陳芳 邵漢民

【摘 要】單元整體設計是提高課堂教學效率的重要方法。以“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的單元整體設計為例，總結單元整體設計的一般方法，即通過“分析”，發(fā)現(xiàn)原單元結構中存在的問題；經(jīng)歷“重構”，意在構建更加合理的教學序列；適度“添加”，使每一課時的教學目標更加豐盈。

【關鍵詞】整體設計；學習序列；三位數(shù)乘兩位數(shù)

小學數(shù)學教材由一個個相對獨立的單元構成，同一單元中的新知又是按照一定的邏輯順序編寫，從而可以在單元學習的過程中讓學生形成良好的認知結構。同時，在教學中，我們也發(fā)現(xiàn)，有一些單元的教學順序如果能夠做適度調整，就可以讓各個課時之間的邏輯關系更加符合新知學習的認知規(guī)律。因此，我們可以從單元整體設計的視角審視單元內的課時教學內容，從分析原有的單元學習序列入手，發(fā)現(xiàn)可以改進之處；重構新單元學習序列，實現(xiàn)“部分之和大于整體”的目的；最后從課時設計出發(fā)，適當添加新的課時教學內容，讓每一個課時的教學目標更加完善。下面以人教版“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的單元整體設計為例，談談具體的做法。

一、分析原有的單元學習序列

分析單元學習序列，可以從單元結構分析入手。首先，厘清單元有哪幾個學習板塊，這些學習板塊間又是怎樣的關系；其次，進一步分析各個板塊需要怎樣的學習基礎；最后，從完善各個板塊間的邏輯關系入手進行辨析，為重構單元學習序列做準備。

（一）單元結構分析

邏輯性是數(shù)學重要的特征。體現(xiàn)在單元中，是指一個單元中的數(shù)學知識的學習序列呈遞進關系。如三年級上冊“倍的認識”這一個單元，學習序列是“倍的認識→倍的應用問題”，在建立倍的概念的基礎上，然后在具體情境的應用中，總結“求一個數(shù)是另一個數(shù)幾倍”和“求一個數(shù)的幾倍是多少”兩類應用問題的數(shù)量關系。前者是后者學習的基礎，兩個板塊不可以交換。

而2011年版的人教版“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這一個單元比較特殊，它的三個板塊雖然都是關于乘法的內容，但又是相互獨立的，呈并列關系，如圖1。

第一個板塊是例1、例2，即“三位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算乘法。兩個例題是按一般到特殊的形式編排，即例2一般是在例1“三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算”的基礎上，學習因數(shù)末尾有0或第一個因數(shù)中間有0的兩種特殊的乘法筆算；第二個板塊是例3，即積的變化規(guī)律，通過計算有聯(lián)系的乘法題組，觀察、分析、概括出規(guī)律；第三個板塊是例4、例5，即乘法中兩個常見的數(shù)量關系，通過舉例，概括得出更為一般的數(shù)量關系。

這樣的單元結構也不是特例，如四年級上冊的“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”中的三個板塊，其中“口算除法”板塊與“筆算除法”板塊是遞進的，而第三個板塊“商的變化規(guī)律”又是獨立的。

那么，這樣的單元，是否可以通過單元內部結構的重組，增強板塊間的內在聯(lián)系，體現(xiàn)單元的結構性與邏輯性呢？

（二）學習基礎分析

學習基礎包括兩個方面，一是已經(jīng)學習的數(shù)學知識，二是已經(jīng)有的生活經(jīng)驗。呈遞進關系的數(shù)學新知，前者的學習往往就是后者的學習基礎，或者是主要的學習基礎。但是，并列關系的單元，各個板塊的學習基礎往往是獨立的。

如“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的三個板塊的學習基礎就是相互獨立的。從圖1可以清晰地發(fā)現(xiàn)，第一個板塊的學習基礎是“多位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，前者提供的是分步積的計算方法，后者提供的是算理與法則。因此，可以用類比遷移的思想方法讓學生自主探究；第二個板塊的學習基礎是對有聯(lián)系的乘法計算題組的觀察、發(fā)現(xiàn)與歸納；第三個板塊則是對原有的用乘法解決問題時的數(shù)量關系進行分類與概括。

