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對高中函數(shù)模塊教學中問題解決的探究

2019-04-20 02:34葉燕忠
關鍵詞:問題解決數(shù)學知識

葉燕忠

摘 要:高中函數(shù)模塊教學中的問題解決,可以通過讓學生體驗數(shù)學知識的形成過程、探求問題解決的切入點、深耕數(shù)學對象的內(nèi)在本質(zhì)這樣一個過程來達成.

關鍵詞:函數(shù)模板;問題解決;數(shù)學知識;數(shù)學對象;數(shù)學信息

目前的高中數(shù)學教學存在概念處理簡單、解題過于單一、信息聚散力弱等問題.本文擬通過對高中函數(shù)模塊教學中問題解決的探究,讓學生體驗數(shù)學知識的形成過程,探求問題解決的切入點,深耕數(shù)學對象的內(nèi)在本質(zhì).

一、重數(shù)學概念的理解——體驗知識的形成過程

數(shù)學玩的是概念與思維.任意角、古典概型、平面、向量等概念,相對別的概念來說內(nèi)容較為簡單,但卻是各數(shù)學分支的初始性概念和發(fā)展的基石. 教學不能只停留在傳授語言文字層面的結(jié)論性知識,而應把知識作為探究的對象,讓學生體會、掌握其背后所蘊含的數(shù)學思想方法和思維方法,充分挖掘和利用知識的思維訓練價值,引導學生對知識從“工具性理解”走向“關系性理解”,最后到“創(chuàng)新性理解”.

【案例1】人教A版高中數(shù)學必修4《任意角》第一課時教學時,關于正角、負角的引出這一簡單知識點,教師往往會直接告知學生正負角是約定俗成的東西,規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角為正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角為負角.

那么是否應該追問:這個約定俗成是基于什么?為什么規(guī)定逆時針為正?

學生:比如水龍頭的開關方向,逆時針是打開,順時針是關閉;比如在操場上跑步是按逆時針方向的……

繼續(xù)追問:這些都是人為的,不是渾然天成的.你能舉出別的例子嗎?

學生:地理上,北半球中的一些自然現(xiàn)象,比如水的旋渦和臺風中心都是逆時針方向的渦旋形(見圖1、圖2).

學生:天體運動的方向是逆時針等.

追問:你還能舉出什么例子?

學生:人旋轉(zhuǎn)一圈,多數(shù)是逆時針旋轉(zhuǎn)的.

從而發(fā)現(xiàn)正負角的規(guī)定是符合自然規(guī)律和人的本能的,讓學生感受到這個規(guī)定不是隨性而為的,是有充足理由的.探究正負角名稱的來歷,可以使課堂精彩紛呈,讓學生回味無窮,從而實現(xiàn)學生對正負角規(guī)定的理解從“工具性理解”走向“關系性理解”.

【案例2】《冪函數(shù)》教學中,對于冪函數(shù)的定義:形如[y=xα(α為常數(shù),α∈R)]的函數(shù),往往與指數(shù)函數(shù)一對比后,確定函數(shù)的結(jié)構特征后,就開始研究五個??嫉膬绾瘮?shù)的圖象和性質(zhì),對教材上補充的一般只研究[α∈Q]這一條件,僅限于對有理數(shù)指數(shù)[α=qp,p , q∈Z]引起不同的圖象特征的冪函數(shù)進行研究.

筆者在教學此課時,運用幾何畫板演示冪函數(shù)的各種圖象特征,設計兩種作圖方法,在演示的過程中,學生發(fā)現(xiàn)這樣一個問題:

作法1:冪函數(shù)[f(x)=xqp,][其中p, q]的數(shù)值通過鍵盤輸入,每組數(shù)據(jù)都能得到對應的完整的函數(shù)圖象(如圖3、圖4、圖5).

作法2:冪函數(shù)[f(x)=xα],其中[α]的數(shù)值通過[x]軸上構造的任意點A的橫坐標提供,在點A運動變化過程中,得到的函數(shù)的圖象始終在第一象限(部分含原點)(如圖6).

探究1:為什么作法2的圖象會有丟失?

學生:作法1中的數(shù)值通過鍵盤輸入時[α=qp]始終是有理數(shù),作法2中[α]的數(shù)值是全體實數(shù),既有有理數(shù)也有無理數(shù),但是無理數(shù)書本上提到不作研究要求,會不會是無理數(shù)影響了圖象的完整性?

探究2:是否嘗試探究一下指數(shù)是無理數(shù)的冪函數(shù)的圖象?考慮特殊的情形:[f(x)=x2].

