǎng)，利用MFDFA方法研究了不同雷諾數(shù)速度流場(chǎng)的尺度特性。結(jié)果在不同雷諾數(shù)下，圓柱繞流的速度場(chǎng)數(shù)據(jù)在變?yōu)橥牧鲿r(shí)呈現(xiàn)出不同的尺度特性，雷諾數(shù)越大，湍流的分形測(cè)量值越高。本文提供了一種描述自然界湍流的方法。

【關(guān)鍵詞】多重分形;MFDFA;圓柱繞流;湍流

中圖分類(lèi)號(hào)： TP393.06 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A文章編號(hào)： 2095-2457（2019）03-0239-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.03.100

0 引言

當(dāng)人類(lèi)對(duì)自然有更深入的了解時(shí)，多重分形不僅僅限于幾何或統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域，近年來(lái)隨著人們對(duì)混沌世界和湍流的關(guān)注，多重分形分析逐漸被應(yīng)用于物理學(xué)、生物學(xué)、金融學(xué)等領(lǐng)域。流體從層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鲿r(shí)，可以清晰的發(fā)現(xiàn)某些多重分形特征[1]，而這也為湍流學(xué)者提供了一個(gè)新的視角[2]。隨著實(shí)驗(yàn)流體技術(shù)和計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展，對(duì)湍流分形測(cè)量的研究越來(lái)越多，如PIV技術(shù)等，可以獲得整個(gè)速度場(chǎng)。圓柱繞流是流體動(dòng)力學(xué)中的一種基本流，當(dāng)雷諾數(shù)較低時(shí)，圓柱繞流呈現(xiàn)層流。然而，隨著雷諾數(shù)的增加，流動(dòng)轉(zhuǎn)化為湍流，當(dāng)流動(dòng)條件改變時(shí)，可以觀察各種卡門(mén)渦街的各種形成。

本文著重研究了不同雷諾數(shù)引起的圓柱繞流的多重分形勘探。雷諾數(shù)在一定程度上取決于湍流強(qiáng)度，對(duì)于不同的流場(chǎng)，應(yīng)該有不同的分形測(cè)度來(lái)描述。因此，本文試圖通過(guò)計(jì)算流體力學(xué)和MFDFA方法，找出圓柱繞流多重分形與雷諾數(shù)的關(guān)系規(guī)律。

1 CFD模型

雷諾數(shù)是本研究中唯一變量，使用相同的網(wǎng)格計(jì)算4個(gè)不同雷諾數(shù)工況（Re=1，102，103，104），以減少網(wǎng)格數(shù)量或質(zhì)量引起的誤差。

Re=（V×D×ρ）/μ，式中，V為來(lái)流速度，D為圓柱直徑，ρ為流體密度，μ為流體粘度。為了方便地改變雷諾數(shù)，來(lái)流速度、圓柱直徑和流體粘度都設(shè)置為1。

網(wǎng)格圓柱直徑D=1，整個(gè)計(jì)算域?yàn)?0D×40D的矩形，圓柱距速度入口20D，距速度出口60D，距上下壁面20D，以避免速度進(jìn)出口和壁面的干擾。

圖1顯示了雷諾數(shù)從1到104時(shí)，圓柱繞流速度云圖結(jié)果。隨著雷諾數(shù)的增加，邊界層越來(lái)越薄。且需要注意的是，當(dāng)雷諾數(shù)較低時(shí)，圓柱周?chē)牧鲃?dòng)是層流（如Re=1所示），但當(dāng)雷諾數(shù)增加時(shí)，圓柱尾流變成湍流。

2 MFDFA分析

數(shù)值模擬只是獲得整個(gè)速度場(chǎng)數(shù)據(jù)的一種方法。為了分析圓柱繞流的多重分形特征，以圓柱后中心線(xiàn)的速度量為研究對(duì)象。圖2為不同雷諾數(shù)下圓柱繞流中心線(xiàn)速度場(chǎng)，當(dāng)圓柱繞流為層流時(shí)，速度級(jí)平穩(wěn)上升，無(wú)波動(dòng)，但當(dāng)氣流轉(zhuǎn)為湍流時(shí)，速度級(jí)數(shù)據(jù)隨著雷諾數(shù)的增加波動(dòng)更大。

3 結(jié)果

通過(guò)線(xiàn)性多項(xiàng)式去趨勢(shì)方法獲得了波動(dòng)函數(shù)Fq（s），在最小二乘法方程假設(shè)下，擬合h（q）。

從圖3可以明顯看出，當(dāng)Re=102，103，104時(shí)，α最小值接近0.84，當(dāng)Re=1時(shí)，最小值為1.12;在所有雷諾數(shù)下，f（α）最大值為1。應(yīng)注意，當(dāng)流動(dòng)從層流轉(zhuǎn)換為湍流時(shí)， f（α）最大值的位置值逐漸向前移動(dòng)，當(dāng)Re=100，α0=1.56，當(dāng)Re=1000，α=1.85，當(dāng)Re=10000，α0=2.25。α被稱(chēng)為局部分形，它表示一個(gè)小區(qū)域的分形，換句話(huà)說(shuō)，α0反映了平均分形度量。隨著雷諾數(shù)的增加，α0增加，湍流的分形也越復(fù)雜。另一方面，隨著雷諾數(shù)的增加，多重分形寬度Δα也隨之增大，進(jìn)一步證明了多重分形特征的尺度更大。還應(yīng)注意的是，當(dāng)Re=1，流動(dòng)處于層流，f（α）最大值α=2（圖6中用虛線(xiàn)表示），這意味著層流的多重分形特征接近2維。

綜上所述，當(dāng)圓柱繞流為層流時(shí)，圓柱繞流速度大小的分形接近二維。湍流的分形測(cè)度隨雷諾數(shù)的增加而增大，隨湍流的發(fā)展而增大。

4 結(jié)論

近年來(lái)學(xué)者提出了許多描述湍流特征的方法和技術(shù)，這些方法和技術(shù)鼓勵(lì)我們使用分形或多重分形等技術(shù)來(lái)分析速度數(shù)據(jù)。本文用CFD計(jì)算了不同雷諾數(shù)下圓柱繞流的速度場(chǎng)，并通過(guò)MFDFA方法對(duì)不同雷諾數(shù)下的多重分形特征、多重分形譜、最大位置和寬度進(jìn)行了分析，研究結(jié)果表明，層流的分形測(cè)量維度接近于2維，當(dāng)流動(dòng)從層流轉(zhuǎn)為湍流時(shí)，隨著雷諾數(shù)的增加，多重分形特征的尺度越大，湍流的分形測(cè)量值越高。本研究對(duì)流體進(jìn)行深入的多重分形研究，為認(rèn)識(shí)和描述自然界的湍流提供了新的途徑。在下一階段，將整個(gè)圓柱繞流的尾流場(chǎng)作為數(shù)據(jù)分析，作為一個(gè)系列開(kāi)展多重分形分析，系統(tǒng)地描述湍流特征。

【參考文獻(xiàn)】

[1]Mandelbrot B B. Intermittent turbulence in self-similar cascades-Divergence of high moments and dimension of the carrier[J].Journal of Fluid Mechanics， 1974， 62（2）： 331-358.

[2]Mandelbrot B B. The fractal geometry of nature[M]. Macmillan， 1983.