所以，這三個板塊的學習，都可以提供相應的學習材料，讓學生進行自主嘗試、自主探究，并通過交流反饋的形式總結法則、探究規(guī)律。

（三）邏輯關系辨析

邏輯關系辨析就是指在分析單元結構與學習基礎后，探究原來教材單元學習序列中的不合理之處，為重構新的單元學習序列尋找實踐的依據(jù)。

經(jīng)探究可以發(fā)現(xiàn)，第一個板塊中的例2因數(shù)末尾有零的乘法，雖然可以由“多位數(shù)乘一位數(shù)”的同類筆算乘法進行遷移，但是在之前學習時也只是法則上的規(guī)定，并沒有算理上的解釋。而第二個板塊“積的變化規(guī)律”恰恰可以作為其算理上的解釋，因此如果能夠調整這兩個板塊的順序，更有利于“例2”算理的總結與理解，如圖2。

同時還可以發(fā)現(xiàn)，第三個板塊如果能夠前置到第一個板塊前，即成為新的第二個板塊，則如例1的數(shù)量關系，可以用“（火車的）速度×時間=（到北京的）路程”來概括。同時，“積的變化規(guī)律”包含了正反比例函數(shù)的模型（如圖3），在學習了這一個“模型”后，再來分析乘法的數(shù)量關系，也可以從“函數(shù)”的視角設計問題，如知道“單價”后，結合具體例子，分析當“單價”不變時，總價如果增加、數(shù)量會怎樣變化。

因此，通過單元板塊間邏輯關系的辨析，可以使各個板塊之間的邏輯關系更加密切，讓原來相互獨立的板塊，通過合理調整，成為有邏輯關系的單元學習序列。

二、重構新的單元學習序列

對原單元進行分析與辨析，既可以梳理出學習序列，更可以揭示重構新的單元學習序列的必要性與可行性。重構新的單元學習序列，可以以調整單元學習序列為基礎，整合單元學習內容，并選擇合適的切入點進行基于單元的課程拓展。

（一）調整單元學習序列

調整單元學習序列可以分為三類。一是重新構建板塊，即把單元中的新知重新組織，形成新的板塊。二是板塊內的調整，即把某板塊內的學習序列進行調整。三是對各板塊的學習順序進行整體調整。

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”主要采用第三類方式進行調整，即調整后的第一個板塊為“積的變化規(guī)律”。第二個板塊是“常見的數(shù)量關系”，第三個板塊是“三位數(shù)乘兩位數(shù)”。并且努力實現(xiàn)前一板塊的學習內容在后一個板塊學習時進行合理的應用，如圖4。

調整單元學習序列，可以更好地構建起單元邏輯結構，讓前一節(jié)課學習的知識成為后一節(jié)課的學習基礎，前一節(jié)課獲得的學習經(jīng)驗，在下一節(jié)課中得到應用。

（二）整合單元學習內容

在調整學習序列的基礎上，還要考慮如何進行單元學習內容的整合，注重前期滲透，提高課堂教學實效。

如在總結了“積的變化規(guī)律”后，教師可以讓學生回顧原來的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”中因數(shù)末尾有零的豎式計算，讓學生用新學習的知識進行解釋?；蛘呖梢灾苯映鍪纠?中末尾有零的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的題目，讓學生想一想，可以怎樣擺豎式，如何計算？這樣，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”例2中的兩個計算題就可以應用轉化思想與積的變化規(guī)律得到解決，如圖5。

整合單元學習內容，適當打破原有的編排結構，以符合學生的認知規(guī)律，讓每一個課時重點突出，相關內容聯(lián)系緊密。

（三）拓展單元學習內容

通過整合單元學習內容，有時候可以節(jié)省出課時，用節(jié)省的課時進行課程拓展，可以更好地鞏固新知，拓展思維。

如本單元通過整合，把例2作為“積的變化規(guī)律”的應用，節(jié)省一個課時。因此，我們把教材中練習八第12題（如圖6）作為數(shù)學課程拓展的素材，讓學生通過多種嘗試，逐步發(fā)現(xiàn)乘積最大的算式特點。