探究過程中可以嘗試引導學生運用一列有理數(shù)逐步逼近[2]的方法:

[f(x)=x1.4=x75,定義域為R;]

[f(x)=x1.41=x141100,定義域為0,+∞;]

[f(x)=x1.414=x707500,定義域為0,+∞;]

[f(x)=x1.4142=x70715000,定義域為0,+∞;]

[f(x)=x1.41421=x141421100000,定義域為0,+∞;]

……

當指數(shù)逐步逼近[2]時,預測定義域為[0,+∞];

不妨取指數(shù)為[-2],則可預測定義域為[0,+∞] .

可猜測[f(x)=xα]可看成指數(shù)[α]是有理數(shù)收斂于該無理數(shù)對應的函數(shù),所以根據(jù)上述特例猜想其定義域為[0,+∞]或[0,+∞],所以用作法2獲得的冪函數(shù)的圖象只出現(xiàn)在第一象限(或含原點).

追問:那么當指數(shù)[α]是有理數(shù)時的部分圖象去哪了?

學生:被無理數(shù)給吞沒了.

所以我們在研究冪函數(shù)時指數(shù)的取值要剝離無理數(shù),只研究有理數(shù).

通過充分挖掘簡單細節(jié)展開探究,可引導學生對知識的理解從“工具性理解”走向“關系性理解”,最后到“創(chuàng)新性理解”.

二、重數(shù)學對象的確定——探究問題解決的切入點

有些數(shù)學問題很明顯能獲得這樣的信息:只需要把題設中信息的研究清楚就可以解決問題,其中確定數(shù)學對象為解題的關鍵,主要有三個確定的背景:函數(shù)、方程、不等式,其中方程、不等式進行適當?shù)牡葍r變換后可以構造一個函數(shù)或兩個函數(shù),立足于構造的函數(shù)解決問題.但是函數(shù)的選擇是否適切關系到能否順利、快速、精準地解決問題.因此下面的案例從三種不同的數(shù)學對象選擇入手進行剖析,獲得一題多解的解題方向.

【案例3】(2018年全國高考II卷第21題)已知函數(shù)[f(x)=ex-ax2].

(1)若[a=1],證明:當[x≥0]時,[f(x)≥1];

(2)若[f(x)]在[(0,+∞)]只有一個零點,求[a].

此題主要考查學生的運算能力、直觀想象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng),運用分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法來解決問題.

以下是第一小問解題思路.

思路1:第一步確立待研究的數(shù)學對象為:[f(x)=ex-x2(x≥0)];

第二步求函數(shù)[f(x)=ex-x2(x≥0)]的最小值為1.一般情況下,求一個函數(shù)的最值,需要判斷函數(shù)的圖象特征,從而確定最值點的位置.導數(shù)這一工具可以作出函數(shù)的大致圖象,從而求出最值.

第三步得出結(jié)論成立.

思路2:欲證[f(x)=ex-x2≥1(x≥0)],只需證[ex-x2-1≥0],所以可確定待研究的數(shù)學對象為[g(x)=ex-x2-1(x≥0)],并運用導數(shù)工具求其最小值為0,具體步驟同思路1的求解步驟.

但思路1、思路2運用導數(shù)求解,需要求兩次導,才能探究出函數(shù)的圖象,對學生來說有一定的難度.所以可以考慮另外探尋新的解法.

思路3:欲證[ex-x2≥1(x≥0)],只需證[ex-x2-1≥0(x≥0)],即證[ex≥x2+1(x≥0)],只需證[exx2+1≥1(x≥0)],因此可確定待研究的數(shù)學對象為[h(x)=exx2+1(x≥0)],運用導數(shù)求其最小值為1,即可得證.

思路4:根據(jù)思路3可知只需證明[x2+1ex≤1(x≥0)],因此可確定待研究的數(shù)學對象為[R(x)=x2+1ex(x≥0)],運用導數(shù)求其最大值為1即可得證.

思路5:根據(jù)題意,只要證明[ex≥x2+1(x≥0)]成立,我們把這個不等式看成兩個函數(shù)圖象的上下位置關系,即確定函數(shù)[y=ex(x≥0)]的圖象在[y=x2+1(x≥0)]的圖象的上方.以兩個函數(shù)[y=ex(x≥0)]和[y=x2+1(x≥0)]作為研究對象,以形助數(shù)來直觀想象抽象的不等關系.只是此類方法,寫法步驟表述上相對不夠嚴謹,適合在選擇、填空題中運用.

以下是第二小問解題思路.

思路1:已知函數(shù)只有一個零點,所以可以去探究函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象確定只有一個零點的圖象特征,然后轉(zhuǎn)化為含有[a]代數(shù)關系式解決問題.因此可以確定研究的數(shù)學對象為[f(x)=ex-ax2(x>0)],運用導數(shù)工具分類討論此函數(shù)的性質(zhì)與圖象,過程相對比較煩瑣,運算能力要求較高,圖象的變化趨勢也需考慮周全,才能解答完整,此解法能力要求高,屬于難題. 但可以結(jié)合函數(shù)本身的數(shù)的特征把[a]的研究范圍縮小到[0,+∞].

思路2:函數(shù)只有一個零點可以轉(zhuǎn)化為[關于x的方程ex-ax2=0(x>0)]只有一個實數(shù)解,轉(zhuǎn)化為[y=ex(x>0)]和[y=ax2(x>0)]只有一個交點,數(shù)形結(jié)合,如圖7所示可觀察發(fā)現(xiàn)當兩個函數(shù)在第一象限相切時,為極端情形,此時的[a]即為所求,從而解決問題. 但是此時兩個函數(shù)的圖象都是曲線,作圖判斷易產(chǎn)生偏差.

思路3:我們在思路2的基礎上進行改造,改造成一直一曲的兩個函數(shù)來求解,即轉(zhuǎn)化為兩個待研究的數(shù)學對象[y=exx(x>0)]和[y=ax(x>0)]只有一個交點的問題.如圖8,可觀察到兩個函數(shù)在第一象限相切時是極端情形,此時的[a]即為所求,從而解決問題.

思路4:繼續(xù)改造成方程[exx2=a(x>0)]只有一個實數(shù)解,確定研究的數(shù)學對象為[y=exx2(x>0)]和[y=a(x>0)]的圖象,結(jié)合已知條件判斷只有一個交點時[a]的取值問題.

如圖9,可觀察到兩個函數(shù)在第一象限相切時是極端情形,此時的[a]即為所求,從而解決問題.

思路5:繼續(xù)改造成方程[1-ax2ex=0(x>0)],確立待研究的數(shù)學對象為[g(x)=1-ax2ex],結(jié)合已知條件探究[g(x)=1-ax2ex]的圖象與[x]軸只有一個交點時[a]的值.但是運用導數(shù)探究函數(shù)時同樣需要進行分類討論,不過可以先縮小[a]的研究范圍.

三、重數(shù)學信息的聚散——深耕數(shù)學對象的內(nèi)在本質(zhì)

解答數(shù)學問題最關鍵的一個環(huán)節(jié)是在理解題意的前提下,從中獲取盡可能多的信息,同時獲取一些隱含的信息,因為每一條信息都具有唯一性,將這些信息聚合在一起鑒別后進行后處理,比較問題解決所需要的信息和后處理的信息是否一致,從而鑒別是否能解決問題.解決問題后,是否能把后獲得的新信息進行發(fā)散聯(lián)系,探究生成新問題,深耕這個研究的數(shù)學對象的內(nèi)在本質(zhì). 其中提取信息、聚合信息、發(fā)散性對學生來說是難點,因此我們在數(shù)學解題教學時,需要對學生進行適切的引導,以幫助學生順利解題.

【案例4】已知函數(shù)[f(x)=3(x3+2x)].

點[P]是[f(x)]上任意一點,[F1(2,23) ,]

[F2(-2,-23)],則[||PF1|-|PF2||=] .

解題剖析:

信息1“[f(x)=3(x3+2x)]”可提取得到新信息“[f(x)]是對勾函數(shù)”.

信息2“點P是任意一點”可加工得到新信息“[不妨設Px,y]”.

信息3“[F1(2,23) ,F(xiàn)2(-2,-23)]”.

信息4“[||PF1|-|PF2||=] ”.

信息1、2、3、4聚合后處理可得到信息5“||PF1|-|PF2||=

[x-22+(33x+23x-23)2][-x+22+(33x+23x-23)2]”.

信息6“所求值是定值,若是定值,那么這個函數(shù)是否就滿足雙曲線的定義?”

信息5通過數(shù)據(jù)處理可以計算得到.

信息7“[||PF1|-|PF2||=][43<|F1F2|=8]”,把此信息進行發(fā)散聯(lián)系,由此深耕得:

信息8“[f(x)]的圖象是雙曲線”這一對勾函數(shù)內(nèi)在本質(zhì)的東西,獲得新的信息:

信息9“對勾函數(shù)的圖象是雙曲線型”,繼續(xù)發(fā)散聯(lián)系,可設置新的問題情境:

信息10“請求出對勾函數(shù)的對稱中心及對稱軸方程”.

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