在人教版教材中，有不少帶“*”或“？”的思考題，這些題目如果在正常的課時教學中進行練習，學生解決問題的時間相對較少，不能很好地體現(xiàn)這些題目的教學價值。因此，教師可以采用“一題一課”的形式，讓它們成為拓展學生數(shù)學思維的好材料。

三、添加新的課時教學內容

基于單元的教學重構，也可以在此基礎上對某些課時的教學內容進行重新編排，調整或增加一些教學內容，以幫助學生更好地學習數(shù)學知識，發(fā)展數(shù)學思維。

（一）在“積的變化規(guī)律”中溝通新舊知識間的聯(lián)系

“積的變化規(guī)律”是乘法計算中自然存在的規(guī)律，即當一個因數(shù)不變，積與其中的一個因數(shù)存在著正比例關系。這一種關系在之前的乘法學習中多次出現(xiàn)。因此，在“積的變化規(guī)律”的教學中，除了前文指出可以整合例2的內容外，也可以對體現(xiàn)“積的變化規(guī)律”的舊知進行系統(tǒng)梳理，讓學生體會到數(shù)學學習是一個不斷積累經(jīng)驗與抽象概括的過程。這樣的例子在數(shù)學新知學習中是很常見的，如“乘法分配律”“商的變化規(guī)律”等。

（二）在練習復習課中增加新的數(shù)量關系

在日常生活中，除了有關“單價”與“速度”的兩個數(shù)量關系，還有一個常見的關系式“工作效率×工作時間=工作總量”（以下簡稱“有關‘工作效率的關系式”）。它可以看成有關“速度”的數(shù)量關系的變式，在學生學習了有關“速度”的數(shù)量關系后，添加有關“工作效率”的關系式來解決問題，讓學生在比較中總結出有關“工作效率”的數(shù)量關系。

（三）在“三位數(shù)乘兩位數(shù)”教學時感受整數(shù)筆算乘法的一般化

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的算理與算法遷移于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，在此基礎上，可以進一步追問假如是“四位數(shù)乘兩位數(shù)”“三位數(shù)乘三位數(shù)”又應該怎樣計算？整數(shù)乘法都是怎樣筆算的？在解決以上問題時實現(xiàn)筆算乘法的一般化。同時，介紹“你知道嗎？”中的“格子乘法”，進一步體會筆算乘法的算理是因數(shù)的分解相乘后再相加，并經(jīng)歷了由繁到簡的過程。

（四）在“常見的數(shù)量關系”教學時滲透函數(shù)思想

“數(shù)量關系”反映的是有關聯(lián)的量之間的運算關系。進一步理解，如果把“三個量”稱為“三種量”，就可以從“常量思維”轉變到“變量思維”，“函數(shù)思想”的滲透就可實現(xiàn)了。在教學“單價、數(shù)量與總價”“速度、時間與路程”這幾個數(shù)的關系時，可以突出對“單價”“速度”（包括“工作效率”）的理解。“單價”體現(xiàn)的是商品的價格高低，同一種商品，當“單價”一定時，數(shù)量增加，總價也增加；當“總價”一定時，數(shù)量如果需要增加，那么“單價”就要下降；在“速度、時間與路程”（包括“工作效率、工作時間與工作總量”）中也可以發(fā)現(xiàn)同樣的變化規(guī)律。

總之，我們的單元整體設計經(jīng)歷了“分析”“重構”與“添加”這三個步驟。通過分析，指出原單元結構中存在的問題；通過重構，意在構建更加合理的教學序列；通過添加，可以使每一課時的教學目標更加豐盈。在此基礎上，結合具體的單元，在實踐研究時做出調整，以更好地構建起基于學生認知規(guī)律與數(shù)學學科邏輯的單元教學體系。

（浙江省湘湖師范附屬小學 311200

浙江省杭州市蕭山區(qū)所前鎮(zhèn)第二小學 311200）